精品解析：陕西省西安市长安兴国初级中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

陕西省西安市长安兴国初级中学2025-2026学年七年级下学期期末 数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 教材版本：北师大版 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 窗花是我国传统民间艺术，下列窗花中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 5. 在中，，，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC=13，AB=5，且E为BC上一点，∠AED=90°，AE=DE，则BE=（　　） A. 13 B. 8 C. 6 D. 5 7. 有五条线段，长度分别是，，，，，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（ ） A. 小王实际骑行时间为 B. 内，小王派送快递的平均速度是 C. 小王骑行的平均速度比快 D. 点表示小王出发，共骑行 10. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔软性，我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示为________． 12. 如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______． 13. 如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝32°，则∠BED的度数是_____． 14. 校园内有两棵树，相距8m，一棵树高为13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________m. 15. 近年以来，某试验田在杂交水稻的研究中取得了重大突破，下面是2025年在同一条件下连续5次不同规模试种的水稻成活率： 水稻总株数（株） 500 1000 2000 5000 10000 … 成活率 … 根据表中数据，预计2026年的10万株水稻中可成活________万株． 16. 如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） ． 18. 先化简，再求值： ，其中 19. 如图，在中，请用尺规作图法，在下方作一点，连接、，使得和关于所在直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 请将下列证明过程补充完整． 如图，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D． 求证：∠E=∠DFE． 证明：∵∠B+∠BCD=180°(已知)， ∴ ( )． ∴∠B=∠DCE（ ）． 又∵∠B=∠D（ 已知 ）， ∴ ( 等量代换 )． ∴( ) ∴∠E=∠DFE（ ）． 21. 一个盒子中装有红、黑、白三种颜色的小球，总共30个，每个小球除颜色外都相同，若红球个数是黑球的2倍少1个，从盒子中任取一个球是白球的概率是． （1）盒子中白球的个数为______． （2）求从盒子中任取一个球是黑色的概率． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． （1）的面积为_____________； （2）画出关于直线l的轴对称图形； （3）在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 23. 如图，已知，，．求证：． 24. 某超市叠放的购物车如图所示，小敏尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小敏测得的一些数据： 购物车数量/辆 2 3 4 5 6 车身总长 1.2 1.4 1.6 1.8 2 根据表格，回答下列问题： （1）如表中自变量是_____________，因变量是____________． （2）一辆购物车的车身长为__________． （3）请直接写出与之间的关系式，并求出叠放10辆购物车时车身的总长． 25. 庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． （1）求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； （2）若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 26. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市长安兴国初级中学2025-2026学年七年级下学期期末 数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 教材版本：北师大版 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 窗花是我国传统民间艺术，下列窗花中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．结合选项解答即可． 【详解】、不是轴对称图形，故该选项不合题意； 、不是轴对称图形，故该选项不合题意； 、是轴对称图形，故该选项符合题意； 、不是轴对称图形，故该选项不合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握定义是解答本题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘法、合并同类项、平方差公式、幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D符合题意． 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 4. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 【答案】D 【解析】 【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°， ∴∠B=180°﹣80°=100°． 故选D． 5. 在中，，，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理进行判断即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴为斜边，、为直角边， ∴根据勾股定理得：，故D正确． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 6. 如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC=13，AB=5，且E为BC上一点，∠AED=90°，AE=DE，则BE=（　　） A. 13 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先证明△ABE≌△ECD得到CE值，即可求出BE． 【详解】解：在△ABE和△ECD中 ∴△ABE≌△ECD（AAS）． ∴CE=AB=5． ∴BE=BC-CE=13-5=8． 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题关键在于掌握判定定理 7. 有五条线段，长度分别是，，，，，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出5条线段任取3条的所有可能情况，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取三条的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；6，8，10；4，8，10共10种，其中能构成三角形的情况有4，6，8；6，8，10；4，8，10共3种， 则P(能构成三角形)=. 故答案选：B. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系，解题的关键是熟练的掌握列表法与树状图法以及三角形的三边关系. 8. 如图，已知，，．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，根据证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 无法证明A，故．a 9. 社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（ ） A. 小王实际骑行时间为 B. 内，小王派送快递的平均速度是 C. 小王骑行的平均速度比快 D. 点表示小王出发，共骑行 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象所给信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由函数图象可得，小王实际骑行时间为，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可得，内，小王派送快递的平均速度是 ，原说法错误，不符合题意； C、由函数图象可得，小王骑行的平均速度为，小王骑行的平均速度为，由于，故原说法错误，不符合题意； D、由函数图象可得，点表示小王出发，共骑行，原说法正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔软性，我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 12. 如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的长和的取值范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，的长为， ∴，且， ∵线段是底边上的高，， ∴的面积为， 综上，与之间的关系式为． 13. 如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝32°，则∠BED的度数是_____． 【答案】64° 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠ABC＝∠C＝32°，再根据角平分线的定义得到∠ABC＝∠EBC＝32°，然后利用三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠C＝32°， 又∵BC平分∠ABE， ∴∠ABC＝∠EBC＝32°， ∴∠BED＝∠C+∠EBC＝32°+32°＝64°． 故答案为64°． 【点睛】此题考查平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14. 校园内有两棵树，相距8m，一棵树高为13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________m. 【答案】10 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树高度相差为AE=13-7=6m，之间的距离为BD=CE=8m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC=m，即小鸟至少要飞10m． 【点睛】本题主要是将小鸟的飞行路线转化为求直角三角形的斜边，利用勾股定理解答即可． 15. 近年以来，某试验田在杂交水稻的研究中取得了重大突破，下面是2025年在同一条件下连续5次不同规模试种的水稻成活率： 水稻总株数（株） 500 1000 2000 5000 10000 … 成活率 … 根据表中数据，预计2026年的10万株水稻中可成活________万株． 【答案】 【解析】 【分析】随着随机试验次数的增加，频率会趋向于概率，结合表格的数据进行估计即可． 【详解】解：由图表可知，该水稻的成活率稳定在左右， （万株）， ∴预计成活万株． 16. 如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴的最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） ． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式． 18. 先化简，再求值： ，其中 【答案】，96 【解析】 【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式进行化简，再代入求值即可． 【详解】原式 当时， 原式． 【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，正确计算是解题的关键． 19. 如图，在中，请用尺规作图法，在下方作一点，连接、，使得和关于所在直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】以为圆心，的长为半径画弧，以为圆心，的长为半径画弧，两弧的交点即为点. 【详解】略 20. 请将下列证明过程补充完整． 如图，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D． 求证：∠E=∠DFE． 证明：∵∠B+∠BCD=180°(已知)， ∴ ( )． ∴∠B=∠DCE（ ）． 又∵∠B=∠D（ 已知 ）， ∴ ( 等量代换 )． ∴( ) ∴∠E=∠DFE（ ）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠DCE=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】根据平行线的判定即可得第一空答案；根据平行线的性质即可得出第二空答案；应用等量代换即可得出第三空与第四空答案；因为与是内错角，根据平行线的判定即可得出第五空答案；因为与是内错角，根据平行线的性质即可得出第六空答案． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠DCE=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质进行求解． 21. 一个盒子中装有红、黑、白三种颜色的小球，总共30个，每个小球除颜色外都相同，若红球个数是黑球的2倍少1个，从盒子中任取一个球是白球的概率是． （1）盒子中白球的个数为______． （2）求从盒子中任取一个球是黑色的概率． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】此题考查了根据概率求数量，一元一次方程的应用，求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）用球的总数乘以取到白球的概率即可； （2）设盒中黑球的个数为x个，则红球个数为个，列方程求出黑球的个数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：盒子中白球的个数为：（个）， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：设盒中黑球的个数为x个， 由题意得， 解得， ， 即从盒子中任取一个球是黑色的概率为． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． （1）的面积为_____________； （2）画出关于直线l的轴对称图形； （3）在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）8 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）用割补法求面积即可； （2）每个点关于对称，连接即可； （3）先作点关于的对称点，连接，与的交点为． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图，点即为所求作， ， ∵关于直线对称， ∴， 当三点共线时，值最小． 23. 如图，已知，，．求证：． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的证明，掌握判定方法是解题的关键． 由两直线平行，得内错角相等， ，由得，再结合，根据可得． 【详解】证明：， ， ， ， 即， 又， ． 24. 某超市叠放的购物车如图所示，小敏尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小敏测得的一些数据： 购物车数量/辆 2 3 4 5 6 车身总长 1.2 1.4 1.6 1.8 2 根据表格，回答下列问题： （1）如表中自变量是_____________，因变量是____________． （2）一辆购物车的车身长为__________． （3）请直接写出与之间的关系式，并求出叠放10辆购物车时车身的总长． 【答案】（1）购物车数量，车身总长； （2）1； （3），． 【解析】 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，求函数值，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义求解即可； （2）直接观察表格，即可求解； （3）根据（2）中的结论，可得车身总长与购物车辆数之间函数的关系式，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 根据题意得，如表中自变量是购物车数量，因变量是车身总长； 【小问2详解】 解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加； ∴一辆购物车的车身长为； 【小问3详解】 解：∵购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴ 当时， ∴与之间的关系式为，叠放10辆购物车时车身的总长为． 25. 庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． （1）求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； （2）若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 【答案】（1）监测点与宣传车的起始位置之间的距离为500 （2）庆庆家能听到8min的宣传车声音 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据的面积求得，以为圆心，长为半径画弧，交于点，，则当时，正好能听到宣传车的声音．根据勾股定理求得的长，进而得到的长，即可求出听到宣传车声音的时间． 【小问1详解】 解：，，， ． 答：监测点与宣传车的起始位置之间的距离为． 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，， 则当时，正好能听到宣传车的声音． 在中， ， ． 宣传车的行驶速度为， ． 答：庆庆家能听到的宣传车声音． 26. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $