精品解析：陕西西安市高新区2025—2026学年度第二学期期末学业质量测评七年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期末学业质量测评 七年级数学试题 时间：120分钟 满分：120分 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个汉字中，可看成是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、爱不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、我不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、中可以看作是轴对称图形，故本选项符合题意； D、华不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 小智在爸爸的影响下，自主学习人工智能的神经网络课程．他借助一个神经网络模型，输出了一个神经元的激活概率，其值为．用科学记数法表示这个激活概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解： 故选：D． 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C. 3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A． 座位号是奇数或偶数的可能性均存在，属于随机事件，故A不符合题意． B． 打开手机可能刷到各种内容，无法确定是否为学习主播直播，属于随机事件，故B不符合题意． C． 将3人分成两组，无论分组方式如何（如1人和2人），必有一组至少有2人，此事件必然发生，属于必然事件，故C符合题意． D． 三角形内角和恒为180°，因此内角和为360°的情况不可能发生，属于不可能事件，故D不符合题意． 故选：C． 5. 如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为（ ） A. 15 B. 16 C. 20 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义得到，根据的周长为18，求出的长，再利用周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选D． 6. 如图①，在长方形中，动点以秒的速度从点出发，沿的方向运动至点处停止．设点运动的时间为秒，的面积为．若与之间的关系图象如图②所示，则长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽． 根据的面积与点P的位置的关系分情况讨论，结合图②求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：动点P从点B出发，沿运动至点A停止， 当点P在点B，C之间运动时，， 的面积， 由图②得，当时，y到达最大值，此时点P到达点C处， ∴； 当点P运动到点C，D之间时， 的面积，保持不变， 由图②得，当时，点P运动到点A， ∴， ∴长方形的面积． 故选：B． 7. 如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是过拐点作平行线转化角的关系． 过点作，过点作，证明，，再根据角平分线得出从而得出答案． 【详解】解：解：如图，过点作，过点作， ∵； ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴ ∵的平分线与的平分线交于点N． ，， ∴ ∴， 故选：D． 8. 如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ，故②正确； 根据题意无法确定与的大小关系，故③错误； ∵， ∴ ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的选项①②④． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算性质，解题的关键是掌握“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的法则，即（，、为整数）． 先根据同底数幂的除法法则，将转化为的形式；再将已知条件和代入该式；最后通过有理数除法计算得出结果． 【详解】解：根据同底数幂的除法运算性质（，、为整数）， 已知，，将其代入得：， 故答案为：． 10. 如图，若让转盘自由转动一次，转盘停止后，指针落在蓝色区域内的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查几何概率的计算，根据几何概率的定义，求出蓝色区域的圆心角解答即可． 【详解】解：指针停止后指向图中阴影的概率是：． 故答案为：． 11. 如图，在中，，点E在边上，AE的垂直平分线交于点D，若，，则 =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，推出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，进而得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵AE的垂直平分线交于点D， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 12. 如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∴， ∵的长为， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 13. 将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则___________ ． 【答案】##124度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，在图1中由平行线的性质可得，，则由折叠的性质可得，据此求出，则由折叠的性质可得答案． 【详解】解：根据题意，，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， 由折叠的性质可得． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：． ． 15. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个．求任意摸出一个球是黑球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先求出盒子中球的总个数，再用黑球的个数除以球的总个数，即可得到任意摸出一个球是黑球的概率． 【详解】解 已知红球有4个，白球有6个，黑球有5个 盒子中球的总数为 （个）， ∴任意摸出一个球是黑球的概率为 ． 16. 如图，，，，试说明． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据得，再结合，，则利用“”证明，进行作答即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17. 如图，在中，，请在上找一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，等角对等边，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． ∵作线段的垂直平分线，交于点P， ∴， ∴． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得出，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 19. 某景区计划改造一块边长为米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为米的装饰区域，其余区域铺设为走道． （1）分别计算花坛和装饰区域的面积； （2）若，，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用． 【答案】（1）花坛的面积为平方米，装饰区域的面积为平方米 （2）铺设走道的总费用为6030元 【解析】 【分析】（1）直接套用长方形的面积公式“长方形面积长宽”求出花坛的面积和花坛与装饰区域的总面积，再用花坛与装饰区域的总面积减去花坛面积求出装饰区域的面积； （2）用正方形的面积减去长方形的面积，求得走道的面积，用走道的面积乘以每平方米走道铺设的费用算出总花费． 【小问1详解】 解：花坛的面积：平方米， 装饰区域和花坛的面积： =平方米， 装饰区域的面积： 平方米． 答：花坛的面积为平方米，装饰区域的面积为平方米． 【小问2详解】 解：走道的面积： （平方米）， 当，时，（平方米）， （元）， 答：铺设走道的总费用为6030元． 20. 如图，在中，平分，平分，于点，于点． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，角平分线的意义，解题关键是掌握上述性质求解． （1）先利用角平分线的意义分别求出与，再利用三角形的内角和定理求得的度数； （2）先利用角平分线的性质求得，再利用三角形的面积公式求的面积． 【小问1详解】 解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵平分，于点，于点，， ∴， 又， ∴的面积为． 21. 一口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1cm、2cm、3cm、4cm和5cm，口袋外有2张卡片，分别写有3cm和5cm．现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度． （1）求这三条线段能构成三角形的概率； （2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别抽出写有1cm、2cm、3cm、4cm和5cm，再与分别写有3cm和5cm进行判断能否构成三角形，再利用概率公式即可求解． （2）由（1）得，总得可能情况数为5，能构成等腰三角形有2种情况，利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：当抽出写有1cm的卡片，则三边分别为：1cm，3cm，5cm， 则，则不能构成三角形； 当抽出写有2cm的卡片，则三边分别为：2cm，3cm，5cm， 则，则不能构成三角形； 当抽出写有3cm的卡片，则三边分别为：3cm，3cm，5cm， 则，，则能构成三角形； 当抽出写有4cm的卡片，则三边分别为：4cm，3cm，5cm， 则，，则能构成三角形； 当抽出写有5cm的卡片，则三边分别为：5cm，3cm，5cm， 则，，则能构成三角形； 则总得可能情况数为5，能构成三角形的情况数为3， ∴这三条线段能构成三角形的概率为：． 【小问2详解】 由（1）可得总得可能情况数为5， 能构成等腰三角形的是：三边分别为：3cm，3cm，5cm和三边分别为：5cm，3cm，5cm，则能构成等腰三角形有2种情况， ∴这三条线段能构成等腰三角形的概率为：． 【点睛】本题考查了简单随机事件的概率、等腰三角形的定义、构成三角形的条件，熟练掌握概率概率公式及判断三边能否构成三角形是解题的关键． 22. 如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）利用余角的性质即可证明； （2）易得，则有，由即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为． 23. 新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． （1）是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； （2）若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 【答案】（1）， （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减；解决本题的关键是根据“圆满数”的定义解决问题． （1）因为，那么我们称是关于的“圆满数”，所以是关于的“圆满数”，，是关于的“圆满数”，据此解答； （2）因为，，所以，如果结果是，我们称是关于的“圆满数”，如果不是，不是关于的“圆满数”． 【小问1详解】 解：因为，那么我们称是关于的“圆满数”， 所以， 即是关于的“圆满数”， ， 所以是关于10的“圆满数”． 故答案为：，． 【小问2详解】 因为，, 所以 ， 即， 所以是关于的“圆满数”． 24. 如图①，是的平分线，点是上任意一点，用圆规分别在，上截取，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图②，在中，，，，分别是，的平分线，，相交于点． （1）的度数为_____； （2）写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，若不是直角，其他条件不变，则（）中所得结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）()中的结论仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】（）由直角三角形的性质可得，再根据角平分线的定义得到，，进而根据三角形的外角性质即可求解； （）在上截取，连接，可证，得到，，再证明，得到，即可求证； （）在上截取，连接，同理（）解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：()中的结论仍然成立，理由如下： 如图，在上截取，连接， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， 同理（）可证， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 在“珍爱生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 您好，请问安全头盔和手套的批发价 分别是多少元？ 您好，头盔40元/个，手套20元/副， 有以下两种优惠方案：方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． （1）电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套（），若选择方案一购买，需要花费           元（用含a的代数式表示），若选择方案二购买，需要花费           元（用含a的代数式表示）； （2）当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】（1）， （2）此时按方案二购买更合算，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了代数式的列写与求值，解题的关键是根据两种优惠方案的规则分别计算购买所需的花费． （1）方案一计算头盔与手套的原价总和后打九折；方案二先求赠送的手套数，再计算需付费的手套数，进而求总花费； （2）将代入两种方案的代数式，计算后比较花费多少． 【小问1详解】 解：方案一：原价总和为， 九折后花费：； 方案二：赠送手套数为，需付费手套数为， 花费： 故答案为：；． 【小问2详解】 解：当时， 方案一花费：； 方案二花费：； 因为， 答：此时按方案二购买较合算． 26. 如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． （1）求证：． （2）如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）①由（1）得，，然后结合，，求出，然后结合平角的定义求解即可； ②同①的方法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴； ②由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学业质量测评 七年级数学试题 时间：120分钟 满分：120分 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个汉字中，可看成是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 小智在爸爸的影响下，自主学习人工智能的神经网络课程．他借助一个神经网络模型，输出了一个神经元的激活概率，其值为．用科学记数法表示这个激活概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C. 3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D. 任意画一个三角形，其内角和是 5. 如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为（ ） A. 15 B. 16 C. 20 D. 19 6. 如图①，在长方形中，动点以秒的速度从点出发，沿的方向运动至点处停止．设点运动的时间为秒，的面积为．若与之间的关系图象如图②所示，则长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 8. 如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若，，则______． 10. 如图，若让转盘自由转动一次，转盘停止后，指针落在蓝色区域内的概率是______． 11. 如图，在中，，点E在边上，AE的垂直平分线交于点D，若，，则 =___________. 12. 如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 13. 将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则___________ ． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 化简： 15. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个．求任意摸出一个球是黑球的概率． 16. 如图，，，，试说明． 17. 如图，在中，，请在上找一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某景区计划改造一块边长为米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为米的装饰区域，其余区域铺设为走道． （1）分别计算花坛和装饰区域的面积； （2）若，，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用． 20. 如图，在中，平分，平分，于点，于点． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的面积． 21. 一口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1cm、2cm、3cm、4cm和5cm，口袋外有2张卡片，分别写有3cm和5cm．现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度． （1）求这三条线段能构成三角形的概率； （2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率． 22. 如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 23. 新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． （1）是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； （2）若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 24. 如图①，是的平分线，点是上任意一点，用圆规分别在，上截取，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图②，在中，，，，分别是，的平分线，，相交于点． （1）的度数为_____； （2）写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，若不是直角，其他条件不变，则（）中所得结论是否仍然成立？请说明理由． 25. 在“珍爱生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 您好，请问安全头盔和手套的批发价 分别是多少元？ 您好，头盔40元/个，手套20元/副， 有以下两种优惠方案：方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． （1）电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套（），若选择方案一购买，需要花费           元（用含a的代数式表示），若选择方案二购买，需要花费           元（用含a的代数式表示）； （2）当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 26. 如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． （1）求证：． （2）如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $