模块二 专题10 圆-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

模块●图形与几何 专题10 圆 必记·核心公式· 知识点①垂径定理及其推论一级公式 文字语言 符号语言 图示 垂直于弦的直径平分 如图，CD是直径，CD⊥AB, 垂径定理 弦，并且平分弦所对 .AE=BE,AD=BD, 的两条孤 AC BC 平分弦（不是直径）的 如图，：CD是直径，AB是非 A 垂径定理 E B 直径垂直于弦，并且 直径的弦，AE=BE,.CDL 的推论 平分弦所对的两条弧 AB,AD BD,AC=BC 知识点②圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补 必学·二级公式· 二级公式托勒密定理高频考点 秒解公式 推导过程 如图，四边形ABCD为圆内接 如图，在BD上找一点E,使∠BAE=∠DAC. 凸四边形，AC,BD为四边形 ,∠ABD和∠ACD都对应AD, ABCD的对角线，则AB·CD+ ∴.∠ABD=∠ACD, AD·BC=AC·BD ∴.△ABE∽△ACD, ·=路 即AB·CD=AC·BE.① 又.∠ADB和∠ACB都对应AB, 题干搜索：四边形ABCD为圆 ∴.∠ADB=∠ACB 内接凸四边形，求四边形的四 又·∠BAE=∠DAC, 条边和两条对角线之间的数 ∴.∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC, 量关系 即∠BAC=∠DAE,∴.△AED∽△ABC, ·2=器，即AD:BC=AC·BD.② ①+②，得AB·CD+AD·BC=AC·BE+AC·ED= AC·(BE+ED)=AC·BD 45 初中数学二级公式必解 金典例如图，以AB为直径的⊙O中，点C为⊙O上一点，且 ∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D,连接AD,BD,若AB=4, 求CD的长. 二级公式解法 公式秒解技法 解析：，AB为⊙O的直径，.∠ADB=∠ACB=90°. 四边形ACBD为圆的 .∠ABC=30°，AB=4, 内接凸四边形，符合托 ·在R△ABC中，AC=}AB=2, 勒密定理的特征，因此 可以直接利用托勒密定 由勾股定理，得BC=√AB2-AC2=√42-22=25. 理的结论解决问题！ :∠ACB的平分线交⊙O于点D, ∴∠ACD=∠BCD,∴.AD=BD,.AD=BD, ∴，△ABD为等腰直角三角形， .AD=BD=2AB=2√2. 2 ,四边形ACBD为圆的内接四边形， .AC·BD+AD·BC=AB·CD,即2×2√2+2W2× 23=4CD,解得CD=√2+√6 。 必练·中考真题 1.(武汉·中考)如图，⊙O中有圆内接四边形ABCD,已知BD=8,CD=5,AB=6, ∠BDC=60°，则AD的长为( 8v22-5 A B.8V22-6 C.8v22-7 1 D.8V22-8 1 2.如图，Rt△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°，AC=6,BC=8,CD平分∠ACB交⊙O 于点D,求CD的长 -46加中数学二级公式沙解 .GE=BE-BG=BE-DF, .'EF=BE-DF. 专题10圆 1.B 2.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 6,BC=8, 由勾股定理，得 AB=VAC2+BC2=V62+82=10. AB为⊙O的直径， .∴.∠ADB=90° .CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD, .'BD=AD 在Rt△ABD中， 由勾股定理，得BD2+AD2=AB2, ∴.2AD2=100 解得AD=5√2（负值舍去）. .BD=AD=52 根据托勒密定理，得 AB·CD=AC·BD+AD·BC, 即10CD=6×5V2+5√2×8， 解得CD=7√2 专题11切线长与切线长定理 1.7.5 2.解：由相交弦定理，可知PA·PB=PD· PC. PA=3,PB=8,CD=10, .PC=10-PD, .PD·(10-PD)=3×8, 解得PD=4或PD=6 当PD=4时，PC=6; 当PD=6时，PC=4. PD>PC,∴.PD=6 3.解：.·直线ED为⊙O的切线，AD为 弦，根据弦切角定理可知，∠ADE= -74 ∠ABD=19° BD为⊙O的直径， ∴.∠BAD=90° AC平分∠BAD, ∴.∠BAF=∠DAF= 7∠BAD=45 在△ABF中，∠AFB=180°-∠BAF- ∠ABD=180-45°-19°=116°. 专题12三角形的内切圆 1.解：∠C=90°，BC=4,AC=3, ·AB=VBC2+AC=5,Sc=3× BC·AC=6. 根据直角三角形内切圆的半径公式， 得r=BC+4C-AB=4+3-5=1, 2 2 .S圆=2=兀， 六S阴影=SAM8c-S圆=6-元. 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 8,AB=10,由勾股定理，得AC= VAB2-BC2=V102-82=6. 根据直角三角形内切圆的半径公式， 得r=4C+BC-4B-6+8-10=2, 2 2 .S圆=πr2=4机 故这个三角形内切圆的面积为4π. 3.解：如图，作AE⊥CD于点E,JLBC 于点J ·AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90° .AD BD,