精品解析：河南周口市项城市第二高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

高二（下）5月期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 4. 在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 14种 D. 28种 5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 6. 掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A为“两次的点数之和大于6”，事件B为“两次点数中的最小点数为3”，则（　　） A. B. C. D. 7. 长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A. 与正相关 B. 回归直线过点 C. D. 预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量的分布列为，则 D. 随机变量满足，且，则 11. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴恰有2个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 14. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知展开式共有11项. （1）求n的值，并求二项式系数的最大值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． （1）已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 18. 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的。某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ （2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二（下）5月期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 则. 2. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的片段和的性质即可求解． 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 3. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式的展开式即可求解. 【详解】第4项的二项式系数为． 4. 在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 14种 D. 28种 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】4位志愿者分到两个服务站，每个站至少1人，分组情况有三种： 1人去，3人去：种 2人去，2人去：种 3人去，1人去：种 总方案数：种 5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 6. 掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A为“两次的点数之和大于6”，事件B为“两次点数中的最小点数为3”，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用列举法求出满足事件和的所有情况，再使用条件概率的公式即可求解. 【详解】事件包含的结果有共种， 事件包含的结果有共6种， 则. 7. 长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据全概率公式求解即得. 【详解】设事件“学生玩手机超过1小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 8. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A. 与正相关 B. 回归直线过点 C. D. 预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 【答案】AC 【解析】 【详解】,, 而回归直线为，故，故，故C正确， 因为，故与正相关，故A正确； 当时，，故B错误； 2030年对应，此时生活垃圾无害化处理量为（亿吨）， 故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量的分布列为，则 D. 随机变量满足，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布、两点分布以及数学期望、概率的性质求解即可. 【详解】选项A：随机变量，根据正态分布性质，则，选项A正确； 选项B：随机变量服从两点分布，且，则，进而，选项B正确； 选项C：随机变量的分布列为，则，解得，选项C错误； 选项D：随机变量满足，且，则，进而，选项D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴恰有2个交点 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，求导可得，令可得，所以，即A正确； 对于B，由A可得，则， 所以切线方程为，即，可得B正确； 对于C，易知函数的定义域为，又， 令，可得， 所以当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误； 对于D，由C中分析可知， 即对于任意,恒成立，因此D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，进而结合导数几何意义求得切点为，再代入直线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以，即切点为 所以将代入直线方程得，解得． 14. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况， 其中两个号码的和为偶数的有共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与关系结合已知递推式构造作差，结合首项验证，证明数列为等比数列，进而求出通项公式； （2）用错位相减法，通过乘公比、作差、求和、化简，求得前项和. 【小问1详解】 当时，，即， 当时，①，②， ①-②得，即， 所以数列是首项，公比为4的等比数列， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由题设， 则③， 所以④， ③-④得 ， ， 所以. 【点睛】本题核心知识点为等比数列的定义与通项公式、前n项和公式，核心方法是利用​与​的递推关系求通项，以及错位相减法处理差比数列求和. 16. 已知展开式共有11项. （1）求n的值，并求二项式系数的最大值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1），252 （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）根据展开式的项数特征可求得，进而求得二项式系数的最大值； （2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值； （3）利用赋值法，令，代入原二项式展开式直接得到值. 【小问1详解】 二项式展开式的项数为， 由题知展开式共11项，因此，得， 因为10是偶数，故二项式系数的最大值为； 【小问2详解】 展开式中，系数的符号由决定， 即对应将原式中换为1后的系数， 等价于令代入原式：， 计算得，因此结果为； 【小问3详解】 令，代入等式得， 左边等于，因此结果为0. 17. 甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． （1）已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得，，再由条件概率公式计算； （2）确定的所有可能取值为，0，3，6，分别计算出概率得分布列，然后由期望公式计算出期望． 【小问1详解】 甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件， ， ， 所以． 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为，0，3，6， 则， ， ， ． 所以的分布列为 0 3 6 故． 18. 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的。某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ （2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 【答案】（1） 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员性别有关联 （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论； （2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列，由数学期望计算公式可求得期望值． 【小问1详解】 因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的， 故样本中偏好燃油汽车的人数为， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的， 故样本中女性驾驶员的人数为，由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联， 根据列联表数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】 由题意，抽取的人中偏好燃油汽车的人数为人， 偏好新能源汽车的人数为人， 随机变量的可能值为，，，， ，， ，， 所以，随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 的数学期望． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）时，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数求解极值即可； （2）根据导函数求解单调性即可； （3）将零点问题等价为有两个不等根，令并进一步求解其单调性、极值，最后再结合函数图像即可求出的取值范围． 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为， ，令得，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时取极小值，无极大值． 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，故在单调递增； 当时，令得，解得， 故在单调递减，在单调递增； 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． 【小问3详解】 由题意可得有两个不等根，等价于有两个不等根， 令，则， 令得，得， 故在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，，如图所示， 故与要有两个不同交点，则， 解得，故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $