辽宁省名校联盟2026届高三下学期高考模拟（最后一卷）数学试卷

绝密 启用前 2026年高考模拟 数 学 本试卷总分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.设复数x=1十i,w=3十2i,则x+w的虚部是 A.-3 B.3 C.-3i D.3i 2.我们称数集T为数域T,当且仅当数集T中的任意两个元素经过加法、减法、乘法、除法 (除数不为O)四则运算后,其运算结果仍在数集T中,则下列数集能称作数域的是 A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3.若实数a>b,则下列不等式中一定成立的是 A.a2>62 B.la+61<lal+81 C.a+b>2√ab 毁 D.(a-b)c2≥0 4.若函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)可能为 A.f(x)=|tan x ln|xl B.f(x)=tanx In xl C.f(x)=-Itan l.In lxl D.f(x)=-tanx In lzl 5.在平面四边形ABCD中,|AB1=2,1CD1=11,|AD1=10,且AC BD=0,则|BC= 翼 A.2 B.3 C.4 D.5 6.某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学 生成绩的平均数为112分,方差为8,乙班40名学生成绩的平均数为94分,方差为8,则 这90名学生成绩的方差为 A.8 B.36 C.64 D.88 数学试题第1页(共4页) 几,已知过椭圆士=1(@>b>0)的焦点F1,F2的两条互相垂直的直线的交点在猫圆内 部(不含边界),则此椭圆离心率的取值范围是 A.(0,1) 8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x一1)=f(x十3),当x∈ [4,6]时,f(x)=2十1,则函数f(x)在区间[一2,0]上的反函数f-1(x)的值f-1(19)为 A.1og215 B.3-2log23 C.5+log23 D.-1-21og23 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.记数列{anm}的前n项和为Sn,若nam+1=Sn十n2十n,且S1=2,则 A.a2=4 B.{an)是等差数列 C.Sn=n2+2n-1 10.如图,圆锥VAB内有一个内切球O,AB为底面圆O1的直径,球O与母线VA,VB分别 切于点C,D.若 VAB是边长为2的等边三角形,MN为底面圆O1的一条直径(MN与 AB不重合),则下列说法正确的是 A球0的表面积为智 B.圆锥VAB的侧面积为4 C因面体CDMN的体积的取值范围是(O,哥】 D.若P为球面和圆锥侧面的交线上一点,则PM十PN的最大值 为2⑦ 11.设直线l:y=x十m与曲线C:x=√y2+1相切于点M,过点M且垂直于l的直线分别 交x轴、y轴于点A(x1,0),B(0,y1),并记点P(x1,y1),下列命题中正确的是 A.|k|>1 B.IPMI是|AM|与|BM|的等比中项 C.存在定点S,T,使得IIPS1一IPTI为定值 D.存在定点S,T,使得|PS+IPTI为定值 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.某人工智能模型在自然语言处理中,使用位置编码表示词序,每个位置编码需用一个 6维向量表示.若某位置编码可以写成(a,b,c,d,e,f)的形式,其中a,b,c∈(1,2,4),则 在仅考虑前3个位置的情况下,a,b,c恰好取2个不同值的编码共有 个.(用数 字作答) 13.已知函数fx)=g3的图象关于点P对称,则点P的坐标为 14.记数列(a)的前n项和为S,若不等式a十ma子对任意等差数列(a.)及任意正整 数n都成立,则实数m的最大值为 数学试题第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图,在 ABC中,∠ACB=2∠ABC.设点D是BC边上一点,且满足2∠BAD=∠ABC. )记∠ABC=9,用0表示0 (@者+C=1,求BD, 16.(本小题满分15分) 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠ADC=60 ,PA=1,AB= 2,PB=√5,平面PAB⊥底面ABCD,直线PC与底面ABCD所成的角为30 . (1)证明:平面PAD⊥平面PAC; (2)求二面角B-PCD的余弦值. 17.(本小题满分15分) 甲、乙参加射击选拔赛,规则如下:抽签决定首次射击方,两人轮流射击,射中目标者得1分, 对方得0分,射不中目标者得0分,对方得1分,得分领先2分者胜出,选拔赛结束,射击的总 次数为n(n≥2),设每次射击甲射中目标的概率为,乙射中目标的概率为p(0<p<1),若 射击2次甲胜出的概率为号,各次射击结果独立。 (1)求p; (2)求射击2次甲得分X的分布列及均值; (3)若甲胜出的概率为P.A),证明:号≤2P,(A)<是 数学试题第3页(共4页) 18.(本小题满分17分) 如图,已知抛物线C:y=ax2-4ax的图象与x轴交于O,A两点,且过点B(1,一) (1)求抛物线C的解析式和点A的坐标; (2)若将抛物线C的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得抛物线C 的图象 ①设M为抛物线C位于第一象限内的任意一点,MN⊥x轴于点N,求|MN|+|MA| 的最小值; ②若过抛物线C的焦点F作直线AB,与抛物线C交于A,B两点,再过A,B两点分别 作抛物线C的切线,两条切线交于点P,求|PF|?一|FA| |FB|的值. A 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e-x十cosx,x∈(0,2 ).设f'(x)为f(x)的导函数. (1)证明:f'(x)有且仅有一个极值点; (2)判断f(x)的所有零点之和与2 的大小关系,并说明理由. 数学试题第4页(共4页) 2026年高考模拟 数学 叁专管亲及解折 2026年高考模拟答案 数学 一、选择题 (AB+BC+CD)=AB (BC+C市)+ 1.A【解析】依题意得之十w=4+3i,则z十w= BC.(BC+CD)=AC.BD=0,所以BC= 4一3i,所以其虚部为一3.故选A. BA+DC-DA2=25,所以1BC1=5.故选D. 2.C【解析】对于A,1一2=一1不在自然数集 6.D【解析】设甲班50名学生成绩的平均数和 中,不正确;对于B,号不是整数,不正确;对于 方差分别为x1,s,乙班40名学生成绩的平均 数和方差分别为元2,s,则x1=112,s子=8, C,有理数经过加法、减法、乘法、除法四则运算 元2=94,5=8,所以这90名学生成绩的平均 后,仍为有理数,正确;对于D,√2X√2=2不 在无理数集中,不正确.故选C. 数为云=0(501十40,)=0(50 12+ 3.D【解析】对于A,当a=1,b=一2时不成 40 94)=104,则这90名学生成绩的方差为 立,所以是错误的;对于B,取a=2,b=1时不 g=8[i+(,-zy]+8好+(, 40 成立,所以是错误的;对于C,取a=一1,b= 一2时不成立,所以是错误的,对于D,由a一 ]-8[8+(12-104门+号[8+(94- b>0,c2≥0,所以(a-b)c2≥0是正确的.故 104)2]=88.故选D. 选D. 7.B【解析】设过椭圆焦点F1,F2的两条互相 4.B【解析】由图象可知函数y=f(x)为奇函 垂直的直线的交点为P,O为坐标原点,即 数,且当x∈(0,1)时,f(x)<0.对于A选项, f(-x)=ltan(-x)l ln|-xl=tan x| 1OP1=c<b,所以c2<b2=a2-c2 c<1, a<2, ln|x|=f(x),该函数为偶函数,A选项不符; 对于C选项,函数f(x)=一|tanx| ln|x| 。天,即oKe< 所以0<￡<2 号故选B 为偶函数,C选项不符;对于B选项,f(一x)= 8.B【解析】因为f(x一1)=f(x十3) f(x)= tan(-x) ln|-x|=-tanx ln|x|= f(x十4),所以f(x)是以4为周期的周期函 一f(x),该函数为奇函数,且当x∈(0,1)时, 数.又∫(x)为定义在R上的偶函数,所以 tanx>0,ln|x|<0,此时f(x)<0,合乎题 f(-x)=f(x).当x∈[-2,0]时,-x∈[0, 意;对于D选项,f(x)=一tanx ln|x|为奇 2],-x十4∈[4,6],所以f(x)=f(-x)= 函数,当x∈(0,1)时,f(x)>0,D项不符.故 f(-x+4).又当x∈[4,6]时,f(x)=2+1, 选B. 所以f(x)=f(-x)=f(-x+4)=2x+4+1, 5.D【解析】因为AB+BC+CD+DA=0,所 即f(x)=2x+4+1,x∈[-2,0].由f(x)= 以BC+DA=BA+DC,两边平方可得BC2+ 2-x+4+1=19 -x+4=1og218 x=4 DA:+2 BC.DA=BA*+DC:+2 BA.DC. 1og2(2 32)=3-21og23,即f-1(19)=3- 又BA D心-BC.DA=AB CD+BC. 21og23.故选B. 数学 二、选择题 9.ABD【解析】对于A,在nan+1=Sn十n2十n 中,取n=1时,a2=S1+1十1=4,故A正确; 对于B,当n≥2时,由nam+1=Sn十n2十n①, 得(n-1)an=Sm-1+(n-1)2+n-1②, 则①-②得nan+1-(n-1)am=an十2n,即 n(am+1-an-2)=0,所以an+1-an=2(n≥ 2).又a2一a1=2,所以(an}是以2为首项,2为 公差的等差数列,故B正确;对于C,由B项, 可得S,=2m十n(n2-1卫X2=m2十n,故C错 2 误对于D,因为、=1=11 S,n(n+1)=元n中,所 哈+++=片++叶 11 nn+1=1 n+1n十1,放D正确.放 1 n 选ABD. 10.ACD【解析】A选项,如图,连接VO1,等边 三角形VAB内切圆即为球O的截面大圆,球 心O在线段VO1上,又等边三角形VAB的 边长为2,所以AO1=1,V01=√3,则球0的 =3 半径r=O01=A01tan6=3,所以球0的 表面积S=2=: 号-经,放A正确: B选项,圆锥VAB的侧面积S'= X1X2= 2 ,故B错误;C选项,由题意可得四面体 CDMN被平面VAB截成体积相等的两 部分,设点M到平面VAB的距离为d(0< d≤1),球O的半径r= ,三角形C0,D为 √3 等边三角形,设其边长为m,则m =2r= sin 3 2散m-2n音-1,故三角形0,D √3 的面积为2 1Psin子-4,即Va*cow= 2 参考答案及解析 Sam,od=2X号X 1 2V三校缩McDo,=2X d-&∈o,得],放C正确:D选项,依 题意,动点P的轨迹是圆,所在平面与圆锥底 面平行,令其圆心为E,CD=1,故C,D是边 AV,BV的中点,可得EP=专O,B=, B0,=号0:=,所以0,p1=B0+ EP2=1,则PO1=M01=N01=1,故 ∠PMO1=∠MPO1,∠PNO1=∠NPO1.又 ∠PMO1+∠MPO1+∠PNO1+∠NPO1= x,故∠MPO,+∠NPO,=,即PM⊥PN, 因此PM2+PN2=MN2=4.由均值不等式, 得PM生PN≤PPN=2,即PM+ 2 PN≤2√2,当且仅当PM=PN时,等号成 立,故D正确.故选ACD, ABC【解析】对于选项A,联立方程组 (y=kx+m, 消去y得(k2-1)x2+2km.x+ x=/+1, m2十1=0.因为直线l:y=k.x十m与曲线C: x=√y2十1相切于点M,所以 =4k2m2- 4(k2-1)(m2+1)=0,即m2-k2+1=0,则 2=m2+1≥1.若m=0,即k=1,直线l:y= x与曲线C:x=√y2十1无法相切,所以k2> 1,则|k|>1,故A正确;对于选项B,设切 -2km=二km 点M(x,y0),则x0=2-D2-1 2026年高考模拟 一km=- 一k2 m=m2-1 三 m" m 12. m=即M() m ,则过点M且垂 直于1的直线为y一1=一名(x-0),即y y=一石x,代人点M的坐标得一y1= 即一-9=一(一)解得 1 13. =一是因为过点M且垂直于1的直线分 别交x轴、y轴于点A(x1,0),B(0,y1),所以 0名,即z=则z1=-则 0一x1 m 4(-o,-)P(-品), 则PM1=厂++(品+ ,w=++o T,M1=o+++于 k2+ m,则IPMI2=|AMIIBM1,即IPMl 是|AM|与|BM|的等比中项,故B正确;对 于选项C与选项D=一奈1=,则 m 1=290=1=层则=2 因为点M(xo,yo)在曲线C:x=√y+I上, 代人二”化简0-艺-16>0, y1=2y0, 则当S,T为双自线-1的焦点时, IIPS|-IPTI为定值4,|PS|+IPTI无法 确定,故选项C正确,选项D错误综上所述, 选项ABC正确,故选ABC, 3 数学 填空题 18【解析】先从(1,2,4)这3个数中选2个, 有C种选法;再分配2个数到3个位置,必 有2个位置的数是相同的,选择出现1次的 数:从选中的2个数中选1个,有C种选法, 选择出现1次的数的位置,有C种选择,共 有C号CC=18种编码.故答案为18. (2,)【解析】令9-3≠0,解得x≠2,可 知f(x)的定义域为(x|x≠2).因为f(2十 x)+f(2-x)=。1 1 g-3*十g-38= )=日,所以函数f(x)的 图象关于点P(2,)对称放答案为(2,), 号【解折】当a:=0时,则a:+ 器≥ae恒 成立,m∈R;当a1≠0时,因为数列(an}为等 差数列,所以s。=n(a十a),所以S= 2 ,e+9 ≥ma好等价于a+ a1+a.)≥ma1,即5a:+2a1an+ai≥ 4 5a+a+ 1 4ma,两边同除以4a号得m≤4a+2a,十互 5++号等价 令x=2:,则不等式m≤4a十2a, 于m<+分x+设f)=号+ 合+子曲f)=+》+可知, 1 当x=一5时,函数∫(x)有最小值为5,所 以m≤号,即m的最大值为行综合以上可得 1 m的最大值为亏,故答案为5 数学 四、解答题 15.解:(1)由题意得∠BAD= 2,∠ACB=28. 38 在 ABD中,∠BDA=T-2' (2分) 30 根据正弦定理可得 AB sin 2 BD sin 2 sin cocossin (4分) 0 sin 2 sincs2cos 2 sin 2 sin 2 =co90+2cos28=2c0s0+1. (6分) (2)在 ABC中,根据正弦定理可得 AB sin 20 AC sin 6' (8分) 所以,是=2c0s0 AC AB (10分) 11+2cos0=1, 所以品+=牛霜 可得AB=2cos0+1. (12分) AB 又由(1)知 D =2cos0+1, 所以BD=1. (13分) 16.(1)证明:因为PA=1,AB=2,PB=√5, 所以PA2+AB2=PB2,则PA⊥AB.(2分) 又平面PAB⊥底面ABCD,平面PAB∩底 面ABCD=AB,所以PA⊥底面ABCD, (4分) 而ACC底面ABCD,所以PA⊥AC, 则∠PCA即为PC与底面ABCD所成的角, 即∠PCA=30 (5分) 因为PA=1,所以AC=√3,PC=2. 参考答案及解析 由∠ADC=60 ,DC=AB=2,得AC2= AD2+DC2-2 AD DC cos60 ,解得 AD=1, (6分) 从而AD2+AC2=DC,于是AD⊥AC. 因为AD∩PA=A,且AD,PAC平面PAD, 所以AC⊥平面PAD 而ACC平面PAC, 所以平面PAD⊥平面PAC. (8分) (2)解:由(1)知AC,AD,AP两两垂直,以A为 坐标原点,AC,AD,AP所在直线分别为x轴、 y轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则P(0,0,1),C(3,0,0),B(5,-1,0), D(0,1,0), 所以PC=(5,0,-1),PB=(√3,-1,-1), PD=(0,1,-1). (9分) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则 m P克=5x-y一z=0可取n=(1,0w3). (n.PC=3x-z=0, (11分) 设平面PDC的法向量为m=(a,b,c),则 m PD=b-c=0, 可取m=(1,5,5). \m.PC=/3a-c-0, (13分) 令二面角B-PCD为0,由图可知0为钝角, 则cos0= n m 4 27 Inm 2√7 7. 所以二面角BPCD的余弦值为-2y7 7 (15分) 2026年高考模拟 17.(1)解:设射击2次甲胜出为事件A,则P(A)= 合 号x1-p)+ 1-p0xg-号 (2分) 1 解得p=3 (3分) (2)解:由题意得X的所有可能取值为0,1,2, 且PX=2-号, P(x=1= (得 +号x号+号 +号 号)=6 (6分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 5 15 5 (7分) 则E(X)=0 5 1x名+x号- 7 (8分) (3)证明:由题意,射击的总次数为n(n≥2) 时甲胜出,设此时甲总得分为x甲,乙总得分 为x乙, 则x甲一x乙=2,x甲十x乙=n, 所以甲胜出时n必为偶数,令n=2m,m∈N , (9分) 则2P:(A)=P,(A)+P,(A)++ P.a=号+(品) 号+…+(品). (11分) 号=名[1+()'++()]=子 -(旷 1一 (正)”}为递增数列. (13分) 5 数学 又m∈N,则当m=1时,2P:(A)= 2 PB,4-号, (14分) 且2Pa)= [1-()]<, 1m2 (15分) 解:(1)由抛物线C:y=ax2一4ax的图象过 点8(1,-),可得-子=a-a,解得 a=4' 于是抛物线C的解折式为y=女-z。 (2分) 令y=-0,得z1=0,4=4所以点 A的坐标为(4,0). (3分) (2)0由(1)得抛物线Cy=名x-x= 日(z-2)?一1,由题意,可得它经过平移后可 1 得抛物线C的解析式为y=4(x-2+2)2- 1 1+1,即y=4x, (5分) 设抛物线C的焦点为F,将MN延长交直线 y=一1于点E,如图, 可得|MF|=|MEI=|MN|+INE|=IMN|+ 1,则|MN|=|MF|-1, 所以IMN|+|MA|=|MF|+IMA|-1. 要使|MN|+|MA|最小,只需|MF|+|MA| 最小即可. 根据两点间线段最短,可得|MF|十|MAI≥ |AF|(A,M,F三点共线时,等号成立,且 点M在线段AF上), 即|MF|+IMAI的最小值为|AF|.(8分) 数学 在Rt FOA中,由勾股定理,得|AF|=1 √12+4=√17, 故|MN|+IMA|的最小值为√7-1. (10分) ②设A(x1,1),B(xy),y=受,在点 A(x1,y1)处的切线方程为y一y1= -z 整理得y=z xi x- 4 同理可得在点B处的切线方程为)y=号x一号 2- 4 (12分) x x1+x2 22 联立 解得 T172 y= 2 、 V 4 (13分) 1 设直线AB的方程为y=x十1,与y=4x 联立,得x2一4kx一4=0,则x1x2=一4, (14分) 所以|FA| |FB|=(y1+1)(y2+1)= 月++)语+++1=+ + 面P=色+-4+ +2+4=号++2, 故|FA| |FB|=|PF|2, 所以PF|2-|FA| IFB|=O. (17分) 6 参考答案及解析 (1)证明:因为f(x)=e-x十cosx,x∈(0, 2 ),所以f'(x)=-e-x-sinx. 设g(x)=f'(x)=-e-sinx,x∈(0,2 ), (2分) g'(x)=e!-*-cos x=el-*(1-e*-1 cos x), 其中e-x>0恒成立. 令h(x)=1-e-1cosx,x∈(0,2 ),则 h'(x)=-e-1 cos z+e-1sinx=√Ee-1 sim(x-安) (4分) 因为x0,2m,所以z-∈(-,), 所以当x∈(0,)时,h'(x)<0,函数h(x) 单调递减; 当x(答,)时,h'(x)>0,函数A(x)单调 递增; 当x(,2x)时,k(x)<0,函数h(x)单 调递减. (6分) 又ao)=1-e1>0,A()-1-92> 1-9>0,a(到>A(爱)>0,a() 1-<1-ge<0,A(2m)< 2 (图)<0, ,使得h(xo)=1-e。-1 cos o=0,e-o=cos o, (7分) 故对于g'(x)=e1-h(x),有g(xo)=0,当 x∈(0,xo)时,g'(x)>0,函数f'(x)单调 递增; 当x∈(xo,2 )时,g'(x)<0,函数f'(x)单 调递减,所以x。是函数f'(x)的极大值点, f'(x)无极小值点, 故f'(x)有且仅有一个极值点. (9分) 2026年高考模拟 (2)解:f(x)的所有零点之和大于2 , (10分) 理由如下: 由(1)知f'(x)=-e-x-sinx,3xo∈ ),使得当x∈(0,x)时,f(x)单调递增; 当x∈(xo,2 )时,f'(x)单调递减, 又e1-0=cosx0, 所以f'(0)=-e<0,f'(xo)=-e-0 snzw=-c0sxw一sinx0=一5 in(+f) 因为,∈(经贸, 所以z+∈(,2x,所以fx)>0. 又f'(2 )=-e1-2<0, 故3x1∈(0,xo),使得f'(x1)=0,3x2∈ (x0,2 ),使得f'(x2)=0, 所以当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,f(x)单调 递减;当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,f(x)单 调递增;当x∈(x2,2 )时,f'(x)<0,f(x) 单调递减. 又f'()=-e<0,f()=-e-皆+1 0,放∈(,》 又f()=e->0,f(m)=e-1<0, 7 数学 所以存在a∈(使得f)=0, 所以f(x1)<f( )<0. 又f()=c>0, 所以f(x)>f()>0, 则存在∈(x,),使得f)=0 又f(2 )=e-2m+1>0, 所以函数f(x)在区间(x2,2 )上无零点, 故函数在x∈(0,2 )上有两个零点a,B,且 君<a<<B< (14分) 由f(a)=f(B)=0得e1-a+cosa=0,e-p+ cos B=0, 所以cosa=一el-,cosB=一e-a. 又a<B,则-e-a<-el-, 所以cosa<cosB=cos(2 一). 根据登<a<x<月<受得智<&<x,受< 2 -B< , 并且函数y=cosx在区间 (受)上单调 递减, 所以a>2 -B,即a十B>2 , 故f(x)的两个零点之和大于2 .(17分)