隐形圆专题 专项训练 2026年中考数学总复习

**基本信息** 以动态几何问题为载体，整合圆的性质与最值求解，通过隐形圆判定与轨迹分析，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆最值|12题|动态点距离/面积最值、翻折后路径最短|从圆的性质（直径、垂径定理）到最值原理（两点间线段最短、点线距离）| |隐形圆|9题|定角定弦轨迹、动点路径长、角平分线交点轨迹|从圆的定义（到定点距离等于定长）到轨迹判定（定角对定弦）|

大家好，我们来看一下这一道重点问题。正方形ABCD的边长是四动点，EF分别从AC同时出发，以相同的速度分别沿ABCD运动。当E点到达B点时，运动停止。那也就是说因为它是相同的速度，长度是一样的。所以E点到终点的时候，它F点也到终点了，两点同时停止过B点做BH垂直于EF于G点连接AG则AG的长度的最小值为多少？首先我们要想知道AG的最小值需要知道，因为A点不动，我们需要知道G点的一个运动的一个轨迹是什么样子的据这个顶点上BGF和BGE始终是直角，那我们看一下据点所对的边，如果是对的是EB的话，它是变化的不行。那么我们需要找到这个G点所对的边是定值的BF如果连接BF的话，由于F点在动，所以BF的长度也是在变的，所以也不是BF我们如果说把这个问题特殊化的话，就是正方形ABCD。如果说我E点运动到终点的话，那么E点运动到终点，那么F点也运动到CD的终点。那么EF的话直线的话它就EF这条线段就跟BC和AD平行了。那么此时做BG垂直于EF的话，这个据点就在这里了，这个就是个直角顶点。如果继续往下面走的话，如果E点在这里，F点在就在这里了，那么如果连接EF的话，此时做垂线的话，B距就在外面的据点就在这个位置了。那如E点在4分之1的位置，那么F点也在4分之1的位置。如果说这个连接的话做垂线，做这条的垂线，那么这个G点的话就应该在这里。所以我们猜测了一下，G点的话应该是这样的一个圆弧。我们分别找了三个特殊的时刻，分别是AB的中点，靠A点4分之1位置，靠B点4分之3的位置。也就是说运动到3的时候，我们大概画出来的一个据点的轨迹，它应该是一个这样的一个圆弧。那么我们发现这三条这三个特殊时刻始终交于这个终点的位置。这个终点的话可以是EF的终点，其实也是正方形ABCD的对称中心。那么基于这一点考虑，我们需要做一个辅助线，那么这个辅助线相当于是要连接连接BD我们连接BD一下看话，我们比较容易的得到。因为题目AE点和F点是以相同的速度分别从A点和C点出发的。所以我们首先可以得到的是一个线段的长度，AE等于CF而正方形的边长是相等的。所以我们同时也可以得到BE的话，它是等于DF的。我们通过连接BD之后跟EF会相交于点O那这时候由于BE所在的这个三角形BEO和DF所在的三角形DFO我们首先可以得到这两个三角形是全等的。那么这两个三角形全等的话，我们就可以得到对应线段是相等的，EO跟OF相等，OB跟OD是相等的。那么下一步我们就可以得到三角形全等，三角形全等我们可以得到这个OB跟OD相等，而那个正方形的边长是4，那么它的对角线BD就是四倍根号2，那么O恰好是对称中心，也就是说OB跟OD是相等的，都是总长BD是四倍根号2，那么OB跟OD都是二倍的根号2。那由于OB是二倍根号2，而BG的话它是垂直于EF的，所以这个是直角。而这个直角所对的现在这条边OB的话，它是定值，也就是说这是属于定角对定边的模型，定边对角对定边的模型。那么定边的话它是OB由于BGO它是个直角，所以据点它应该是在以OB为直径的圆上。此时OB是直径，那么缩比圆O的半径就是半径就是根号2。把这个圆弧画，也就是说G点是在这么一个圆上运动的，我们追踪一下轨迹。我们移动这个G点，F点就跟着运动了。它就是在这么一个半圆弧上运动，半圆弧上运动。那么什么时候最小呢？我们连接AGGM和am可以得到AG这个长度它是三角形的，第三边它是大于两边之差的。AG如果是AGM3点不共线的话，AG它是大于AM减去GM的。那么当共线的时候，AGM3点共线的时候，它是就我们就可以得到贡献的时候。此时我们取到等号贡献的时候，取到等号也就是说AG它是大于等于AM减去GM的。那么AM的话，AM的长度，我们首先要过M点做AB的垂线，就这里做个垂线，这里做垂线。由于OB是二倍根号2，BM是半径，它是根号2。而这个BD的话它是对角线分出来的两个角都是45度，所以这边是个一和1，那么AAMN好了，那么我们可以得到AN是个3，AM是等于个3，这个NM是等于一个一。那么这时候可以得到AM的话，它是根号10，三方加一方开根号10，GM它就是个半径了，GM就是根号2。所以此时AG的最小值就是等号的时候，也就是AGM3点共线的时候，它的最小值是根号10减根号2。这道题的难点主要在于找到据点的一个运动轨迹。如果说要想找这个据点运动轨迹，我们可以先把问题特殊化，把E点和F点放在特殊的位置，大概去猜测一下这个据点可能的一个路径。 大家好，我们来看一下这道题。已知正方形ABCD中，EF是AD上的两个动点，AE等于DF连接CF交BD于点G连接BE交ag于H若正方形的边长是二四条边长度都是二则dh的长度最小值是多少？首先我们来看一下AE等于DF这个条件，找到含有AE和DF的三角形，我们可以比较容易的找到三角形AEB和三角形DFC这两个三角形。我们可以比较容易的证明他们是全等的，理由是一条边一个直角相等。然后在AB跟DC是公共边，所以三角形BAE全等于三角形CDF，理由是SaaS全等，三角形对应角相等，可以得到角ABE跟角DCF相等。我们把它标成角1和角二全等三角形对应角相等。在由于BD是正方形的对角线，我们可以得到对角线两侧的三角形DAG和DCG这两个三角形是全等的，理由是S夹角ADG跟CDG相等，夹角45度相等。在DG时DG是公共边，所以可以得到第二组三角形全等三角形DAG全等于三角形DCG这时候全等三角形对应角角相等，可以得到DCG这个角二跟DAG这个角三是相等的，而角二是等于角三的那这样我们结合起来就可以得到角一是跟角三相等的。由于角3加上角四是等于90，等于BAE90度，所以角一加上角4。等量代换一下，把角三换成角0.11元加角4就等于90度。这样子在RT3角形ABH中，由于角1加角四等于90，所以AB这个角就是直角。这样子我们就可以得到定角对定边的模型角AHB是固定的90度，而它所对的边AB是二固定不变。所以AHB是在一个圆上，其中这个圆的圆心就在AB的中点上，AHB是它的圆周角。把圆画一下，就是这么一个圆圆心O就是AB的终点了。所以我们可以得到这个圆的半径，OA跟OB都是一。那么此时H点它是在一个圆弧上运动，其中这个圆的圆心是O点，半径是一。那么什么时候DH的长度最小呢？我们把OH和DO连一下。那么在这个HDO这个三角形中，我们可以得到三角形的两边之差是小于第三边的。也就是说在三角形HOD中，DH的长度它是大于OD减OH的这是三角形的情况。当oh d三点共线时，DH这条边就等于OD减掉oh了。我们移动这个E点，当三点共线时，三点共线时，此时DH取到了最小值。当不贡献的时候，它是构成三角形的，三角形始终满足第三边大于两边之差，大于OD减掉OH等号的时候，是取到最小值。我们求一下这个最小值。由于OD是OAD的斜边，OA是一，AD是2，这个RT3角形的斜边就是OD就等于根号5。OH是圆O的半径它是一，所以DH的最小值就是根号5减1。 大家好，如图，在三角形abc中，角C为90度，AC等于6，bc等于八点F在边ac上，且CF是2，那AF就是四点E在bc上沿cef折叠，使得点C与点P重合。那么由于折叠FCE跟FPE它是全等的，也就是说FC跟FP相等，FC是2，FP也是2，那么求点P到边ab的距离的最小值。我们首先过P点做AB的垂线，做PD垂直于AB于D点。那么PD什么时候最小呢？首先我们来看一下这个D点也是随着P点而动的，而P点是由于CEF折叠得到，所以我们移动一点的话，那么折叠的过程中这个P点的位置在变，导致垂线段PIDPD也是在变的。所以要想求出P到AB的最小值，也就是说PD的最小值，我们首先需要知道P点的轨迹。那么通过折叠我们看到在这个过程中，虽然一点的位置在变，但是FP的长度始终是等于FC的长度。也就是说始终它是等于二的。这就是属于定点定长的模型，也就是说F点它是固定的，P点虽然在动，但是PF的长度始终是2，所以P点的轨迹它是一个圆，它的圆心就是F，半径就是2。我们把圆先画出来，那么这时候这个P点它是在这个圆弧上运动的那PD什么时候最小呢？我们发现PFD3点现在不共线，把fd连一下，由于现在PFD3点不共线，所以我们首先可以得到这个PD垂线段的长度，它是大于两边之差的，也就是大于这个FD减掉这个FP。FP的话它就是半径2，那么也就是说PD是大于FD减掉FP的三点不共线的时候。那么当三点共线的时候，就当一的一点移动到一个位置，使得PFD3点共线的时候，那么这个时候我们就可以得到PD它是等于的等于FD减掉PF。那么PD的最小值实际上是在等号的时候取到，也就是说要想使PD最小，也就是说FP的话它是个二固定不变的，所以也就是需要这个FDFD最小。那么FD什么时候最小呢？F点是B点，D点相当于是AB上的动点。所以也就是说当这个FD最小，也就是说FD它是垂直于AB的时候，也就是在这种情况下移动到这个位置的时候，它是最小的，就点到直线的距离垂线段最短。也就是当FDFD垂直于AB时，此时FD取到最小值。那么这时候的FD怎么来算呢？FD怎么来算呢？我们首先看一下AFD这个RT3角形跟ABC这个RT3角形，它应该是相似的角A是公共角，那么ADF跟ACB它是属于直角相等。所以相似的时候我们首先要算的是FD的长度。也就是说三角形AFD相似于三角形ABC那么对应边FD比上BC等于斜边AF比上AB那么对应线段我们把它带进去，FD比上BC它是个8，等于AF是4。AB的话由于ABC是直角三角形，角C是直角，AC是6，BC是8。所以根据勾股定理我们可以得到AB是十，所以是10，所以FD我们就可以得到了10四八三十二除以一个十，也就是10分之32。10分之32相当于就是5分之16，那么FD是5分之16，那么PD也就是P到AB在距离的最小值，此时的PD就是用5分之16减掉PF半径2，也就是此时的PD就等于5分之16，减第二个二等于5分之6，那么此时的最小值是5分之6。这里首先有一点要注意的是，三点如果不共线的时候，应该是在共线的时候取得最小值。也就是说PFD3点共线的时候取得最小值，而此时的FD它其实也是一个变化的。那么当这个地点移动到FD垂直于AB的时候，也就是绿色的这个位置，它取得最小值，垂线段最短。 大家好，我们来看一下这道题，已知扇形AOAB的半径为RC是弧AB上的任意一点。CM垂直于OA这是直角，CM垂直于OB这个角也是直角。垂足为M连接MN如图一，AOB是90度，AOB是90度，求证MN等于小R由于题干中的垂直信息以及AOB19时我们可以得到四边形MOMC。这个四边形它有三个角是直角，所以这个四边形MOMC是矩形，那么矩形的对角线是相等的，所以我们连接OC那么MN的长度就是OC的长度，而OC就是扇形的半径，所以MN就等于R这是第一问。下面我们来看一下。第二问，AOB是45度，探索MN和小R之间的关系，MN是这条长度跟半径，半径的话是OA的长度或者OB的长度，也可以认为是OC的长度。小R之间的关系，由于题目中CM是垂直于OA的这个角是直角，CM是垂直OB的这个角也是直角，那么我们可以得到四边形ONCM它的对角是互补的，也就是说OMC跟OMC都是90，那么角O跟角MCM是互补的。那么这四个点在一个圆上四点共圆，因为对角互补，所以这四个点共圆，我们把圆画出来，这个就是圆距了。由于OMC和OMC都是直角，直角所对的弦是直径，所以我们连接OC。OC就是圆柱的直径，也就是圆锥的直径是R那么圆距的半径GMGC和GM都是2分之1的，我们把线段连一下，这时候由于MOM它是45度，是这个圆距的圆周角，所以MGM这个角就是它的圆心角。那么圆心角始终是圆周角的两倍，也就是说MGN始终是90度，那么MGN它同时也是等于LRT3角形。因为G是圆心，GM等于GN所以MN就是这个等腰RT3角形的斜边，那么它是直角边的根号二倍，所以我们可以得到MN。等于根号二倍的GM，GM就是2分之1的OC，OC就是小R所以最后就等于二分之根号二倍的小R那么这是用四点共圆的方法。如果说我们得到了这个对角是互补的，我们就可以用四点共圆的方法。下面我们用另外一种方法，由于这个四边形OMCN它是对角互补的，也就是说我们可以得到角O是45度的时候，我们同时可以得到角MCN是135度。这个角度是135度的话，我们一般135度的角我们是需要构造辅助线。也就是说135度的角我们要做它的补角延长MC并且延长MA使它交于一点，这样我们就可以得到这个补角是45度，延长MC同时延长MA交于点E连接OC这时候我们可以看到EMC是等腰RT3角形，ENO也是等腰RT3角形，有一个公共角角E还有一个角直角分别相等，所以我们可以得到这两个三角形是相似的。那么相似三角形对应边成比例，我们可以得到ME比上EN比上NE等于CE比上OE同时我们也可以得到上面比值，ME比上CE等于N1比上OE这个比对调一下之后，我们可以得到它们的夹角都是角E构成了三角形MEM想是雨伞叫醒CEOME比上NE等于CE比OE交换一下，ME比ce等于NE比OE那角一跟角E是公共角，所以可以得到MEN相似于三角形CEO。这两个三角形相似，相似三角形对应边成比例，我们就可以得到它的对应边。MN跟MN跟OC是对应边，MN比上OC等于0，M1比上C1，而ME跟CE的比值是等于1比根号2，所以MN跟OC的比值就是一比根号2，所以MN就等于二分之根号2的小二。 大家好，我们来看一下这道题。如图，已知圆C的半径是三圆外一定点OOC的话它是个五点P为圆C上的一个动点的这个P点它是个动点，在圆C上运动，经过点O的直线L上有AB两个点，OA等于OB角，APB等于90度，那就说明APB这个是直角三角形。而O点它是它直角所对的边，也就是AB这条边的中点，也就是说直角三角形斜边的中点L不经过C点，那么则AB的最小值为多少？首先我们来看一下这个PAB这个三角形有什么特殊的地方。首先OA和OB相等，如果把OP连下的话，OP是属于直角三角形斜边上的中线。那么O斜边上的中线等于斜边的一半，也就OP等于AB的一半，也等于OA等于OB，也就是OAOBOP相等，那么也就是APB3点共圆共圆。那么AB就是这个圆的直径了。那么如何去求这个AB的最小值呢？我们移动P点，我们会发现这个P点在圆弧上运动的时候，它这个AB的长度是逐渐在变大的。那么再往这边来的时候，它又逐渐的变小了，这个P点始终保持一个直角顶点的一个关系。那么在大概这些位置的时候，看起来像是最小值。那么我们如何分析这个问题呢？首先由于我们知道了这个APP3点是贡元的，也就是说OP它始终是AB的一半。所以所以AB小AB最小，那么我们只需要OP最小就可以了。而OP这个P点它是个动点，在圆上运动。所以我们要研究OP最小的话，我们把OP放到一个三角形中，我们这时候连接下OPPC和OC，这时候就构成一个三角形了。而这个三角形的话如果能构成三角形的话，就是三点不共线。不共线我们是可以得到这个OP的话它是大于两边之差OC减掉那个PC的这个三角形OPC。那么如果说OPC共线的话，它就是等于了也就是OP的话，它是等于OC减掉PC的。那么由于题目给我们的那个OC的话它是个5，PC的话PC就是半径半径始终是3，所以OP是个2。也就是在这个时候，OPC3点共线的时候，此时的话OP是等于OC减掉PC的，减掉半径，最后是个2。那么综合来讲，这个OP它就是大于等于2，不共线的时候大于2，共线的时候等于2。所以AB的话它就等于两倍的OP，所以AB就是应该大于等于4，所以AB的最小值它是个4。 大家好，我们来看一下这道题，如图，AB是半圆O的直径点，C是半圆O上的一个点，AB等于5。Ac等于4。由于AB是直径，所以AB这条弦所对的圆周角acb是直角。那么由于AB是5，ac是4，所以根据勾股定理我们可以得到BC是3。D是图BC上的一个动点，D是这个上面的湖BC上面的一个动点，含端点B也就是说它可以运动到跟点B重合，但是不含端点C它可以跟C点无限的靠近，但是不跟C点重合。同时过C点作CE垂直于ad于点E这个角是直角连接BE则在点D的移动过程中，BE的取值范围，B这条线段的取值范围，首先我们需要知道这个E点的轨迹是什么样子的。根据我们刚刚的移动，它可能是沿着一个弧线运动的，为什么呢？由于CEA这个角是直角，而CEA所对的这条边NAC它是固定的。4所以它属于定角固定的角对固定的边，定角对定边的模型。所以一点它相当于是以AC为直径的一个圆弧上，那么这个圆的直径就是AC半径就是AC的一半，圆心就在AC的终点上。我们把这个圆先画一下，那么这个时候E点就是在圆M上的运动，那么我们再移动一下，再移动一下D点，这时候E点是在这个以ac为直径的圆弧上运动的。那么这时候什么时候裨益最小呢？我们在这个过程中的话，裨益是逐渐减小的。到这里的某个时刻的时候，我发现BE到最短了。那再往这边走的时候，BE又逐渐变长了，所以我们把ME和MB连下。那么此时EMB3点不共线，三点不共线我们可以得到此时BE不共线的时候，是大于两边之差NB减掉M1的。那么当我移动到三点不共线的时候，它是大于。当我移动到共线的时候。MBE3点共线的时候，此时BE就等于MB减ME也就是说BE的最小值。最小值就等于MB减掉ME。由于MB的话它是MCB的斜边，那么它相当于MC是2，BC是3。所以RT3角形MCB的斜边就是根号下二的平方，加三的平方就是十三。减掉ME的话刚好是圆的半径，所以它的最小值就是根号13减掉2。那么接下来我们来看一下它的最大值是多少。我们移动地点这时候BE是逐渐变长，当我到这个EC点的时候，D点刚好到C的时候，此时它得到了一个最大值3。但是实际上由于它不含C点，所以这个三实际上是取不到的。那么在这个过程中，它BE逐渐变小，变到最小值贡献的时候根号13减2。那么在这个过程中，它又逐渐变大了，比根号十三减二大一点。所以在整个过程中，我们移动地点发现BE的取值范围是BE的最小值是根号13减2是可以取到的，最大值是在C点的位置。但是实际上因为它不含端点C所以实际上这个C点的这个值三是取不到，但是它可以无限的靠近这个三。所以最终我们得到BE的取值范围是大于等于根号13减2小于3。 圆最值及隐形圆专题 一.选择题（共2小题） 1.如图，在RtAABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=22,点D是AC边 上一动点，连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长 度的最小值为( A A.5 B.1 c.2 D.V5-1 2.如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB(异于A、B)上两点，C是MN上一动点， ∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点 N时，则C、E两点的运动路径长的比是(） 8 A.V2 c.2 D.2 二.填空题（共13小题） 3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一 动点，将△MMN沿MN所在直线翻折得到△AMN,连接A'C,则A'C长度的最小值是 1 D B B D 4.如图，在边长为V5的等边△4BC中，动点D,E分别在BC,AC边上，且保持 AE=CD,连接BE,AD,相交于点P,则CP的最小值为· 5.如图，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足0C=5,点P为⊙C上一动点，经过点 O的直线1上有两点A、B,且OA=OB,∠APB=90°，1不经过点C,则AB的最小 值为 4 B 6.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P,分别是直线BC,AB上的两个动点， AE=2,△MEO沿EO翻折形成AFEO,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是 D 7.如图，在正方形ABCD中，AB=a(a为常数)，点E,F分别是BC,CD 上的两个动点，AE与BF交于点P,若BE=CF,连接CP,当CP有最小 值为4时，则a值为一· 2 D 8.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于 点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是一。 G B 9.如图，正方形ABCD的边长为4Cm,动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的 速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线 EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为cm. 10.如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE,过点B作 BG⊥CE于点G,点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为 B C 11.在△MBC中，AB=4,∠C=60°，∠A>∠B,则BC的长的取值范围是， 12.如图，在RtAABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2, 点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB 距离的最小值是 分 B 13.如图，RtAABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是AMBC内部的一个动点，且满 足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为—一 B 14.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm,AC=4cm.D是弧BC 上的一个动点（含端点B,不含端点C),连接AD,过点C作CE上AD于E,连接 BE,在点D移动的过程中，BE的取值范围是一· BA 15.如图，△4BC为等边三角形，AB=2.若P为△4BC内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为一· 三.解答题（共6小题） 4 16.如图，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点， 若AB=2,则△AOB面积最大值为() A.2 B.V2+1 c.V21 D.2V2 17.已知扇形OAB的半径为r,C为AB上的任一点（不与A、B重合），CM⊥OA,垂 足为M,CN⊥OB,垂足为N,连接MN. (1)如图①，∠A0B=90°，求证：MN=r: (2)如图②，∠AOB=45°，探索MN与r的数量关系. B 图② 图① 18.等边三角形ABC的边长为6，在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交 5 于点P, (1)若AE=CF: ①求证：AF=BE,并求∠APB的度数： ②若AE=2,试求APAF的值： (2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长. C 19.如图，点A与点B的坐标分别是山，0)，(5,0)，点P是该直角坐标系内的一个动点. (1)使∠APB=30°的点P有个： (2)若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标： (3)当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时 ∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由. 4 2 1 -4-3-2-10 12345 6大家好，我们来看一下这样一道题。如图，在边长为根号三的等边三角形abc中，动点DE分别在BC和ac上，且保持ae这条线段这条始终等于CD这条线段连接BE和AD交于点P求CP的最小值为多少？那么这个就是双动点问题，E点和D点都是动点CP的最小值。首先我们C点是不动的，P点它是在P点是动点。那么什么时候CP最小呢？我们首先需要研究出P点的一个轨迹。由于APAE跟CD始终是相等的那我们找到含有AE的三角形，我们可以找ABE这个三角形，CD我们可以找CDA这个三角形。那么这两个三角形我们可以得到他们是全等的。理由是一条边AB跟AC相等，那么夹角角这个BAE跟这个角ACD这个角夹角都是60度边，题目给的是AE跟CD相等。所以首先我们可以得到三角形BAE全等于三角形B，也就是ACD那么由于三角形全等，我们可以得到对应边是相等的，AD跟BE相等，同时我们可以得到对应角相等，也就是说这个角跟这边的这个角是相等的，我们可以写个角一和角2，同时我们把这边这个角写成角3。那么由于全等的话，我们可以得到角一跟角二相等，而角2跟角33加起来是60度。因为是三角形的一个内角，那么结合这个角一等于角2，我们可以推出角1加角三等于60度。角1加角三是60度的话，那相当于这个ABP这个三角形中角APB这个钝角，APB是等于120度，也就是说这个角始终它是120度。那么这个120度的角，它所对的这个边恰好是这边是个定值，就是角APB是120度，那么它的这个所对的边对的边是AB根号3。那也就是说定角对定边的模型。定角对定边我们可以得到这个P点它的一个轨迹，它是一个壶一个壶它是在什么样的一个圆上呢？我们可以把这个圆先画出来。也就是说圆周角始终是120度的这个圆上运动。那么AB是一个圆的一个嫌这个嫌长是根号3。如果我说我们把圆心画上去的话，这个圆心如果是个如果说圆心是个O的话，我们可以得到OA跟OB是圆的半径圆的半径。那么由于它这个APB它是一个120度，所以我们可以得到AOB这个角其实也是120度，因为它的这个对角线这个叫AFB，AFB它始终是60，所以这个AOB它始终就是120度，120，那这个角始终是120。那么这个角如果是120度的话，那么它相当于AOB是个120度的等腰，就是腰跟底边的比值是一比根号3。所以我们可以得到OA跟OB的这个半径，OA和OB都是1 1比1比根号3，因为是120度的等腰三角形，我们画一下这个壶好了，把这个轨迹画一下，就是AB跟CD在这个上面运动的时候，我们其实是可以得到这个湖的这个P点的轨迹。那么P点什么时候最短呢？实际上它是在OPC3点共线的时候最小，共线的时候CP达到最小值。三角形OCP的话，那个三角形的这个两边之差是小于第三边的，也就是说OC减掉OP的话是小于PC的，也就是说两边三角形第三边是大于两边之差的。OCP那么如果说这个共线的时候，共线就不构成三角形了。共线的话我们是可以得到PC的话，那它是等于OC减OP的。那么OC的话就是这个长度，这个长度的话我们是可以得到。因为OA的话它是个一，然后AC它是个根号3。我们可以得到这个OAC这个是直角。因为OAB这个是120的等腰，这个是30度。这边原来的话是60度，总共是直角。直角OC的话就是一比根号3比2，OC是2。OP的话它其实就是个半径了，半径就是个一。我们移动一点，到这个位置的时候，2减1，所以就是最小值它是个一，CP的最小值都是共线的时候，共线的时候，那么这个主要是研究出P的这个轨迹，它属于定角对定边的一个模型。 大家好，我们来看一下这道题。等边三角形ABC的边长是6，ACBC上各取一个点E和F连接AFBE交于点P若AE等于CF这两条线段相等，求证AF等于BE由于ae等于CF而三角形abc是等边三角形，所以角度BAC角C都是60度，AB等于AC等于BC所以AE所在的三角形ABE以及CF所在的三角形CAF这两个三角形全等，理由是SAS那么这两个三角形全等之后，我们就可以得到对应边相等AF等于BE然后求APB的度数。APB是这个角，要求APB我们只需要求出它的补角角APE就可以了。或者求出这两个角的和BAF和和ABE的和，我们把这个设成角一再设成角2，这角设成角3。由于三角形全等，我们可以得到对应角相等得到角三等于角2。那由于角一加上角二是等于60度的，所以角0.11元加上角三也等于60度。所以根据三角形ABB内角和是180度，我们可以得到角APB等于120度。下面我们看一下第二问，若AE等于2，AP乘以AF，AP和AF分别在三角形APE和3角形AFC中。由于我们第一问求出来角APP是120度，所以它的补角就是60度，APE是60度，而角C也是60度。三角形ae和3角形acf相似，AP的对应边是ACAE的对应边是AF交叉相乘AP乘以AF就等于AC乘一个AE由于题目告诉你AE是个2，AC是等边的，边长是个6，所以ap乘以AF就等于12。好，由一证明过程我们可以得到，只要我们保证AE等于CF我们就可以证明三角形AEB和3角形CFA全等。全等之后我们就可以得到AAPB它是120度，也就是APE它是60度。那么我们这个P点的路径，由于APB我们之前证过了，始终是等于120度，那么它所对的边刚好是6，也就是属于定角对定边的模型。所以APB3点共圆，那么P点经过的路径，它实际上是一段圆弧，我们移动这个E点。B点从A点出发。我们移动我们可以发现P点实际上走过的是一个弧，而这个弧所对的这个圆，那么这时候P点经过的路径长就是湖APB的这个长度。由于APB是120度，我们可以得到它所对的补角是60度，AMB就是120度。那么它是属于120度的等腰三角形，这个角这条边跟这条边相等，这个是120度。我们知道120的等腰，它的腰和底边之比是一比根号3，所以MA和MB的长度都是6除以根号3。最后我们可以得到的它的半径就是二倍的根号3，那么它的P点经过的路径长就是湖APP的长度就是180分。之120派半径二倍根号3，最后就等于3分之4的根号三的派，这是第一种情况。P点经过的路径是圆弧的时候，还有一种情况就是如果说AF跟BE是相等的，那么我们只要保证AE这条线段跟BF这条线段相等就可以了。跟BF这条线段相等，那么此时三角形ABE和三角形ABF这两个三角形是全等的。那么全等三角形对应角相等，我们可以得到它的对应角。这个角一根据角二相等，那么也就是PA跟PB相等，PA跟BB相等就说明P点在AB的中垂线上。那么此时P点的轨迹实际上就是一个等边三角形ABCAB边上的高线。我们追踪一下轨迹，我们从A点出发，从A点出发一直到C点。这时候我们发现了PA等于PB也就是说P点始终在中垂线上，我们只要算这个高的长度就可以了。由于等边三角形边长是6，那么它的一半就是3，那么高就是它的根号三倍。也就是说此时P点经过的路径长就是三倍的根号3。下面我们看第三种情况。第三种情况是好多人会漏掉的一种情况，它可以这么走，当我们把E移到终点的时候，当E点移动到AC终点的时候，左边这个情况的P跟右边这个情况的P它这个P点都是在AB的中垂线上，那么它俩是重合的。也就是说它可以先经过一段湖。地点先从A处出发，运动到ac终点的时候。AE等于BF也就是说它的轨迹可以是这样子的，先移到终点走湖，在走中垂线。这时候我们可以求出P点经过的路径长是第一种情况湖的一半，也就是3分之2的根号三派，然后再加上这一段PC的长度，这段PC的长度由于这个是三，那么这个是因为在终点的时候开始走的这个是垂直的，那么这个就是根号3，那么这斜边就是二倍的根号3，所以它是可以路径可以是这样的，也就是3分之2根号三的派，再加上二倍根号3，它也可以是这样子的，先走中垂线。先走中垂线，然后走湖，在终点的时候，接下来我们走湖。那么这时候它的它先是走中垂线，也就是保证AE跟BF相等。接着它走湖，走湖的话就是AE跟CF相等了。那么这时候它走的是湖，所以其实它的路径长就是这段中垂线的一部分，再加一个半边的湖。第一种情况半边的湖，也就中垂线的长度，此时由于它的边长是6，所以它的一半就是3。那么这边终点的时候，它这里是垂直的，那么这个就是根号三根号3。然后这边的弧的长度是第一种情况的一半，所以它应该是根号3加上个3分之2根号三的派。所以本题有4种情况，而后面两种很容易漏掉，因为它的情况比较特殊。 大家好，我们来看一下这道题点A是直线Y等于负X上的一个动点，也就是这条直线的解析式是Y等于负的X由于这条直线的K是负一，那我们知道负一这个K如果是负一的话，那么这条直线与X轴所夹的这个锐角这个角是45度。那么AOB这个角，它就是一个钝角135度，这是135度的角。B是X轴上的一个动点，若AB是2，也就是说AB这条线段的长度始终是个2。那么这时候我们发现AOB是135，AB的话是2，那么这属于定角对定边的模型。那么O点相当于是在一个圆弧上运动，那么此时AOB这个圆周角它是135度。我们移动这个B点，我们发现这个角度始终不变，所以这个O点它始终是在一个圆弧上运动的。现在我们把AOB这个圆画出来，把这个圆M画出来。我们移动这个B点的时候，我们发现O点到AB的距离，在靠近A的位置的时候，它这个高它是比较小的。因为本题要求AOB的面积，AOB的面积是底边AB去乘以它的高。你要想使面积尽可能的大，那也就是O点到AB的距离要尽可能的大。那我们现在在这个移动的过程中，此时的话它靠近A点O点靠近A点它的高比较小。那我们在移动的过程中，它这个膏逐渐变大，逐渐变大的时候，在这个位置它就比较大了。我们继续移动，它这个O就靠近B点去了。此时它的高就是比较小了，又比较小了。所以我们通过移动，我们得到O在AB的垂直平分线上的时候，也就是垂直的时候，它的这个高度是最大的。高度最大，我们把线段连一下。这时候我们可以通过比例关系，由于这个是135度，那么它其实所对的这个跟AOB所对的那个圆周角是45度。那么我们可以得到角AMB它是90度，AMB是95 90度AMB是90度的话，那RAMA是等于MB的，说明MAB是等腰直角三角形，斜边AB是2。那么我们可以得到MA跟MB的它是根号2。那么OM垂直AB的时候，它其实也是平分AB的。其实我们可以得到AB的一半是一，这个点如果是个据点的话，我们可以得到AG是一，MG也是一。那这时候我们可以得到它这个OG的话，它是根号2，也就是NO，也就是半径根号2减1。那么这时候我们可以得到三角形AOB的面积，这时候在这个情况下，它的最大值是2分之1的AB乘以个高OG，根号2减1，这时候是根号2减1。那么本题讲到这里，好多同学以为它的最大值就是根号2减1，所以选C实际上这个题目如果是根号2减1的话，答案是错的。我们应该考虑到它是Y等于负X上的一个动点。也就是说这个点它它这个动点它在X轴上运动的时候，它有可能过这个A点，有可能过了这个O点了，它可能是在这个方向，就是B点。我们继续移动的话，它这个会移动到下方，也就是说它会移动到第四象限上面。那么这时候我们发现AOB的这个高度，实际上实际上比我们刚刚这个高度要大，具体什么时候最大呢？到这边的话，AB长度如果超过了二的话，它这边就不会显示了。所以我们在这个移动的过程中，我们可以初步判定它实际上是比根号2减1要大，因为AB到O的距离明显比我们刚刚那个根号2减1要大。那么这个是不是最大呢？我们继续移动，我们如果说移动到B点移如果移动到X的负半轴上的时候，我们发现那我们继续移动，你看我们发现在这个位置的时候好像是最大值。我们先把这个图像画出来，在这个MOP垂直平分AB的时候，也就是说OM延长交AB于点P当这个OMP3点共线，并且MP是垂直于AB的时候，它的高度是最大的那如果说不是垂直的情况下，MP加OM始终是大于OP的。如果不垂直的话，OP肯定是大于这个垂线的。当B点移动到X负半轴的时候，我们发现。如果说OP它不垂直于AB而OK是垂直于OB的那我们可以得到OP它是大于OK的，给我们做OK垂直于AB那么而这个OM加MP，在OMP3角形中我们可以得到OM加上MP它是大于OP的那OP是相当于是斜边，OPK的斜边，那么肯定是大于OK的。所以在这个过程中我们OM加MP始终是大于OP的。那么当当我们移动这个B点使得amp 3点贡献并且。跟OK重合的时候。此时OMKP重合，那么此时OP就等于OK，而且也等于OM加上MP。那么这时候我们就可以得到，在这个情况下，三角形AOB的面积是最大的，此时的高刚好就是OM加MP了。那么OM加MP的时候就是三角形AOB面积的最大值了。2分之1乘以个2，再乘一个OM加MP。OM的话是半径，半径我们刚刚算过来是根号2。MP的话MP它是一是AB的一半。因为ABM是等腰直角三角形，这时候我们可以得到的是根号2加1，也就是说此时AOB的面积最大值实际上是根号2加1。本题比较容易出错，我们考虑动点问题的时候，要考虑到它的点既可以在X的负负半轴上，也可以在X的正半轴上，而图像动点是在Y等于负X上面。它既可以是第二象限上的点，也可以是第四象限上的点，本题也属于定角对定边的模型，只不过说这里的圆圆的半径是固定的根号2。而它的这个圆的圆周角所对圆周角既可以是45度的，也可以是135度的。 大家好，我们来看一下这道题。如图，矩形ABCD中，AB等于3，BC等于8，也就是AD等于8，PQ分别是直线BCAB上的点AE等于2。三角形AEQBEQ对折得到FEQ连接PFPD，则PF加PD的和最小值是多少？首先由于是三角形AEQ，这个三角形翻折得到AEQFEQ，所以AE等于FE，那么AE是RFE它就等于2。由于EF的这条线段的长度它是不变的，所以E点又是固定的。所以EF这个F点的轨迹它是一个圆，是以E为圆心，二为半径的一个圆，是这么一个圆，属于定点定场的模型。那么现在要求PF跟PD的和最小，由于这个PF跟BD它是PF和PD它是一个折线，所以首先我们想把那个折线换成直的。那么这里我们就需要用到对称，在这个PF和PD这里，这个P点它是一个动点，那么以这个动点所在的直线BC为对称轴，BC所在的直线为对称轴，把这个地点对称到下方，对称完之后我们把这个PD1撇连下，此时PD加PF就是PD1撇加PF就是这两个线段的和。因为PD1撇跟PD始终是相等的，那么这时候它应该是在共线的时候，就是FPD1撇三点共线的时候最小。因为三角形的三边关系就是第三边FD1撇始终是小于两边之和的，就小于PF加霹雳一撇。所以当他贡献的时候，贡献的时候它是最小的。也就是说此时P点应该还是在这时候最小，而这个F点它又是在圆上。也就是说这道题现在变成了第一撇F最小，而F它是一个动点，所以应该是在过圆心的时候，FPD1撇共线，且跟E点也共线的时候，应该是在这个位置。应该是这时候，此时PF加PD和最小。首先PF加上PD它就等于PF加上PD1撇，而PF加上PD1撇在PF第一撇贡献是最小。而由于这个F它是个动点，所以当这个D1撇PFE共线时，四点共线时最小。那么此时那个D1撇E就等于应该是在这个位置四点共线的时候，此时D1撇E就等于在RT3角形EDD1撇中就等于根号下DE的平方加上DD1撇的平方开根号。由于DE它是个6，AB是4，DC也是4，那么D撇C也是4，所以我们可以得到这个DE平方加DD1撇平方开根号的话是六八十，就第一撇一是十十，然后再把这个十，因为半径它是个2，也就是说它的最小值减掉EF等于个8，也就是它的最小值它是个8。这里用到了一个是轴对称将近一码问题。第二个还有一个就是圆外的点到圆上点的最小值是连接圆心线段的长度，再减掉圆的半径。具体原因在前面几个视频中我们已经有分析过了，这里就不重复分析了。 大家好，我们来看一下这一道题。在正方形ABCD中，AB等于小A也就是这四条边都是AE点和F点，是BC和CD上的两个动点，AE和BF相交于点，P相交于P点，BE等于CF连接CP当CP有最小值时，最小值4时，则A的值为多少？首先我们来看一下E点和F点，它是个动点，那么我们找到含有BE和CF这两条线段所对应的这个三角形。那么BE的话，我们找那个BAA这BEA3角形FC我们找到BFC这个三角形，我们会发现这两个三角形是全等AB等于BC角ABE等于角BCF都是直角，BE等于CF已知可以推出三角形ABE全等于三角形BCFSAS那么全等三角形对应角相等，我们可以得到这个角0.11元跟这边的角二是相等的。而如果说这个ABP是角三的话，我们会发现角2加角三是90，而角一又等于角0.22元加角三等于90。所以我们可以进一步得到，角一加上角三是等于90的，也就是说我们可以得到角APB始终是90度。这个始终是直角。那么在直角三角形APB中，这个APB这个直角所对的边始终是正方形的边长A那么说明它是一个定角对定边的模型。P点它在圆弧上，所以P点在圆弧上运动，它的轨迹是圆弧形，而其的而它的半径是AB的一半，圆心是在AB的中点上。圆心就在AB的中点，那么此时它的最小值应该是在连接圆心。也就是说P点运动到圆心，也就是当P点运动到OPC3点共线的时候，此时CP是最小的当在这个位置的时候cp最小，而且最小值就是CO减掉op OPC贡献是cp最小。那么CP的话相当于是OC减掉OC减掉OP，而OC的话是等于OC的话是等于OB方加上BC方开根号。然后再减掉OP，OP的话是2分之1的A也就是说OB的话是2分之1的A的平方加上BCA方，再减掉OP的话是2分之1的A最后是等于CP。CP题目中已知是个4。最后我们可以得到二分之根号5减1的A是等于四的。也就是说A是等于8除以根号5减1，也就是等于2加2倍根号5。最后A的值是2加2倍根号5。 大家好，我们来看一下这道题，如图RT3角形ABC中ABCAB垂直于BC这个角是直角，AB它是6，AB是6，BC是4。那么P是三角形ABC内部的一个点，且满足PAB这个角，这个角等于PBC这个角。如果说我把PAB看成是角一的话，那么PBC我们看成是角二的话，那么角一跟角二是相等的。而由于ABP这个角，我们把它看成是角三。由于题目已知的话，它是角一跟角二相等，而题目ABC是直角，那么角2加角三是等于90度的。而角一等于角2，说明角1加角三也等于90度，角1加角三等于90度。也就是说在三角形abc中，角1加角三是90，就意味着角APB。角APB它始终是等于90度的，说明它是一个RT3角形。而这个APP所对的边AB为六为定值，也就是说这就属于标准的定角。对定边模型，那就说明这个P点它所在的一个轨迹，它是在一个圆弧上的，而APB它是一个圆周角圆周角。它所对的这个边就是直径了，那么AB的中点就是它的圆心。所以我们把这个圆画一下，这个圆DD点就是AB的中点了。那我们要想求CB的最小值，我们只需要把CDP连一下。连一下。我们发现在CDP这个三角形中，如果是构成三角形的，那么它的CP的长度它始终是大于两边之差的，大于这个CD，减掉这个PD而当他们共线的时候，就取到等号了。我们移动P点。移动到这个CDP3点共线的时候，那么此时CP就等于CD减掉PD由于AB是6，所以BD它就是个3。那么DBC是直角，那么说明CD勾股定理。我们用一下15PD的话，它也是个3，也是圆这个D的半径它是3，所以CP它的最小值就是2。 大家好，我们来看一下原相关的几何最值问题。在圆的问题中，隐形圆常见的有两种模型。第一种是定点加定长的圆，也就是说给你一个固定的点，还有固定的长度，那么也就相当于是线段AB绕A点旋转一周得到的图形，那么这个轨迹它是个圆。另外一种类型就是定角加定长也是个圆。我们也可以说定角对定边，或者定边对定角。也就是说如果说在AB这条线段它是固定的，那么它所对的这个角P它始终是90度。那么这个P点的所有的轨迹，P点所在的这个轨迹它就是一个圆，相当于这个P点是以在AB为直径的圆上。当然如果说这个AB它不是直径，它只要是一个固定的长度，那么它只要它所对的这个角角P始终是固定的，或者说这个角P所对的这个边始终是这个AB那么这个P点相当于也是在这个圆周上，在圆周角的这个知识点里面。也就是说在同一个圆中，圆周角固定它的位置有无数个，也就是说这个P点，它就是轨迹，它是个圆。这个P这个角P既可以是直角，也可以是锐角，也可以是钝角。只要是这个角是固定的，它所对的这个边也是固定的。那么这个P点所在的这个轨迹就是个圆。它通常跟三角形三边关系，还有两点之间线段最短等知识结合。我们首先来看一下第一道例题，如图在RT3角形ABC中，角abc等于90度，也就是说这个角它是90，AB等于AC那么说明BAC这个三角形它是一个等腰直角三角形，BC是直角所对的边，它是二倍根号2。那么我们可以得到AB和AC的长度。因为等腰三角形的直角边跟斜边的比值是一比根号2，所以BC的长度如果是二倍根号2。也就是说斜边如果是二倍根号2的话，那么它的直角边就是2。也就是说AB和AC它都是二点D，这个D点是AC上的一个动点，也就是说D点它的长度，AD的长度它是变化连接BD以AB为直径，这里AD是直径，那么在圆里面直径直径所对的圆周角是直角，所以我们可能需要做一下辅助线，就是连接AE因为直径的知识我们可以得到，AED它是90度交BD交BD于E点，那么BED3点是共线的。那么它题目问的是CE长，由于AD的长度在动，到E点的位置也在动，那么它一点的这个轨迹是怎么样子的呢？首先我们连接AE我们首先第一步我们可以得到AED，它是个90度，而AED是90，我们也可以得到AEB，它也是个90，这两个角都是90度，这2个90。那么这2个90里面所对的边，我们刚刚说了定角对定边。如果说这个角固定它的边，如果也是固定的，所所对的边长度也是固定，那么它的轨迹就是一个圆。那么这个AED所对的这个边AD它是动点，AD它是D点，它是动点，所以AD这条线段的长度它是变化的，而这个AEB所对的这条边AB它是固定的，所以这个E点E点相当于是以AB为直径的一个圆上，我们移动这里就属于定角对定边，AEB是直角固定的那它所对的边AB的长度也始终是个2，AB相当于就是直径了。那圆心就是AB的终点的位置。所以我们可以移动移动这个地点，我们可以得到这个E点的一个轨迹，它是一个圆弧。是一个圆弧，当然我们也可以把这个圆弧所在的圆给画出来。那么它相当于是以AB为直径的一个圆，一点在圆弧上运动。那么CE的长度我们可以通过移动移动这个地点，我们发现CE的长度它是在变化的那它什么时候最小呢？我们连接OE和OC。通过分析我们可以得到在三角形coe中，三角形的第三边是大于两边之差，小于两边之和的。也就是说在三角形coe中，那么CE这条长度，它是大于两边之差，也就是大于OC减去OE。那么我们移动这个地点。我们移动这个地点，当这个OEC3点共线的时候，共线的话我们可以得到CE它是等于OC减去OE的。也就是说CE的长度的最小值是在等号的时候取得，也就是在共线的时候取得。所以我们只需要算出OC的长度和OE的长度就可以了。那么OC的长度我们相当于是在OAC这个RT3角形中，OC的话它是等于因为OA是一，OA是一，那么角OAC它是直角，AC是2，所以OC应该就等于根号5。OE它是圆的这个半径，OE它是等于一的，所以CE的这个长度其实是大于等于根号5减1。我们在贡献的时候取得最小值，取得最小值，根号5减1，我们移动的时候就可以得到这个轨迹了。它的轨迹是一个圆弧，也就是说我们只要找到定角对定边就可以了。 大家好，我们来看一下这道题。如图，在边长为二的菱形ABCD中，角A等于60度，那么说明它是一个特殊的菱形。M是AB的终点，那么MD就等于MA。由于边长菱形的边长是2，所以MD和MA都是1N是AB上的一个动点。那N这个点的位置在线段AB上滑动，将三角形MAN这个三角形沿MM所在的直线折叠得到MNA瞥连接A撇C则A撇C的长度的最小值是多少？这个是由动点引发出来的现代最值问题。首先折叠的话，我们可以得到MA跟MA一撇始终是相等的。也就是说MA一撇这条线段，它的端点M是固定不动的，始终是AD的中点。A撇的位置它是随着N的变化而变化的，所以相当于A撇的这个轨迹，它是一个圆弧形，就是定点加定长的这个模型。M点不动是圆心，MA一撇始终是一，也就是半径。所以A撇是在以M为圆心，MA一撇也就是一为半径的圆弧上滑动。那么我们可以把这个图先画一下，移动N点，那这个A撇它就轨迹就产生了，它是一个圆弧，那么由于MD和MAPA的都是一，所以它实际上是过A点和地点。那么在这个滑动过程中，这个圆弧已经产生了，那么什么时候最小呢？一般的话我们把这个MC连一下MA撇C这个三角形中，这个三角形中我们是可以得到A撇C的话，它是大于两边之差的，大于MC减去MA。而在这个黄色的三角形中，三角形MA撇C中三角形的话两边之差是小于第三边了。那么当我们移动到共线的时候，就是MA撇C三点共线时，就共线时就在这个位置，那么就可以得到贡献可以得到A撇C它是等于MC减掉MA撇的。那么也就是说ACA撇C它是大于等于MC减掉MA撇的，在贡献时取得最小值，贡献时取得最小值，这个就是我们要求的最小值了。那最小值我们首先要求的是MC的长度，MA撇的话首先它是个一，始终是不变的。那么MC的长度怎么来求呢？MC的长度如何去求呢？因为题目的背景是菱形，所以我们需要把MC这条线段放在一个三角形中，放在一个三角形中。那么这个三角形最好是特殊的三角形，我们不妨就把它放在MDC中。那么MDC这个三角形它是一个含有特殊角的三角形。首先因为角A是60度，所以MDC这个角MDC这个角是120度120度。那么DC它是个2，那么MC的话我们知道有一个边是一，一个边是二，还有个夹角是120度。所以我们需要构造辅助线，构造辅助线。因为这个是120度，120度是个特殊的三角形，所以我们延长MD或者延长CD都可以。我们这里延长MD好了，延长MD那么我们就可以得到这个角是60度，那么还有60度和一条边是二的，我们一般要构造垂线过C延长MD，过C点做ABCD，A做CE好了，做了ce垂直于这个de于一点，那么在这个RT3角形CDE中，由于这个EDC它是60度，那么这个CD是2，说明它是一个含有特殊角60度，或者说这个角30度，这个角角ECD，这个是30度，还有特殊角的RT3角形。那么由于CD是2，那么这个ECD是30，所以我们可以得到DE是等于个一。EC我们也可以算出来它是个根号3，就勾股定理算一下就可以了。那么这时候我们可以得到MC，MC的话它是在RT3角形MCE中，MC的话可以看成是EMC的斜边，它就是斜边的话是直角边的平方和开根号，ME的平方加上那个EC的平方。那么ME的话它因为DE是一，所以ME它就是个2，所以是二的平方加上ECEC我们刚刚算过来它是个根号3，所以就是根号三的平方。那这时候我们可以得到它是根号7，那么本题这个A撇C它是大于等于MC的话，是根号7，减掉MAPH1，也就是说它的长度是大于等于根号7减1，在共线的时候取得最小值根号7减1。那么这个就涉及到一个是菱形，一个是折叠，还有个三角形三边关系，还有一个特殊角的利用，还有就是圆轨迹的一个寻找，本题就比较综合了。 大家好，如图，已知正方形ABCD的边长是4，意识上面的一个动点过B点做BG垂直于CE于G点点P是AB上的另一个动点，则PG加上PD的和的最小值为多少？PG加PD为折线，那么我们首先要想到的是把折线画成直线，方法是对称。那么对称轴是什么呢？对称轴就是动点所在的直线，P点是动点，这个点所在的直线为对称轴。所以首先我们需要把地点通过AB这个直线作为对称轴去对称。连接PD1撇，先找出对称点第一撇连接PD1撇，这样PG加上PD就变成了PG加上PD1撇。那么什么时候最小呢？当PD一撇距三点共线的时候最小，我们把这个三角形连一下，第一撇PG共线时最小，理由是PDPD1撇加PG它是大渔在三角不共线的时候是大于第一撇G当共线的时候贡献的时候是等于PG加上PD是等于DPG。PD加上PG其实就是PD1撇加上PGPD撇本来如果是不共线的话，它是大于第一撇G的，那么贡献的时候就是等于，所以在等号的时候取得最小值，也就是说撇D撇PG贡献时最小，那么这个最小值是多少呢？此时是贡献的时候，那么这第一撇G是怎么求的呢？由于G点BGC始终是直角，而这个直角所对的边始终是BC。BC是正方形的，边长是4，所以属于定角对定边的模型。也就是说BGC3点在一个圆上，而BGC是圆周角，那么直径是BC。也就是说G点是在以BC为直径的圆上，此时圆心是BC的中点O点。也就是说OB等于OC等于OG等于2。那么此时第一撇距在什么时候最小？在共线的时候，最小连接数连接第一撇O当G点是第一撇O与圆O焦点时最小，我们可以大概画一下这个轨迹。那么此时第一撇G当据点在D1撇O跟圆交点时，距此时D撇C是4，这个也是四，这是2。那么第一瞥第一撇G的最小值PG最小值就等于D1撇O减掉OG第一撇O的话相当于是四的平方加上6的平方，减掉OG的话等于二倍根号13减去2。 大家好，我们来看一下这道题。如图，三角形ABC为等边三角形，AB等于2。那么由于是等边三角形，它三条边都是二三个内角都是60度，CABACB和角CBA都是60度。P为三角形内部的一个动点，这个pedia是一个动点。且满足PAB等于APPAB是这个角，等于acp p是这个角，这两个角相等。那么求PB的取值范围。由于PAB这个角跟ACP这个角相等，我们首先设PAB是角一，ACB是角2，那么CAP的话我们设成角3。由于PAB角一跟ACP角2相等，而角一加角三刚好是CAB这个角等于60度，那么角一又等于角2。所以综合来看，我们可以得到角一把角一换成角2，我们可以得到角2加上角三是等于60度的。那么在三角形ACP中，由于角2加角三等于60，根据内角和180，所以我们可以得到角APC是等于120度的。那么这个角是120度。这个角如果是120度的话，而这个角所对的边ac这条边恰好是2，那也就是定角对定边的模型。定角对定边，所以P点在一个圆弧上运动，这个圆相当于就是ACP的外接圆。这个圆心在AC的垂直平分线上，同时也在AP的垂直平分线上。我们首先把这个圆O画出来，那么P点相当于在这个圆弧上运动，保证APC始终是120度。这样我们可以得到这个APC是120的话，我们可以得到它相对的这个补角。AQC可以得到的是60度，AQC是60度的话，我们可以得到AOC它是120度，120度OA跟OC相等，所以o ac是一个120的等腰三角形。为了研究PB的长度，我们可以把OPB这个三角形连一下，那么OA和OC也联系，那么P点我们可以得到是在猎狐AC上运动的那PB什么时候最小呢？我们在移动的过程中，我们发现这个PB在这个位置好像比较长，在移动的过程中逐渐变小变小，那在这边它又变长了。所以它在不共线的时候，PB的长度它是大于两边之差的，大于OB减掉OP。那么当他贡献的时候，在这个位置OPB3点共线的时候，我们可以得到最小值，也就是取到等号PB就是OB减掉OP。那么现在OP就是圆的圆O的半径，圆O的半径，那么OB是多少呢？我们来看一下，由于等边三角形的边长它是个2，而角APC是120，它的对角AQC是60，所以AOC是120，AOC是120。而OAC的话它是一个等腰三角形，我们可以进一步得到它的底角OAC是30，那OCOCA也是30，而原来的ACB它是60度。所以我们可以得到OCB它是一个直角三角形。那么OCB这个直角三角形，我们同时也可以得到OCOB它是个60度，也就是说OCB其实是一个含有30度角的直角三角形，也就是说OCB是含有30度角的直角三角形。它的三边关系是OC比上CB比上OB的话，它是一比根号3比2。这样我们就可以得到OC的长度了。OC的话就等于OC跟CB是1比根号三的关系。由于它是直角边的比值，所以OC相当于就用BC去除以根号3，也就是2除以根号3，那就是等于3分之2的根号3，也就是圆O的半径是3分之2根号3，也就是OP是3分之2根号3。那么这时候我们还可以进一步算OB的长度，OB的长度应该是OC的两倍，30度所对的边是斜边OB的一半，所以OC就等于OC是3分之2根号3。所以OB就等于两倍，那就是3分之4根号3。那么这时候OB就是3分之4的根号3，那么PB的最小值就等于3分之4的根号3，减掉3分之2的根号3，最后是等于3分之2的根号3。 大家好，我们来看一下圆相关的几何最值问题。在圆的问题中，隐形圆常见的有两种模型。第一种是定点加定长等圆也就是说给你一个固定的点，还有固定的长度，那么也就相当于是线段AB到A点旋转一周得到的图形，那么这个轨迹它是个圆。另外一种类型就是定角，加定长，也是个圆。我们也可以说定角对定边，或者定边对定角。也就是说如果说在AB这条线段它是固定的，那么它所对的这个角P它始终是90度。那么这个P点的所有的这个呃轨迹，P点所在的这个轨迹它就是一个圆，相当于这个P点是以在AB为直径。的圆上。当然如果说这个AB它不是直径，它只要是一个固定的长度，那么它只要它所对的这个角角P始终是固定的，或者说这个角P所对的这个边始终是这个AB那么这个P点相当于也是在这个圆周上，在圆周角的这个知识点里面。也就是说在同一个圆中，圆周角固定它的位置有无数个，也就是说这个P点，它就是轨迹，它是个圆。这个P这个角P既可以是直角，也可以是锐角，也可以是钝角。只要是这个角是固定的，它所对的这个边也是固定的，那么这个P点所在的这个轨迹就是个圆。我们来看一下这道题，如图，AB是圆O的直径，那么AB所对的圆周角就是直角，ACB就是90度，MN是弧AB上的两个点，C是弧MM上的一个点。也就是说C是在湖MM上移动的角CB的平分线交圆O于点D由于CD是角平分线，所以角ACD这个角跟角BCD这个角都是45度。因为是90度，所以这两个角是相等的，并且都是45度。而这两个角都是圆周角，所以在同一个圆中圆周角相等，我们可以得到它所对的弧是相等的，这个角跟这个角是相等的，那么BAC的平分线交CD于点E也就是说这个角cae跟角BAE它是相等的。为了方便的说明，我们这里写角一，这里是角0.21元跟角二相等，那这边写角3和角4，这两个角都相等。那么当C点从M运动到N的时候，CE2点运动的路径长枝长的这个比值是多少？首先我们可以知道C点的运动路径，它就是弧M那么E点的运动路径是什么样子的呢？一般情况下由于C点是弧的话，E点是由于C点的运动而运动，所以E点的运动路径一般情况下也是湖。那么我们主要要研究出它的半径以及它所对的一个圆心角。那么这个E点的轨迹，我们如何去推导？首先我们看一下，由于角一跟角二相等，那么角一跟角2所对的弧AD跟湖BD它是相等的。如果说我们把那个AD和AD和BD联系下的话，它的这个弦也是相等的，就是AD跟BD它也是相等的，这个是圆周角定理，这两条线段也是相等的。其次由于这个CAE跟BA也就是角3跟角四相等，那么我们可以进一步得到什么信息呢？角一等于角2，我们可以得到弧AD跟湖BD相等。那么在同一个圆中，相等的弧所对的圆周角是相等的，那么壶必定所对的圆周角还有一个角就是这个角我们可以把它看成是角5。也就是说角0.12元和角五这三个角是相等的，而角三跟角四相等。那么角dae这个角。DAE这个角就是由角4和角五构成。而角这个ada ED它是由那个它相当于是三角形CAE的外角，CAE的外角。那么这个外角是不相邻的两个内角和，也就是它等于角1加角3，也就是角一加角3。而角三是等于角四的，而角五是等于角一的。因为角五等于角0.22元又等于角一，所以角一等于角伍，角三等于角4，所以我们可以得到角DAE等于角AED。那么由于等腰三角形等角对等边，所以可以进一步得到da等于de。而我们之前也推导过DA是等于DB的那也就是DA等于DE等于DBDADE和DB是相等的。那么在这里我们不妨设这个圆O的半径，圆O的半径为R那么角这个moon。角MON我们把它设成阿尔法，那么这时候我们就可以得到AB就是22R，而那个AB是直径，所以ADB是等腰RT3角形。那么等腰RT3角形的这个直角边AD和BD，它就等于等于BD等于根号二倍的R那么E点的轨迹相当于是在以D为圆心，AB为半径的圆弧上。那么它的圆心角是多少度呢？我们首先连接DM跟DN这个时候我们可以得到E点的轨迹，它相当于是以D为圆心，AB为半径的一个圆湖。我们把这个圆弧先画出来。好了，焦点。湖FG也就是说E点的这个轨迹其实就是运动路径，其实就是F点运动到G点，F点16到G点。那么湖FG湖FG这个长度就等于弧FG的这个长就等于180分之。由于这个MON我们设的是阿尔法，那么它相当于是圆O的圆心角，那么这个FDG相当于是MDM，MDM相当于是MN这段弧所对的圆周角。所以它这个角度是二分之阿尔法，刚好是MON的一半，这是180分之，这个角度是二分之阿尔法。派半径的话它是AD为半径，D等于AD等于DB所以它是根号二倍的这个那么弧MN的长度，MN的长它其实是等于180分之圆心角的话，它这个壶圆心角是啊，派半径是小R那么这个就是C点的运动路径了，四点运动路径。那么它们两个的比值，就是用上面这个比去下面这个派跟2，派跟R都约掉了，那也就是根号2。 我们来看一下这道题，这是2019年南京的中考真题。在三角形ABC中，AB等于四角C等于60度。角A大于角B则BC长的取值范围是？首先我们根据前面两个条件，AB等于4以及角C等于60度，我们可以画出其中的一个三角形。而由于角C是60度，AB是4，那么这个条件的话我们可以画出无数个符合条件的三角形。只要保证AB的长度不变，角C始终是60度，我们可以移动角C的位置，保证角C的角度不变。这就属于标准的定角对定边的模型。那么C点是在一个圆弧上的，我们把这个三角形ABC的外接圆画出来，C点在ACB这个U湖上，又由于角A大于角B在三角形里面大边对大角，小边对小角，也就是说角A所对的边BC要大于角B所对的边AC那么我们先把这个问题特殊化，假如说角A等于角B的话，那么C点角A等于角B的话，那么AC就等于BC也就是说这个三角形就是等边三角形，就是C点在这个位置跟D点重合了。此时的话三角形ABC是等边三角形，AC等于BC那么假如说我C点在这边运动，在湖AD上运动，此时的话我们是可以得到BC的话是大于AC的。如果说这个C点是在BD上面运动，那么这时候我们是可以得到BC的话是小于AC的。那么综合刚刚这两种情况，我们可以最终确定C点应该是在AD上运动才能满足题目的条件。角A大于角B那么这时候什么时候BC最长？由于BC是圆里面的一条弦，所有弦中直径是最长的。这时候当BC过圆心的时候，此时是最长的。那这时候BC的话是最大值，最大值是因为这个角就是直角了，这角是直角，那么这个角B的话，因为角C是60，那角B就是30度，我们可以得到cos b的话，BA比上BC是等于4，比BC是等于二分之根号3。那么这时候可以得到BC的话是等于3分之8的根号3，这时候BC是最长。那么移动C点在这个位置的时候，BC始终是小于3分之8根号三的。那么什么时候最小？最小也就是在等号的时候取到临界值最小，也就是说这个时候BC等于4的时候是最小的。而这个四的话是取不到的，因为角A要大于角B到这边的话，到这边的话就BC就是小于四了。小于四的话就角A是小于角B的，那么在D点的时候，角A是等于角BBBC刚好等于4。那只要过了这个地点，在这一段AD上运动的时候，BC都是大于四的，最大值是3分之8根号三是直径的时候。所以综合我们刚刚的讲述，BC的取值范围就是大于4小于等于3分之8根号3。 大家好，我们来看这样一道题，AB的坐标分别是1050，那么AB的长度是四点P是该直角坐标系内的一个动点。若P在Y轴上，且角APB等于30度，求满足条件的点P的坐标。首先如果P是直角坐标系内的一个点，而AB这条边是4，AB所对的角APB是30度，这属于典型的定边对定角的模型。那么在直角坐标系内这个P点有无数个。如果在P点是在Y轴上的话，我们首先根据题目画一个图。由于APB是30度，那么圆心角AGB它就是60度。由于60度的等腰三角形它是等边三角形，明GAAB和GB是相等的，也就是说这个圆的半径是4。这时候我们先求P点的坐标，P点的坐标我们可以认为只需要算这个OP的长度就行了。由于GA等于GB等于AB等于4，那么我们可以考虑过G点做垂线，过G点做GH做GH垂直于AB于H那么GH是垂直平分AB的。由于AB是4，所以AH是个2，GA是个4，GH是二倍的根号3，然后我们再过G点做GQ垂直于op于Q点，这是Q那么这时候我们可以得到GQ它其实跟OH是一样的十三，而GP的话GP1它是个4，所以PQ就是根号7。下面的QO跟GH是一样的，都是二倍的根号3。所以我们可以得到P1点的坐标是零逗号，二倍根号3加个根号7。下面我们看P2点的坐标，P2点的坐标是类似的，我们连接GP2，同理我们可以得到GQP2之间我们同理可以得到P2Q的话是等于根号7的。那么此时的P点坐标相当于是QO减掉QP2，所以QO是二倍根号3，跟GH是相等的。所以这个P2点的坐标就是零逗号二倍根号3减去根号7。这是圆心在第一象限的时候所对应的Y轴上的P点的两个坐标。那么本题的圆心也可以在下方，所以我们可以把图对称一下，对称到下方也有两个点，而这两个点跟P1P2分别跟P1P2的纵坐标分别互为相反数。还有两个负的二倍根号3减根号7，还有个零负的二倍根号3加上根号7，我们主要用的知识点是垂径定理。下面我们来看一下第二问当P点在Y轴上移动时，角APB是否有最大值。若有求点P的坐标，并说明此时APP最大的理由。首先我们在Y轴上取一点P构成角AB然后我们做PAB的外接圆，这时候我们就可以得到APB这个角度是随着P点的变化而变化的。我们把APB的度数度量一下，现在这个位置是38.08度，我们往上移动APP的度数会逐渐的变小。再往上就越来越小了。如果说我们往下移动，在我们这个移动的过程中，它这个角APB的度数是逐渐在放大的。当我们到这个位置就是圆M跟Y轴是一个交点的时候，趋于到最大值。再往下它的角度又变小了，在负半轴的话也是一样的道理。在相切的时候，就是圆M跟Y轴是一个焦点的时候，它的APP的角度是最大的。那么再往上它就是右边小了。好，下面我们来分析一下，为什么在在相切的时候角APB是最大的。首先我们知道角APB的度数始终是角AMB度数的一半，角APB是圆周角，而角AMB的话是圆心角，是同一段弧AB所对的圆心角，所以APB始终是等于2分之1的AMB。所以我们把2分之1的AMD找出来，也就是过M点我们做AB的垂线。如果说这个点是N的话，那么也就是角AMN的度数。2分之1AMB就是角AMN的度数，而AMM这个直角三角形，它的一条边AM始终是定值，也就是说要想使APP的较大，也就是说角AMN要大。而AMN这个角的sine值它是等于对边AM比上斜边AM的，而AM它始终是个定值2。AM它其实是圆的半径，R也可以认为是MP，MP也是圆的半径。也就是说要想使这个角越大，那么这个2除以MP这个值要越大越大的话，由于分子是二固定的，所以分母MP要尽可能的小。M的话是个圆心，P的话是Y轴上的点，也就是说M点到P点的距离要尽可能的小。所以当它们垂直的时候，就是当MP垂直于Y轴于P点的时候，它的值是最小的，此时所对应的角APP最大。那么当它最大时，P点的坐标是多少？那么垂直的时候我们把这条线连一下，相切的时候，也就是垂直的时候，就是MP垂直于Y轴的时候，这个是垂直的。那么此时的这个半径MP的话就等于ON，OM它是个3，也就是半径是三，MA就是3。MS3的话我们根据勾股定理，MN就等于根号5。所以此时相切的时候，它的P点的坐标是零逗号根号5。当然我们这个也可以对称到下方，当圆心M在第四象限的时候，它的坐标刚好是原来坐标的相反数，就是零负根号五两种情况。