第2章 有理数 专题提升练3：绝对值的化简 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年苏科版数学七年级上册 第2章有理数专题提升练3：绝对值的化简 【典型例题】 【例1】已知|x|=3, |y|=2，且x<0, y>0，则x＋y的值等于(     ) A．5 B．1 C．－5 D．－1 【例2】若，，且，则的值是（    ） A． 或 B．或 C．或 D．或 【例3】若，则 ． 【例4】已知，，且，则的值为 ． 【例5】已知有理数a，b，c的位置如图所示． （1）用“＞”或“＜”填空：a 　　 0，c+b 　　 0，a﹣c 　　 0． （2）化简式子：|b|+|c+b|﹣|a﹣c|+|a|． 【例6】若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【举一反三】 【变式1】如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A. B． C． D． 【变式2】已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【变式3】若|m﹣3|与（n﹣2）2互为相反数，则（﹣m）n的值为　　． 【变式4】我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为 ． 【变式5】有理数在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空： ， ， 0． (2)化简：． 【变式6】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【巩固练习】 1.如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 2.有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ） A． B．c+d＞0 C． D． 3.已知，化简所得的结果为　　 A． B． C．1 D． 4.若、、均为整数，且，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 5. 若与互为相反数，则的值为 ． 6.已知，则 ． 7.已知，，且，则的值为______． 8.有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 9.已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： （1） 1，b 2，______________2（填“”或“”） （2）化简：． 10.已知， （1） ， ； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 11.分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时， ；当时， ； （2）若有理数a不等于零，求的值； （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 12.在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|也可理解为5，0在数轴上对应的两点之间的距离．类似地，|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离． 一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|． 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 　　 ；数轴上表示﹣5和﹣2的两点之间的距离是 　　 ． （2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 　　 ． （3）a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，若|a﹣d|＝12，|b﹣d|＝7，|a﹣c|＝9，则|b﹣c|＝　　 ． （4）已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|＝1，试求p﹣n的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】已知|x|=3, |y|=2，且x<0, y>0，则x＋y的值等于(     ) A．5 B．1 C．－5 D．－1 【答案】D 【例2】若，，且，则的值是（    ） B． 或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【例3】若，则 ． 【答案】2 【例4】已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【例5】已知有理数a，b，c的位置如图所示． （1）用“＞”或“＜”填空：a 　　 0，c+b 　　 0，a﹣c 　　 0． （2）化简式子：|b|+|c+b|﹣|a﹣c|+|a|． 【答案】解：（1）∵a＜0，c＜0，b＞0，|c|＞|b|＞|a|， ∴c+b＜0． ∵a＞c， ∴a﹣c＞0， 故答案为：＜，＜，＞； （2）原式＝b+（﹣c﹣b）﹣（a﹣c）+（﹣a） ＝b﹣c﹣b﹣a+c﹣a ＝﹣2a． 【例6】若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 【举一反三】 【变式1】如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【变式2】已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】B 【变式3】若|m﹣3|与（n﹣2）2互为相反数，则（﹣m）n的值为　　． 【答案】9 【变式4】我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为 ． 【答案】4.5或0.5 【变式5】有理数在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空： ， ， 0． (2)化简：． 【答案】（1）解：由数轴可知，，， 则，，， 故答案为：，，． （2）解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ． 【变式6】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 【巩固练习】 1.如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ） A． B．c+d＞0 C． D． 【答案】C 3.已知，化简所得的结果为　　 A． B． C．1 D． 【答案】 4.若、、均为整数，且，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 6. 若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 6.已知，则 ． 【答案】 7.已知，，且，则的值为______． 【答案】6或2 8.有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】由数轴可得：，， ，，， ． 9.已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： （1） 1，b 2，______________2（填“”或“”） （2）化简：． 【答案】（1）由数轴可知：，，且， ，， 故答案为：，，； （2）由（1），得． 又， 所以， 所以 ． 10.已知， （1） ， ； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵，， ∴或， ∴或， ∴的值为或． 【小问3详解】 解：∵，， ∴或， ∴，， ∴的值为或． 11.分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时， ；当时， ； （2）若有理数a不等于零，求的值； （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：1；； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，， 故的值为1或； 【小问3详解】 解：由题意， 当，时，； 当，时，； 当，时， ； 当，时，， 综上，的值为2或0或． 12.在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|也可理解为5，0在数轴上对应的两点之间的距离．类似地，|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离． 一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|． 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 　　 ；数轴上表示﹣5和﹣2的两点之间的距离是 　　 ． （2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 　　 ． （3）a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，若|a﹣d|＝12，|b﹣d|＝7，|a﹣c|＝9，则|b﹣c|＝　　 ． （4）已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|＝1，试求p﹣n的值． 【答案】（1）∵3﹣2＝1，﹣2﹣（﹣5）＝3， ∴数轴上表示2和3的两点之间的距离是1， 数轴上表示﹣5和﹣2的两点之间的距离是3， 故答案为：1，3． （2）设Q表示的数为m， ∴3， ∴m＝5或﹣1， 故答案为：5或﹣1． （3）∵|a﹣d|＝12， ∴d﹣a＝12①， ∵|b﹣d|＝7， ∴d﹣b＝7②， ∵|a﹣c|＝9， ∴c﹣a＝9③， ②﹣①+③得：c﹣b＝4， ∴|b﹣c|＝4． 故答案为：4． （4）∵m、n、p都是整数， 且|m﹣n|+|p﹣m|＝1， ①当m﹣n＝0时，|p﹣m|＝1， ∴m＝n， ∴p﹣n＝±1． ②当p﹣m＝0时，|m﹣n|＝1， ∴p＝m， ∴p﹣n＝±1． 综上所述，p﹣n＝±1． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $