第2章 专题7 多绝对值处理与最值 专题提优练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 以零点分段法为基础，通过“奇点偶段法”等系统方法构建多绝对值处理与最值求解体系，逻辑递进且方法迁移性强。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多绝对值与零点分段法|2|①找零点②分段③去绝对值|从零点概念到分段化简，形成“概念-步骤-应用”链条| |两个绝对值之和|1|两点之间取最小值|基于几何意义提炼特殊位置求最值规律| |三个绝对值之和|1|中间点处取最小值|拓展到三点情况，强化位置关系推理| |n个绝对值之和|2|奇点取中间数，偶段取中间段|抽象为“奇点偶段法”，培养模型意识| |系数不为1的绝对值|2|提取公因数转化为系数1|通过代数变形实现方法迁移| |绝对值之差|2|极端值处取最大值|分析差的几何意义，发展推理能力| |双重最值|2|挖掘最小值隐藏条件|综合应用多绝对值规律，提升综合思维|

专题7 多绝对值处理与最值 多绝对值与零点分段法 1. 零点的概念 使式子的值为0的未知数的值可称为零点 2. 零点分段法 ①找到所有零点值；②依据零点的位置进行分段；③根据每一段的取值范围去绝对值 3. 分三种情况讨论：①②③ 1. 阅读下列材料. 我们知道现在我们利用这一结论来化简含绝对值的式子.例如：化简式子.可令和，分别求得和(这里称－1，2分别为与的零点值).在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：.从而在化简式子时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式.所以 通过以上阅读，解决下列问题： (1) 的零点值是________; (2) 化简； (3) 直接写出的最大值. 答案：(1) 5 解析：由“零点值”的定义可知，令，解得. (2) 令，解得和. ①当时，； ②当时，； ③当时，. 所以 (3) 4 解析：令和，得和. 当时，； 当时，， 当时，式子的值最大，最大为； 当时，. 综上，的最大值为4. 2. (1) 已知，直接写出的最小值：________； (2) 求的最小值. 答案：(1) －5 解析：令，解得.当时，，又因为，所以，则.当时，，又因为，所以，则，当时，取得最小值为7.同理可得，当时，取得最小值为3.所以当时，，所以此时的最小值为. (2) 取最小值时，的取值应该在－2到2之间.当时，，此时最小值为6；当1时，；当时，，此时由得. 所以的最小值为6. 多绝对值的最值问题(含奇点偶段法) 1. 两个绝对值之和求最小值 两个绝对值之和，在两点之间时取最小值，最小值为两点表示的数中的较大数－较小数.(本类题也可以用零点分段法分类讨论) 1. 求的最小值. 答案：由绝对值的几何意义可知表示数轴上表示数的点到表示4与－2的两点的距离和，根据数轴可得当时，有最小值，最小值为6. 2. 三个绝对值之和求最小值 三个绝对值之和在三个点中间的点处取最小值，最小值为三点表示的数中的最大数－最小数.(本类题也可以用零点分段法分类讨论) 2. 求的最小值. 答案：由绝对值的几何意义可知表示数轴上表示数的点到表示的点的距离之和，根据数轴可得当时，有最小值为4. 3. n个绝对值之和求最小值 奇点偶段法：数轴上个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，求式子的最小值，由绝对值的几何意义可得若为奇数，则取中间数，即当时，有最小值；若为偶数，则取中间段上的一个数，即当时，有最小值. 3. (1) 若对任意有理数都成立，则的最大值为________. (2) 求的最小值. 答案：(1) 6 (2) 可以看成是表示数的点到各点的距离之和.在奇数个绝对值相加时，要想和为最小值，取使最中间一项为0的值.因为最中间一项是，所以，即.当时，.故的最小值为2550. 4. 系数不为1的绝对值之和求最小值 系数不为1的绝对值之和，可以通过提取公因数，化为系数为1的绝对值之和. 4. (1) 求的最小值. (2) 求的最小值. 答案：(1) 可以理解为在数轴上表示的点到表示－7，－2，3，3的点的距离之和，根据奇点偶段法，当在－2与3之间的线段上(即)时，，所以的最小值为15. (2) 原式，一共有(个)点，根据奇点偶段法可知，在中间点处取最小值，中间点是第(个).因为，所以中间点表示的数是7，把代人，得. 5. 绝对值之差求最大值 两个绝对值之差，若，则时有最大值；若，则时有最大值.绝对值和差混合求最大值，先分组，求出每组绝对值之差的最大值，再相加. 5. (1) 求的最大值，并求出此时的取值范围. (2) 求的最大值. 答案：(1) 根据绝对值的几何意义，是表示的点到表示－1的点的距离与表示的点到表示2的点的距离的差，由数轴可得当表示点在表示2的点的右侧，即时，有最大值3. (2) 根据绝对值的几何意义，是表示的点到表示1的点的距离与表示的点到表示2的点的距离的差与表示的点到表示3的点的距离与表示的点到表示4的点的距离的差的和，当时，有最大值为. 6. 双重最值 注意挖掘几个绝对值之和有最小值时的隐藏条件，可以借此求出字母的取值范围. 6. (1) 已知，求x＋y的最小值. (2) ，求的最大值和最小值. 答案：(1) 因为的最小值为7，此时的最小值为3，此时，所以当时，，此时的最小值为. (2) ，根据绝对值的几何意义可得的最小值是3，此时的最小值是5，此时，而，因此，所以的最大值为，最小值为.故的最大值是6，最小值是－4. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $专题7多绝对值处理与最值 多绝对值与零，点分段法 1.零点的概念 使式子的值为0的未知数的值可称为零点 2.零点分段法 ①找到所有零点值；②依据零，点的位置进行分段；③根据每一段的取值范 围去绝对值 3.x-al+x-blla<b) 分三种情况讨论：①x<a,②a≤x≤b,③x>b 1.阅读下列材料。 X,X>0, 我们知道x=0,x=0,现在我们利用这一结论来化简含绝对值的式子. -x,X<0, 例如：化简式子x十1十x-2.可令x十1=0和x-2=0,分别求得x=-1和x=2(这 1/7 里称一1,2分别为x十1与x-2的零，点值).在有理数范围内，零点值x=-1和 x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： x<-1:-1≤x<2:x22从而在化简式子1x+1+x-2时，可分以下三种情 况：①当x<-1时，原式=-x十1-x-2=1-2x;②当-1≤x<2时，原式 =x+1-x-2=3:③当x≥2时，原式=(x+1)+x-2=2x-1所以 1-2xx<-1, x+1+x-2=3-1≤x<2, 2x-1x≥2. 通过以上阅读，解决下列问题： (1)x-5的零点值是x= (2)化简x-5+x+2: (3)直接写出x-3引4x十1的最大值. 2.(1)已知x-3+x+4+y-2+y+1=10,直接写出x+y的最小值： () (2)求x-1+x+2+x+1+x-2的最小值. 217 多绝对值的最值问题（含奇，点偶段法） 1.两个绝对值之和求最小值 两个绝对值之和x-十x-b,x在两，点之间时取最小值，最小值为两，点表 示的数中的较大数一较小数.（本类题也可以用零，点分段法分类讨论） 1.求x-4十x+2的最小值】 2.三个绝对值之和求最小值 三个绝对值之和x-a十x-b十x-C,x在三个点中间的点处取最小值，最 小值为三点表示的数中的最大数一最小数（本类题也可以用零点分段法分类讨 论) 2.求x-3+x-2+x+1的最小值 3/7 3.n个绝对值之和求最小值 奇点偶段法：数轴上n个点表示的数分别是a1,a2,a3,…,an,且 a1≤a2≤a,≤…≤a,A是数轴上一点，其表示的数为x,求式子 P=x-a十x-a十x-ag+…fx-a的最小值，由绝对值的几何意义可得若n 为奇数，则x取中间数，即当x=an+1时，P有最小值 a,十a1十十a1a1-a,a1:若n为偶数，则x取中间段上的一个数， 即当a≤x≤ag1时，p有最小值a,十a-1十十ag10g-a,-a 2 3.(1)若x-3十x-2十x+x十1≥a对任意有理数x都成立，则a的最大 值为 (2)求x-1+x-2+…+x-101的最小值. 4/7 4.系数不为1的绝对值之和求最小值 系数不为1的绝对值之和，可以通过提取公因数，化为系数为1的绝对值 之和 4.(1)求x+7+x+2+2x-3的最小值. (2)求x-1+2x-4+3x-9+…+10x-100的最小值. 5.绝对值之差求最大值 两个绝对值之差x-a-x-bl,若a<b,则x≥b时有最大值b-a;若a>b,则 X≤b时有最大值。-b绝对值和差混合求最大值，先分组，求出每组绝对值之差 的最大值，再相加 5.(1)求x十1x-2的最大值，并求出此时x的取值范围. (2)求x-1-x-2+x-3-x-4的最大值 5/7 6.双重最值 注意挖掘几个绝对值之和有最小值时的隐藏条件，可以借此求出字母的取 值范围 6.(1)已知x-3+x+4+y-2+y+1=10,求x+y的最小值 ②)川x+1+x-2ly+2+y-3=15求xy的最大值和最小值 6/7 7/7