期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面垂直与面面垂直判定，以典型几何体为载体，通过阶梯式例题与变式构建空间垂直关系证明体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面垂直的判定|3例+3变式|涉及四棱锥、正四面体等，需结合中点、菱形、圆直径等条件证线线垂直|以线线垂直为基础，通过判定定理构建线面垂直，是面面垂直的推理前提| |面面垂直的判定|3例+3变式|含平行四边形、翻折梯形等，常需先证线面垂直|基于线面垂直结论，利用面面垂直判定定理完成转化，体现判定定理的递进应用|

期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 考点目录 线面垂直的判定 面面垂直的判定 考点一 线面垂直的判定 例1．（25-26高一下·天津滨海·月考）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：连接， 因为，，为线段的中点， 所以四边形是平行四边形，是平行四边形， 设，连接，则是的中点， 又为线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)证明：因为是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 所以， 又，，平面， 所以平面． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1) 证明：连接交于点，连接； 因为底面是矩形，故为中点； 又因为M是PD的中点，故； 因为平面，平面， 故平面； (2)证明：因为平面，平面，故； 因为底面是矩形，故； 因为，且平面； 故平面，因为平面，故； 又因为，且M是PD的中点，故； 因为，且平面， 故平面． 【分析】（1）利用面面平行的判定定理，根据三角形中位线找平行关系进行证明； （2）根据已知线面垂直得到线线垂直，从而通过证明线面垂直得到线线垂直，再利用等腰三角形三线合一得到垂直条件，利用线面垂直的判定定理进行证明． 【详解】（1）略． （2）略． 例3．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若是的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)如图所示，取的中点，的中点，连接，，，， 因为是正三角形，，则， 又为的中点，所以， 又底面四边形为菱形，， 所以是等边三角形，所以， 因为，平面，平面，所以平面． 又平面，进而， 同理可得， 因为，平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）如图所示，取的中点，的中点，连接，，，，求出，利用线面垂直的判定定理得到平面．利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到平面． （2）求出与平面所成的角就等于与平面所成的角．利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到，从而得到就是与平面所成的角．     在中，求出，即为直线与平面所成角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）因为底面是菱形，是的中点， 所以是中点，又因为是的中点， 所以， 所以与平面所成的角就等于与平面所成的角． 因为是菱形，，， 由余弦定理得AB=，，是等边三角形． 因为底面，底面， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 如图，连接，则平面，，    所以就是与平面所成的角．      因为是等边三角形，， 所以，． 在中，PC=，AC=2，则PA=，所以PF=3． 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 变式1．（25-26高一下·山东威海·阶段检测）如图，的外接圆⊙O的半径为，所在的平面，，，，且，． (1)求证：平面BCDE； (2)求几何体ABCDE的体积． 【答案】(1)证明：所在的平面，， 平面，又平面，，又，， ，， 又的半径为，为圆的直径， ，又平面，平面， ，又.平面，平面， 平面； (2)． 【分析】（1）由题可得为圆的直径，进而可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用锥体的体积公式即得． 【详解】（1）略 （2），，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离. 因为平面，平面，所以， 又如图可知为直径，所以，，平面， 所以平面. ， 即几何体的体积为． 变式2．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解证明即可；（2）运用几何法求解线面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 变式3．（25-26高二上·上海·期中）如图，AC是圆的直径，PA与圆所在的平面垂直，且为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点在线段PC，PB上的投影； (1)证明：直线平面PBC； (2)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先确定为二面角的平面角，再研究的面积何时最大，即可求的大小. 【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. 因为平面，所以. 又为在上的投影，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. 平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值. 所以，当时取等号. 所以，当时取等号. 此时为等腰直角三角形，所以. 考点二 面面垂直的判定 例1．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)连接交于点，连接． 因为四边形是平行四边形，所以是中点． 又是中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． (2)由题知，在中，，， 由余弦定理，得，所以． 在中，，，所以是等边三角形，所以， 所以，即． 因为平面平面，所以． 又，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据余弦定理结合勾股定理可得，再由线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明即可； （3）根据等体积法计算点到平面的距离，再由线面角的定义计算求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为平面平面，所以，． 由（2）知，所以． 设点到平面的距离为． 因为，，所以， 等腰底边上的高为，所以， 所以． 又点到的距离为，所以， 所以，解得． 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 例2．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，在三棱锥中，平面. (1)若，求证：平面平面； (2)已知为的中点，，F是棱上的一点. （i）若平面，求； （ii）若平面，试判断的形状，并给出证明. 【答案】(1)因为平面，平面， 所以， 因为，所以，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. (2)（i）2； （ii）是等腰三角形，理由如下： 因为平面，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以平面平面. 法1：在平面内过作， 因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面； 同理，过作，可知平面. 因为过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直， 所以，重合，由于， 所以，，重合， 所以， 因为为中点，故，即是等腰三角形. 法2：证明结论：设，，是平面，若，，，则. 因为，设，在内作，则， 同理，可设，，，则， 所以， 因为，，所以，因为，，所以. 所以. 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为中点，故，即是等腰三角形. 【分析】（1）使用线面垂直判定定理与面面垂直判定定理证明； （2）（ⅰ）使用线面平行的性质定理与向量共线求解； （ⅱ）使用面面垂直性质定理与三角形三线合一证明. 【详解】（1）略 （2）连接并延长交于点，连接. （ⅰ）因为平面，平面，平面平面， 所以. 因为，是中点， 所以是的重心，是的中点， 所以. （ⅱ）略 例3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)平面，平面，． 是圆O的直径，C为圆上一点， ． 又，且平面，平面． 平面，平面平面. (2) 【分析】（1）先证，得到平面，最后得到平面平面. （2）先找出直线与平面所成角，然后求出的长度，最后得到其正弦值. 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作于点， 平面，平面，， 又，平面，平面． 即为直线与平面所成角． ，，可得． . 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为． 变式1．（25-26高一下·湖北十堰·期末）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)取中点，连接，． 在中，，分别为的中点，所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面， 所以平面． (2)在正方形中，，又，， ，平面，所以 平面， 因为平面，所以， 在中，，所以，， 在中，，，. 所以， 所以，所以. 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面 (3) 【分析】（1）取中点，连接，利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，故，再根据线面平行判定定理，由平面、平面证得平面. （2）由正方形得平面，故；结合边长利用勾股逆定理证，，得平面，又平面，故平面平面. （3）取中点，由三角形中位线性质证明四边形为平行四边形，故，是异面直线与所成角；由勾股定理求出、、，再由余弦定理计算得. 【详解】（1）（1）略 （2）（2）略 （3）如图:取的中点，连接、. 由三角形中位线性质可知 所以，所以四边形为平行四边形. 由勾股定理得，，所以 因为,所以为异面直线与所成的角. . 由余弦定理得 变式2．（25-26高二下·浙江台州·期末）如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求的值； (2)求证：平面平面； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)2 (2)设，连接， 由（1）知，，因此， 又因为，所以点为的中点， 在和中，，，， 因此，，得， 因为点为的中点，所以， 由已知，平面，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）方法一：利用平面向量的基本定理将、分别用、线性表示，再根据结合利用向量的数量积即可求解；方法二：设，取中点，连接，利用三角形中位线结合等腰三角形知识即可求解. （2）设，连接，利用平面几何知识证得，结合线面垂直的判定得到平面，进而证得平面平面． （3）设点在平面内的射影为，先证得为直线与平面所成角，设，通过计算相继得到，，，，，再由余弦定理求得，进而求得，，即得答案. 【详解】（1）方法一：因为，所以 因为，， 所以， ， 又，所以， 即，得，故． 法二：设，取中点，连接， 则是的中位线，得， 因为是的中点，所以也是的中点， 由已知，得为等腰三角形，即， 又因为，所以． （2）略 （3） 由（2）知，平面，平面，得平面平面， 设点在平面内的射影为，则点在直线上，且平面， 连接，，则为直线与平面所成角， 不妨设，则， 在中，，得， 在中，，得， 在中，，， ，， 在中，由余弦定理得， 所以，因此， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为 变式3．（25-26高一下·江苏镇江·期末）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)如果，，为中点.求证：平面平面. 【答案】(1)因为，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 同理，，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 由于和交于点，所以平面平面. (2)因为，为中点，所以， 同理，因为，所以， 在平面中，和交于点，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【分析】（1）根据中位线判断，，然后结合面面平行的判断定理即可判断； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，从而有平面，然后结合面面垂直的判断定理即可判断. 【详解】（1）略. （2）略. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 考点一 线面垂直的判定 考点目录 线面垂直的判定 面面垂直的判定 例1.(25-26高一下·天津滨海月考)如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD,AD/1BC, 4B=BC-)D,E,P分别为战段AD:Pc的中点. (I)求证：APII平面BEF: (2)求证：BE⊥平面PAC. 例2.(25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA=AD=4,AB=2,PA⊥平面ABCD,且M是PD的中点. 81- 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 (I)求证：PB∥平面ACM: (2)求证：AM⊥平面PCD: 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 例3。（25-26高二下云南昭通：阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC- 3, △PBD 是正三角形， BD=PC=25,E为PD的中点， E D (1)证明：PA⊥平面ABCD: (2)若F是AC的中点，求直线EF与平面PAC所成角的余弦值. 变式1，(2526高-下山东威海阶段检测)如图，。1BC的外按周O0的半径为5，CDL00所在的平面， BE//CD,CD=4,BC=2,BE=1, cos∠AEB= 21. D E 0 B (I)求证：AC⊥平面BCDE: (2)求几何体ABCDE的体积. 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 变式2.(2s25高一下四川®都期中)如图，已知正四面体P-BC的枝长为25，Q为底面418C的外心，D 为AB中点， D B C (I)连接PO,证明：PQ⊥平面ABC. (2)设PC的中点为E,求DE与平面PBC夹角的正弦值， 变式3.(25-26高二上上海期中)如图，AC是圆0的直径，PA与圆0所在的平面垂直，且PA=AC=2,B为圆 周上不与点A,C重合的动点，M,N分别为点A在线段PC,PB上的投影： M B (I)证明：直线AN⊥平面PBC: (2)当△AMN的面积最大时，求二面角A-PC-B的平面角的大小. 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 考点二 面面垂直的判定 例1.(2425高一下陕西宝鸡期末)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=60°， AD=2AB,M,N分别为PD,AD的中点，PN⊥平面ABCD. (I)求证：PB∥平面ACM: (2)求证：平面PBV⊥平面PCN, 3)若AB=2,PW=V5 ，求PA与平面PCD所成角的正弦值. 例2.(25-26高一下江苏南京期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC. P M (1)若∠ACB=90°，求证：平面PBC⊥平面PAC; (2)已知M为PB的中点，AE=2EM,F是棱PC上的一点. PE (i)若EFI/平面ABC,求FC: (ii)若EF⊥平面PAB,试判断△ABC的形状，并给出证明， 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 例3.(25-26高一下黑龙江大庆阶段检测)如图所示，己知AB是圆O的直径，C为圆上一点（异于A,B), PA=AB=24C=5.P为圆所在平面外一点，且P1垂直于国◇所在平面。 B (I)求证：平面PAC⊥平面PBC: (2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值. 变式1.(25-26高一下湖北十堰期末)如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD,AB⊥AD,且 AB=AD=CD=L,现以MD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使ED⊥DC, 2 M为ED的中点，如图2. M D M D 4 B 图1 图2 (1)求证：AM∥平面BEC: (2)求证：平面BCE⊥平面BDE: (3)求异面直线BC与AM所成的角的余弦值. 6 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定专项训练 变式2.（2526高二下新江台州期末)如图，在三棱锥A-BCD中，∠4C8=∠4CD= ,CD 2 B距=}BD,CF=CD 2 ,BF⊥CE F D CD ()求CB的值： (2)求证：平面ABF⊥平面ACE: (3)当AC=BC时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值. 变式3.(25-26高一下江苏镇江期末)如图，在三棱锥S-ABC中，M,N,P分别为棱SA,SB,SC的中点 M G B (1)求证：平面MNP11平面ABC: (2)如果SA=SB,CA=CB,G为AB中点求证：平面SCG⊥平面ABC. 7