河南漯河市临颍县晨中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 以科技节活动分配、机器人对抗赛等真实情境为载体，融合概率统计、立体几何、导数应用等核心知识，通过基础判断（如正态分布方差）、动态探究（如正方体动点体积）、跨模块综合（如工序排列与概率分布），考查数学眼光的空间观念、数学思维的推理能力及数学语言的数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|正态分布、二项式定理、双曲线性质、散点图分析|单选第3题结合科技节人员分配考查排列组合，多选第10题以传球训练为背景构建概率递推模型| |填空题|3题/15分|二项式系数、导数单调性、函数不等式|第13题通过导数研究函数单调性，考查逻辑推理| |解答题|5题/77分|导数应用、工序排列、立体几何证明与计算、概率分布列|第16题工序排列问题体现应用意识，第18题对比放回与不放回抽样的概率分布，强化数据观念|

2025-2026学年度高二下学期数学期中考试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。) 1.己知随机变量X服从正态分布N(100,2),则D(2X)=() A.2 B.4 C.8 D.16 2.在(2_2)的二项展开式中，第4项的二项式系数是() A.56 B.-56 C.70 D.-70 3.2026年5月8日，郑州某中学第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人 对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受 到了全校师生的热烈欢迎和一致好评现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同 学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个 不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区“创意编程工坊“未来科技演讲台”），每个展台 至少安排一名同学负责讲解与展示那么，符合要求的分配方案共有多少种？() A.90 B.100 C.150 D.180 4.(x+1)的展开式中含x项的系数为() A.-10 B.-5 C.10 D.5 5.已知全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3,集合A={x∈Ux261,则CuA（) A.{-3,-2,2,3B.{-1,0,1 c.{0 D.{-2,-1,0,1,2 6.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，动点E在棱BB,上，动点F在线段AC上，O为底面 ABCD的中心，若A,F=m,BE=n,则四面体O-AEF的体积() A.与m,n都有关 B.与m,n都无关 C.与m有关，与n无关 D.与n有关，与m无关 7.已知点P为抛物线C:x2=8y上的动点，点Q为圆M:x2+y2-2x-8y+16=0上的动点， 点F为抛物线C的焦点，则PF+PQ的最小值为() A.8 B.7 C.6 D.5 试卷第1页，共3页 8.己知直线：a-2)x+3ay=0,l2:4-2ax+(a+2)y+2=0,则“a=2”是“1∥12”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.已知点F、F分别为双曲线C:二-上=1的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则 94 下列说法正确的是() A.双曲线C与双曲线上- 49 ·=1有相同的渐近线 B.若PF=2PE,则△PEE的周长为18+2√3 C.若PF⊥PF,,则△PFF的面积为4 D.若M为圆E:(x+√13)2+y2=1上一点，则|PM|-PF,的最大值为8 10.甲、乙、丙三人相互做传球训练，先由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将 球传给另外两个人中的任何一人，记P为第n次传球后球在甲手中的概率，Q为第次传球 后球在乙手中的概率，R,为第次传球后球在丙手中的概率，则下列说法正确的是() A.B=4 B.0=4 1 C.B=(1-B) D.22026=R2026 11.有一幅散点图如图所示，从5个数据点中去掉D(3,11,则下列说法中正确的是() y ·E(10,12) D3,11) ·C(4,5) ·B(2,4) A(1,3) A.残差平方和变大 B.相关系数r变大 C.决定系数R2变大 试卷第1页，共3页 D.解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12. x+- 的展开式中x的系数是 l3.若f(x)=xe-ax在R上单调递增，则a的最大值为 14.已知定义在(0，+o)上的函数f(x,其导函数为f'(x),若对xf'(x+2f(x>0,则不 等式x+2026)fx+2026≤5f5)的解集是 5 x+2026 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(15分)已知函数f(x)=x2-2alnx-2(a-1x,aeR. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程； (2)讨论∫(x的单调性， 16.(13分)某种产品的加工需要经过A,B,C,D,E共5道工序 (1)如果工序B,C必须相邻，且不能放在最前，有多少种加工顺序？ (2)如果工序D必须在工序E的前面，且不能相邻，有多少种加工顺序？ 17.(18分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AB⊥BC,CD=DC,CE=2EA,BF=2FA, 且AB=BC=3,AA=2. B --B (I)证明：EF/平面AB,C (2)在答题卡上，作出平面B,DF与AC的交点，并说明你的理由. (3)求平面B,DF与平面ABB,A,夹角的正切值 18.(14分)袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球。 试卷第1页，共3页 (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X,求X的分布列； (②)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列、期望和方差， 19.(17分)己知三棱柱ABC-A,B,C的棱长均为2，A,B=V6,平面ACC,A⊥平面ABC A B (1)求该棱柱的体积； (2)求平面ABB,A与平面A,B,C夹角的余弦值. 试卷第1页，共3页 2025-2026学年度高二下学期数学期中考试卷参考答案 1.C 【分析】由方差的性质即可求解 【详解】由题意得D(X)=2,所以D(2X)=22·D(X)=4×2=8. 故选：C 2.A 【分析】由二项式的展开式即可求解 【详解】第4项的二项式系数为C=56. 3.C 【分析】分1,1,3和2,2,1两种情况，分别求出分组数，结合排列，组合知识进行求解 【详解】把这5个同学分配到3个不同的活动展台，每个展台至少安排一名同学，分组方式 有两种： ①按1,1,3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组， 可得不同的分组数为C；=10; ②按2,2,1分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1 个为一组， 可得不同的分组数为 .C-15, A 最后分配到3个不同的活动展台，共有(10+15)×A=150种不同的方法. 4.D 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得 【详解】二项式(x+1)展开式的通项为T,1=Cx5-(r∈{0，l,2,3,4,5}), 令5-r=1,得r=4,所以含x项的系数为C=5. 故选：D. 5.B 【分析】解不等式得到集合A,利用补集概念求出答案 【详解】A={xeUx261={xeUx>1或x<-1={-3,-2,2,3}, 答案第1页，共2页 故。A={-1,0,1 故选：B 6.B 【分析】作出辅助线，设正方体的边长为a,可得，E到平面AA,CC的距离为定值 BO=v2 。，F到直线40的距离为定值AM=a,640P的面积为定值S=5。.从而得到 2 4 VO-AEF VE-AOF a3即可求解 12 【详解】如图，连接A0,AE,AF,OE,OF,EF,设正方体的边长为a D A B E D B :BB,/IAA,AA,c平面AACC,BB,E平面AACC, :BB,I平面AMCC,:E到平面A4CC的距离为定值B0=5。 20, :AO/1A,C1,.F到直线A0的距离为定值AA=a, :A4OF的面积为定值S-2。, 4 VO-AEF VE-AOF ,-x5ax5。=,:四面体0-AP的体积是与m,n无关的定值. X 32 4 12 故选：B 7.D 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解PF+PQ最小值. 【详解】由题可知，抛物线焦点F(0,2),准线方程为y=-2,圆心M(1,4,半径为1， 过点P作PN⊥直线y=-2,垂足为N,如图所示， 由抛物线定义可知，PF=PN, 所以PF+PQ=PN+PQ, 当点M,P,Q,N在同一直线时，可取到最小值， 答案第1页，共2页 因为点M(1,4)到直线y=-2的距离为6， 所以PN+P≥6-1=5，即PF+PQ的最小值为5. 8.A 【分析】先验证充分性，即代入α=2判断两直线是否平行；再求解必要性，通过两直线平 行的系数关系求出所有满足11，的Q值，验证a=2是否为唯一解，从而判断条件关系 【详解】当a=2时，直线4：6y=0,即y=0;直线l2:4y+2=0, 即y=分两直线斜幸均为0且不重合，故44。 若l1l2,则(a-2)(a+2-3a4-2a=0,展开得a2-4-12a+6a2=0, 整理得7a2-12a-4=0,解得a=2或a=-2 当0=号时.4：19号=0，耳8x+0=0:4号+号+2=0， 32.12 7 即8x+3y+20,两直线平行且不重合，满足条件 因此，a=2可推出l‖l2,但l‖l2不能仅推出a=2, 故“a=2”是“1‖12”的充分不必要条件 9.ABC 【分析】求出两条双曲线的渐近线后可判断A的正误，根据双曲线的定义可求△PFF,的周 长，从而可判断B的正误，根据余弦定理和双曲线定义可求焦点三角形的面积，从而可判 断C的正误，根据双曲线的定义结合圆的性质可求PM-PF,的最大值，从而可判断D的 正误 【详解】对于A选项，双曲线C:父-上=1，a=3,b=2, 94 故海近线方程为y=±x,即y=士x,双曲线兰=1,4=2,6=3， b .2 a 3 49 答案第1页，共2页 ，即y=士子，改A正确 a 故渐近线方程y=± 对于B选项，由题意可得c=√a2+b=3,FE=213, 由双曲线的定义可得PF-PF,=2a=6, 因为PF=12,PE=6,故△PFF的周长为18+23，故B正确： 对于C选项，点P为C右支上一动点，设PF=1, 则PF=6+1,EE=23, 因为PF⊥PF2,所以(t+6)+=52,解得t=√7-3（负值舍去）， 所以aPFR的面积为PFPF=)6+小1=(7+3而-3到=4，故C正确， 对于D选项，圆E:(x+√3)2+y2=1的圆心E的坐标为-3,0，半径为1， 易知E-V3,0为双曲线的左焦点F,故PE-PF,=PF-PF=6, 则PM-PF,=PM-PE+6≤PE+1-PE+6=7, 当M为线段PE的延长线与圆(x+√3)2+y2=1的交点时等号成立， 所以PM-PF的最大值为7，故D错误 10.ACD 【分析】由题意可得Q.=R,可得D:利用全概率公式可得P=0x2+0,+号R,结合 P,+Q.+R.=1可得C;利用C中所得计算可得A、B. 【详解】对D:每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 故第次传球后球在乙或丙手中的概率相同， 即有Qn=Rn,故Q2026=R2o26,故D正确： 答案第1页，共2页 对C:由题意可得P,+Q,+Rn=1, 则由全概率公式可得P=0xB+0+号R=-P),放C正衡： 1 2 对A:由题意可特R=0,则A=-R-子月--)-子改A止确 1 对B:g-=1上1 4_3,故B错误 2 28 11.BCD 【分析】根据散点图得到D3,1)偏离直线，结合相关系数，决定系数和残差平方和的定义 得到答案 【详解】由散点图分析可知，D(3,1)偏离直线， 去掉后，解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强， 相关系数r变大，决定系数R2变大，残差平方和变小 故选：BCD 12.5 【详解】 +的开式项为7=CrCx=0L2, 令5-2r=3解得r=1, 所以展开式中x的系数是C;=5 日 【分析】根据可导函数在R上单调递增的充要条件是导函数非负恒成立，将问题转化为求 参数a小于等于构造的新函数的最小值，进而求新函数的最小值即为的最大值 【详解】己知f(x)=xe-ax在R上单调递增，故对任意xeR,都有'(x)≥0恒成立， 对f(x)求导得f'(x)=(x+I)e-a,因此不等式(x+1)e-a≥0对任意xeR恒成立，即 a≤x+I)e对任意xeR恒成立， 令gx=(x+1e，只需满足a≤gx)mn即可，又g'(x)=(x+2)e*, 当x<-2时，g'(x)<0,gx单调递减；当x>-2时，g'(x>0,gx单调递增： 答案第1页，共2页 因此x=-2是gx的极小值点，也是最小值点， 代入得8-2引=。，即4的最大值为日 14.(-2026,-2021 【分析】先根据条件xf'(x+2f(x)>0构造辅助函数gx=x2f(x),求导判断出gx)在 (0,+0）上单调递增；再将原不等式等价变形为gx+2026)≤g5),结合定义域与单调性， 解不等式组0<x+2026≤5即可得到解集， 【详解】构造函数g(x)=x2f(x),g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x2f(x)+xf'(x)], 因为x>0,xf'x)+2f(x)>0,所以g'(x)>0, 所以gx)=x2f（x)在(0，+0）上单调递增， 定义域要求x+2026>0,即x>-2026, 不等式r+2026)/x+20261s5/15)等价于(x+2026'fx+2026)≤5f15, 5 x+2026 即gx+2026)≤g5),所以0<x+2026≤5，解得-2026<x≤-2021， 所以不等式x+2026)x+2026s5/5) 的解集是-2026，-2021 5 x+2026 15.(1)y=8x-3 (2)当a≤0时，f(x在区间(0，+0)单调递增； 当a>0时，f(x在区间(0，a上单调递减，在区间(a,+oo）上单调递增。 【分析】(1)当α=-1时，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合已知点坐标求出 切线方程； (2)求导，结合函数定义域，按Q进行分情况讨论，并结合导数判定函数f(x)的单调性. 【详解】1)当a=-1时，f(x)=2+21nx+4x,求导得)=2x+2+4, :f'(1=8,f1=5, y=f(x在点(1,5)处的切线方程为y-5=8(x-1,化简得y=8x-3. (2)由f(x)=x2-2alnx-2(a-1)x,得 答案第1页，共2页 f=2x-2-21a-l=2-a--a]_2x-@jx+, f(x的定义域为0，+o）, 当a≤0时：f'(x)>0,f(x)在区间(0，+o)单调递增： 当a>0时： 当xe(0,a时，f'(x<0;当xe(a,+o)时，f'(x>0, :f(x)在区间(0，a上单调递减，在区间(a,+oo上单调递增， 综上，当a≤0时，∫(x)在区间(0，+o)单调递增： 当a>0时，f(x在区间(0，a上单调递减，在区间(a,+o）上单调递增. 16.(1)36 (2)36 【分析】(1)利用插空法和捆绑法，先将A,D,E做全排，从后3个空任选1个，把B,C绑 定插入； (2)利用插空法，先将A,B,C做全排，此时有4个空，再从中任选2个空把D,E插入 【详解】(1)若工序B,C必须相邻，且不能放在最前， 先将A,D,E做全排，从后3个空任选1个，把B,C绑定插入， 所以，有ACA?=36种加工顺序； (2)若工序D必须在工序E的前面，且不能相邻， 先将A,B,C做全排，此时有4个空，再从中任选2个空把D,E插入， 所以，有AC?=36种加工顺序 17.(1)证明见解析 A B (2) E. D 理由见解析 --B 答案第1页，共2页 (3)3√2 【分析】(1)根据题意，证得EF/BC,得到EFI/B,C,结合线面平行的判定定理，即可 得证： (2)延长B,D交BC延长线于点G,连接FG交AC于点H,证得FGc平面B,DF,即可求 解： (3)以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面B,DF和平面ABB,A,的法向量 m=(3,1,3)和n=(0,1,0),结合向量的夹角公式，即可求解 【详解】(1)证明：因为CE=2EA,BF=2FA,即得 AE AF 1 CFB2'所以EF1IBC, 又因为BC∥BC,所以EF //B,C1, 因为EF4平面ABG,且B,C,C平面ABC,所以EF/1平面ABG. (2)解：如图所示，延长B,D交BC延长线于点G,连接FG交AC于点H, A B B EH 因为G∈B,D,且BDc平面B,DF,所以Ge平面B,DF, 又因为Fe平面B,DF,所以FGc平面B,DF,所以H为平面B,DF与AC的交点， (3)解：以B为坐标原点，BA,BC,BB,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 答案第1页，共2页 B 如图所示，则B(0,0,2),D(0,3,1),F(2,0,0),可得B,D=(0,3,-1),B,F=(2,0,-2). mBD=3y-z=0 设平面B,DF的法向量为m=(x,y,z),则 m·B,F=2x-2z=0 令y=1,可得x=3,z=3,所以m=(3,1,3), 又由y轴垂直平面ABB,A,可得平面ABB,A的一个法向量为n=(0,L,0), 设平面B,DF与平面ABB,4的夹角为O,则cos0=cosm,= m列。1 m同191 可得如6-m0-治测m0=0-, cose 故平面B,DF与平面ABB,4夹角的正切值为3v2 18.(1)分布列见解析 ☒分布列题解精，门-子D)=斧 【分析】(1)有放回抽样时，取到黑球的次数X B35 可能的取值为0,1,2,3，分 别求出对应的概率，即可得X的分布列， (2)由题意可得Y的所有取值为0,1,2，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列，期 望，方差 【详解】(1)若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为g十25， 21 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此X B3.) 所以P(X=0)= 48 答案第1页，共2页 Px-2-c)品r==c) 因此X的分布列为： X 0 3 64 48 12 P 125 125 125 125 (2)由题意，Y的所有取值为0,1,2， 则P(Y=0)= cc-7 C。5,PY= C。6,PY=2)= cic =1 因此，Y的分布列为： 0 1 P > > 15 15 15 所以E(Y)=0× +1× 7+2×=3 15 152155 m=-名-名-名 19.(1)3 肾 【分析】(1)设AC的中点为0，利用面面垂直的性质可得B01平面ACC,A,得到 BO⊥AO,利用勾股定理得到A,O,进而得到AO⊥AC,A,O⊥平面ABC,接着用体积公 式求解即可； (2)以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可. 【详解】(1)解：设AC的中点为0，连接AO,B0, 答案第1页，共2页 :△ABC为等边三角形，边长为2， B0⊥AC,B0=V3,A0=1, :平面ACC,A⊥平面ABC,平面ACC,A∩平面ABC=AC, :B0⊥平面ACC,A,又AOC平面ACCA, ·B0140,A0=√AB2-B02=5, AA=A02+A,02,则A,0⊥AC, 又：平面ACC,A⊥平面ABC,平面ACC,AO平面ABC=AC, :A,O⊥平面ABC, 'c46=S40= 2x22×V5=3; 4 (2)解：由(1)知AO⊥平面ABC,B0⊥AC, 如图，以0为原点建立空间直角坐标系， A0,-1,0),B5,0,04(0,0,5, 设平面ABBA的一个法向量m=（x,y,z), AB.m=3x+y=0 ,不妨取x=1,则m=1,-5,, A4m=y+3z=0 易知平面AB,C的一个法向量i=(0,0,1), 答案第1页，共2页 cosm,=15 V5-51 则平面4BB,4与平面ABC,夹角的余弦值为V5 答案第1页，共2页