河南漯河市临颍县综合高中2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 以科技情境（如deepseek应用调查）和文化素材（如杨辉三角、青团概率）为载体，覆盖函数、数列、概率等模块，注重数学抽象与逻辑推理的高二数学期中试卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|二项式系数、集合补集、二项分布、函数极值、杨辉三角|结合科技情境与文化传承，如杨辉三角题考查二项式系数性质| |填空题|3题15分|等差数列前n项和、正态分布、函数极值点与数列|考查数学抽象与数据意识，如正态分布题应用对称性| |解答题|5题77分|函数切线与单调性、计数原理、青团概率（条件概率/全概率）、双曲线综合|注重逻辑推理与数学建模，如青团概率题应用全概率公式，双曲线题综合考查解析几何应用|

2025-2026学年高二下学期数学期中考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中的系数为（    ） A．24 B． C． D． 2．已知全集，集合，则C∪A=（    ） A． B． C． D． 3．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 4．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 6．已知正项数列满足，且，则（   ） A．6 B．42 C．80 D．84 7．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 8．双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为5，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线与函数和的图象分别交于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．已知随机事件满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A．事件互相独立 B． C． D． 11．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 13．已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 14．已知数列满足，，其中为函数的极值点，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（14分）已知函数（，且）. (1)若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； (2)若，求的取值范围. 16．（13分）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 17．（15分）“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”.问： (1)从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率. 18．（17分）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)证明：，． 19．（18分）已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 数 学 第1页，共3页 数 学 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年高二下学期数学期中考试参考答案 1．D 【详解】因为展开式的通项为， 所以的系数为． 故选：D. 2．B 【详解】或， 故. 故选：B 3．C 【详解】已知抽取男生、女生各50名，总样本100名，因此. 根据条件概率公式，代入得： ， 由，得：， 即随机抽取一名学生了解deepseek的概率. 由题意，（二项分布），则， 代入得：， 令，解得. 即当时，； 当时，， 因此最大时. 4．C 【详解】， 由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点， 即当时，有两个不同正实数根， 令方程有两个不同正实数根为、， 则有，，则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 5．A 【详解】由题意可知. 6．D 【详解】因为， 所以，所以数列是公比为2的等比数列， 因为，所以， 则， 故选：D. 7．D 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 8．C 【详解】双曲线，则. ，得. 双曲线右焦点为，故抛物线焦点，即. 则抛物线方程为. 设，中点横坐标，得. 由抛物线焦点弦长公式. 代入得. 9．AD 【详解】函数与互为反函数，则函数与的图象关于直线对称， 而直线与直线垂直，则直线关于直线对称， 因此点与点关于直线对称，由得线段的中点为， 在平面直角坐标系内作出函数和的图象及直线，如图： 对于A，由，得，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，由图知，，由，得， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，因此，C正确； 对于D，令，则，， 而函数在上单调递减，则，由，得， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，得，即， 整理得，因此，又， 则，即，于是，不等式不成立，D错误. 10．AC 【详解】由，得，，． 对于A：，所以， 所以事件，互相独立，所以事件互相独立，故A正确； 对于B：因为事件互相独立，所以事件互相独立， 所以，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D错误． 故选：AC． 11．ABC 【详解】由组合数性质可得，故A正确； 由组合数性质可知，故B正确； ，故，故C正确； ，所以，故D错误， 故选：ABC 12． 【详解】因为 为等差数列，所以 ． 故答案为：. 13．/ 【详解】由已知可得， 根据正态分布的对称性可知. 又，所以. 故答案为：. 14．/ 【详解】因为，则， 令，，则， 易知在上单调递增，令 ，得， 即，，，， 所以，单调递减，，单调递增， 又，，， 即存在，使得当时，，当时，， 所以函数存在唯一得极值点， 则，. 且，，可得， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 可得，， 且，则，可得. 又因为，则， 所以. 故答案为：. 15．(1)8 (2) 【详解】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 由得， 由，解得或（舍去）， 当时，得，符合题意， 所以. 解法2：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 当时，函数的定义域为， 设直线与曲线的切点坐标为， 由，得，得. 得，即， 则. 解得. （2）解法1：①当时，则函数的定义域为. 由于， 则，不符合题意. 所以不符合题意. ②当时，则函数的定义域为. 显然. 当时，由，得，即. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 解法2：当时，由，得，即， 得. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 16．(1)9 (2)24 【详解】（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为. （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为. 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件“取出青团是蛋黄馅”，. （2）设事件“甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅”，事件“取出第二个青团是肉馅”，. （3）设事件 “从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”. 设事件分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”，             18．(1) (2) (3) 由（2）可知，当时，，当且仅当时取得等号， 令，则， 所以， ，，…， ， 所以 ． 故原不等式得证. 【详解】（1）因为，所以，则， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，故． （2），则， 所以在上恒成立． 故在上恒成立， 令，，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，则，所以， 故实数的取值范围为． （3）略 19．(1) (2)①不存在，理由： 由题可设，将代入双曲线中， 整理得，由根与系数关系得， ， . ①不存在符合的直线. 令， 由得，即， 将代入上式得， ， 展开并整理， 将根与系数关系代入， 化简整理得，解得. 因此直线方程为. 检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系， 因此不存在满足条件的直线. ② 【详解】（1）因为，故. 由，代入得，则. 又因为在双曲线上，代入，得，则， 故双曲线方程为. （2）略 ②弦长， 到直线的距离， ， 令，可知在单调递增， 故，所以的面积最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $