2025-2026学年高一下学期末复习（立体几何）

**基本信息** 聚焦立体几何核心模块，以题型为纲系统覆盖结构特征、表面积体积、球的切接、位置关系判断及综合大题，知识逻辑从概念辨析到综合应用递进，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体结构与直观图|3题|以命题辨析、直观图还原为主，考查正棱柱、正三棱锥等定义|从几何体定义出发，通过斜二测画法建立平面与空间图形联系| |表面积与体积计算|4题|涉及旋转体、组合体及棱台体积，结合轴截面、最短路径等情境|运用公式计算，需结合几何体结构特征转化已知条件| |外接球与内切球|5题|覆盖正方体、正三棱锥、正六棱柱等几何体的球半径计算|基于几何体对称性，利用勾股定理或轴截面建立等量关系| |线面位置关系判断|2题|以多选和单选形式考查线线、线面、面面平行垂直的命题真假|通过空间模型构建，强化定理应用与反例意识| |立体几何大题|5题|包含体积、最短距离、表面积最值及证明、角度计算等综合问题|整合空间想象与逻辑推理，体现知识的综合应用与迁移|

期末复习2：立体几何 题型一 空间几何体的结构特征、直观图 1.（24-25高一下·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等， 且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心， 侧棱长和底面棱长不一定相等，故①错误、③错误； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误； 根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台， 另一个腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，故④错误. 故真命题的个数为.故选：A. 2.（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【解析】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 3.（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为故选：A 题型二 简单几何体的表面积与体积计算 1.（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直角中，斜边，直角边，得， 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥， 则该几何体的体积为：，故选：A 2.（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【解析】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 3．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由线面角的大小求值、台体体积的有关计算 【分析】根据条件，求出正棱台的高，再由正棱台的体积公式，即可求解. 【详解】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，， 如图，设和的中心分别为，连接，，， 则平面，，， 作平面交平面于点， 则即为直线与平面所成的角， 由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形， 所以，又，所以， 则棱台的体积为. 4．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 题型三 几何体的外接球与内切球 1．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体外接球直径等于正方体体对角线长度的几何关系求解半径. 【详解】正方体外接球的球心为正方体的中心，外接球的直径与正方体的体对角线长度相等， 设正方体棱长为，正方体的体对角线长度为： 设外接球半径为，则，解得，即棱长为1的正方体的外接球半径为. 2.（24-25高一下·海南·期末）已知正三棱锥的外接球为球，底面面积为，，则球的表面积为_____. 【答案】 【解析】如图所示： 设为等边三角形的中心，连接，则平面， 且正三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，连接，， ∵为等边三角形且其面积为，∴，∴，∴， 又∵，∴在中，， 在中，，，， ∴，解得， ∴球的表面积为. 3．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正棱柱及其有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为，球心为O，一个顶点为A，可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 4.（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，，设棱台高为，则，解得，根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以，则，所以为直角三角形，故为四边形外接圆直径，正四棱台的外接球半径，体积.故选：B. 5.（24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【解析】连接，如图所示.根据题意可知，， 所以，因为. 所以.因为，所以. 所以，所以，所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 题型四 线面位置关系的命题判断 1（24-25高一下·重庆·期末）（多选）若是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面， 对于A，若，则由线面平行的性质得，故A正确； 对于B，若，则与平行或相交或，故B错误； 对于C，若，则，又，则，故C正确； 对于D，若，则与相交或平行，故D错误. 故选：AC. 2.（24-25高一下·云南临沧·期末）已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线， 对于，若，，则由线面垂直的性质得，故A错误； 对于B，若，，则与相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若，，，则由线面平行的性质得，故C正确； 简单证明：如图，，过的一个平面与交于，则同理，，则， ，则，，，则，所以. 对于D，若，，，则与相交，故D错误．故选：C． 题型五 立体几何大题 1．（2026高一·陕西咸阳·期中）一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． (1)求该圆锥体石膏的体积； (2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； (3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件求得圆锥底面圆半径和高，进而根据圆锥体积公式进行求解； （2）通过展开圆锥侧面，得到B到C的最短距离为线段BC的长度，结合弧长的公式进行求解； （3）将圆锥内切球的半径等价为圆锥轴截面三角形内切圆的半径，结合球体的表面积公式进行求解. 【详解】（1）设为底面圆的半径，为圆锥的高， 因为是边长为8的等边三角形， 所以，， 因此圆锥体石膏的体积. （2）圆锥底面圆的周长，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 设扇形圆心角为，扇形的半径就是圆锥的母线长为8， 所以，解得，即侧面展开图为半圆，如下图所示， ，，，， 所以到的最短距离， 即昆虫爬行的最短距离为. （3）圆锥内可打磨出的最大球体就是圆锥的内切球，此时球的半径最大，表面积也最大， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以等边三角形的内切圆半径就是圆锥内切球的半径， 设圆锥内切球的半径为，， 此时球的表面积. 2.（2026高一·河北雄安·期末）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，. (1)求证：平面POC； (2)求异面直线AD与BP所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，证得为正三角形，再结合圆锥的结构特征，利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）取的中点，利用几何法求出异面直线夹角的余弦. 【详解】（1）连接，延长交于点，由AB为底面圆O的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又平面，所以平面. （2）由（1）知，是中点，取的中点，连接，则， 是异面直线AD与BP所成的角或其补角，， ，， 所以异面直线AD与BP所成角的余弦值为. 3.（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析；(2)；(3) 【解析】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接. 由（2）知，， 又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 4.（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图（1），在直角梯形中，分别是，的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2） (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由题可得，平面，平面， 所以平面. （2）由题知：，，分别是，的中点， 所以，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （3）取中点，连接， 由题，所以为等边三角形，所以，且， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 如图，过作，且，过作，垂足为，连接， 所以，故四边形为矩形， 所以， 又，所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为平面，所以， 所以， 所以平面，故即为与平面所成角， 则 所以. 故与平面所成角的余弦值为. 5.（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因为，分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）过点作，垂足为， 因为平面，直线与平面所成的角为， 所以，所以， 所以，则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 所以四棱锥的体积； （3）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 由（2）知，为等边三角形，则点为中点，， 在中，， 在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 课后作业： 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以.故选：A. 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 【答案】9 【解析】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为.故选：B. 4．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为.故选：D. 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在斜四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1） 因为，所以， 所以. 在中，， 根据余弦定理， 所以有，所以， 又平面. 所以平面. （2）因为，根据勾股定理. 在中，， 根据余弦定理. 所以. 所以，. 设到平面的距离为， 根据等体积法得，解得. 所以到平面的距离为. 6.（2026高一·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 【答案】(1)连接，，则交于点P， 因为分别为，的中点，所以在中，， 因为平面， 平面，所以平面； (2) 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； （2）取中点，求证为二面角 的平面角，结合三角形即可求解. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接MC，， 因为是边长为2的正三角形，点是中点，所以， 在直三棱柱中平面ABC，平面，所以 ， 而 ， 平面，所以平面， 因为 平面，所以 ，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为是边长为2的正三角形，为正方形，所以， 在中，，所以. 所以二面角 的正弦值为． 7.（2026高一·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）连接交于点，利用线面平行判定定理以及三角形相似可求得的值； （2）（ⅰ）利用面面垂直性质定理可证明平面，利用二面角定义作出二面角的平面角，结合正切值可得； （ⅱ）同理根据（ⅰ）中已有分析得出二面角的平面角，即可求出其正切值. 【详解】（1）连接交于点，连接，如下图所示： 因为平面，又点在棱上，可知平面平面， 因此，所以， 因为，，所以，且， 所以. （2）（ⅰ）取的中点为，连接，如下图所示： 因为是边长为6的等边三角形，所以，且 又平面平面，且平面平面， 因此平面，平面， 所以， 又，分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角， 在直角中，，可得， 又因为，所以. （ⅱ）作，垂足为，作交于点，连接，如下图所示： 同理根据（ⅰ）中分析可知即为二面角的平面角， 由（1）中可得，， 因此， 可得二面角的正切值为. 8.（2026高一·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设中点为，证明平面即可证明结论； （2）（i）设中点为，过点作平面，即可证明是直线与平面所成的角，再结合几何关系得，最后计算四棱锥的体积即可. （ii）根据（1）得点与点关于平面对称，进而根据对称性转化为求三棱锥的外接球半径，设中点为中点为中点为，三棱锥的外接球球心为，半径长为，再结合几何关系即可求得答案. 【详解】（1）证明：设中点为，则由是等边三角形知 由四边形为矩形得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以 又，平面 所以平面. 由点是的中点，得， 所以四点共面， 所以直线平面    （2）解：（i）设中点为， 所以，又因为， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 过点作平面，因为平面平面， 所以点在上. 所以是直线与平面所成的角， 因为是等边三角形，， 所以在中，，， 因为直线与平面的夹角的正切值为 所以在中，，所以. 因为四边形为矩形， 所以在中，，即，解得， 所以 因此四棱锥的体积是.    （ii）由（1）知直线平面中点为， 所以，点与点关于平面对称， 所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称， 接下来求三棱锥的外接球半径. 设中点为中点为中点为， 三棱锥的外接球球心为，半径长为. 则平面， ， 即， 解得，因此. 所以三棱锥的外接球的半径为    1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习2：立体几何 题型一 空间几何体的结构特征、直观图 1.（24-25高一下·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 3.（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 题型二 简单几何体的表面积与体积计算 1.（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 3．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 题型三 几何体的外接球与内切球 1．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 2.（24-25高一下·海南·期末）已知正三棱锥的外接球为球，底面面积为，，则球的表面积为_____. 3．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 题型四 线面位置关系的命题判断 1（24-25高一下·重庆·期末）（多选）若是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（24-25高一下·云南临沧·期末）已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 题型五 立体几何大题 1．（2026高一·陕西咸阳·期中）一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． (1)求该圆锥体石膏的体积； (2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； (3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 2.（2026高一·河北雄安·期末）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，. (1)求证：平面POC； (2)求异面直线AD与BP所成角的余弦值. 3.（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 4.（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图（1），在直角梯形中，分别是，的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2） (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 5.（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 课后作业： 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在斜四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离； 6.（2026高一·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 7.（2026高一·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 8.（2026高一·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $