第五章 复数 素养评估专项训练题(一)-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念|单选1-5、多选9|实部虚部辨析、纯虚数判定|从定义出发，强化概念的准确理解与辨析| |几何意义|单选6-7、填空14|复平面内点的位置、象限判断|结合坐标表示，建立代数与几何的联系| |运算应用|单选8、填空12-13、解答15-17|模的计算、共轭复数运算|以四则运算为核心，渗透参数问题处理| |综合拓展|解答18-19|平行四边形、方程求解|整合几何图形与函数思想，提升推理能力|

第五章《复数》素养评估专项训练题(试卷一)及详细解析 一、单选题 1． 已知 z i ，则复数 z在复平面内对应的点位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1.【答案】B 【解析】因为 z i =3 + 2i ,则复数 z 在复平面内对应的点(3,2)位于第二象限,故选：B． 2.已知 z为复数，设 z + 2= 34i ，则 z + 2=( ） A．25 B． C．5 D． 2.【答案】C 【解析】依题意设 z = a + bi(a, b ∈ R) ，则 = abi ，则 z + 2 = 3abi = 34i ，则 a = 1, b = 4, 所以 z + 2 = 3 + 4i = 5 ，故选：C. 3．设复数 z （i为虚数单位），则复数 z的虚部是 ( ) A． 1 B． C．i D． 3.【答案】A 【解析】因为i2026 = (i2)1013 = ()1013 = ，所以 zi，所以复数z的虚部是 1，故选：A. 4．设复数 z1 = 1+ ai(a ∈ R) ， z2 = 34i .若 ，则实数 a的值为( ) A. B. C. D. 4.【答案】D 【解析】， 故选：D. 5．以－＋7i的虚部为实部，以i＋5i2的实部为虚部的复数是 (　　) A．7－5i B．－＋i C．5＋i D．＋i 5.【答案】A 【解析】设所求复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知复数－＋7i的虚部为7，所以a＝7；复数i＋5i2＝－5＋i的实部为－5，所以b＝－5，故z＝7－5i.故选A. 6．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6.【答案】B 【解析】因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即>A>－B>0，sin A>cos B，所以cos B－tan A＝cos B－<cos B－sin A<0，又tan B>0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限．故选B. 7．已知复数 z1 在复平面内对应的点始终在直线 x = 1上， z2 = 2 + i且满足 z1 . z2是纯虚 数，则数复数z1 = ( ) A． 1－2i B． 1+ 2i C． 2 － i D． 2 + i 7.【答案】A 【解析】依题意，可设 z1 = 1+ bi 由 z2 = 2 + i ，可得 i ， 则 z1 . z2 = (1+ bi)(2 - i) = (2 + b) + (2b-1)i ， 由于 z1 . z2 是纯虚数，得 2 + b = 0,2b-1 ≠ 0 ，所以b =－2 ，故 z1 = 1－2i .故选：A. 8.已知复数 z1 = 4－a2 + ai(a ∈ R), z2 = t + 2 cos θ + i(sin θ)(t, θ ∈ R)，若 z1 = z2，则实数 t 的取值范围为( ) A． B． C． [2,6] D． 8.【答案】B 【解析】因为 z1 = z2 所以 t + 2 cos θ = 4 - a2 , a =sin θ，所以t = 4 - 3sin2 θ - 2 cos θ = 3 cos2 θ - 2 cos θ +1 ，令 m = cos θ ∈ [-1,1]，得 t = 3m2 - 2m +1 = 3 当 m 时， tmin 当 m = -1时， tmax = 6,故答案为：B. 二、多选题 9．已知i为虚数单位，下列说法错误的是 (　　) A．若x2＋1＝0，则x＝i B．实部为零的复数是纯虚数 C．z＝(x2＋1)i可能是实数 D．复数z＝2＋i的虚部是i 【答案】ABD 【解析】对于A，x＝±i，故A错误；对于B，实部为零的复数可能虚部也为零，从而也可能是实数，故B错误；对于C，当x＝±i时，z＝(x2＋1)i是实数，故C正确；对于D，复数z＝2＋i的虚部是1，故D错误．故选ABD. 10．复数 z i ，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有( ) A． i B． = 1 C． 1 + z + z 2= 0 D． z 2 【答案】BCD 【解析】对于A ：因为 z i ，所以i ，知 A 错误； 对于 B： z i2 = 1 ,知 B 正确； 对于 C： 1 + z + z i2 = 0 ，知C 正确；对于 D：i ， z i，所以 z 2 ，知 D 正确.故选BCD． 11．已知复数 z = 1+ cos 2θ + isin其中i为虚数单位）下列说法正确的是 ( ) A． z 可能为实数 B．复数 z 在复平面上对应的点可能落在第三象限 C． z = 2cos θ D． 的实部为定值 1 【答案】ACD 【解析】因为当sin 2θ = 0, θ = 0 时，复数 z 是实数，知 A 选项正确； 当 时， －π < 2 θ < π , 所以 _1 < cos 2θ ≤ 1,0 < 1+ cos 2θ ≤ 2 ，对应点横坐标大于 0，所以B 选项错误； cos θ , 知 C 选项正确； 的实部是 知 D 选项正确；故选：ACD. 三、填空题 12．若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z＜0，则m＝________． 【答案】－1 【解析】由复数z＝m＋(m2－1)i＜0，得解得m＝－1.故答案填－1. 13.设集合 A 则集合 A 中元素的个数为 ． 【答案】3 【解析】根据复数的运算法则，可得 i ， 同理i ，所以 fn = in + n ， 则 f(1) = 0, f(2) =－2, f(3) = 0, f(4) = 2, f(5) = 0, f(6) =－2, f(7) = 0, f(8) = 2,,所以集合 A 中元素的个数为 3．故答案为3. 14．已知复数 z = cos θ + isin i为虚数单位），z + z2 在复平面上对应的点在虚轴上.在 ΔABC 中， B 且 2z ， z 2 － z +1 在复平面上对应的点分别为 A , C ，则 ΔABC 的面积最大值为 ． 【答案】 3 【解析】 z + z2 = (cos θ + isin θ) + (cos θ + isin θ)2 = (cos θ + cos 2θ) + i(sin θ + sin 2θ) ，又z + z2 在复平面上对应的点在虚轴上， : cos cos θ =－1（不符合题意舍去）； 在复平面上对应的点分别为 A(1, ) ， C(0,0) ，CA = 2 ，又 B ， 由余弦定理可得cos B 得 AB2 + BC2 = 4 + ABBC ≥ 2ABBC ，即 ABBC ≤ 4 ，当且仅当 AB = BC 时，此时 ΔABC 为等边三角形，等号成立，∴三角形面积最大值为 SΔABC ABBC sin B 4 .故答案为： . 四、解答题 15.当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数；(3)复数z>0． 15.解析：(1)当解得m≠5且m≠－3，即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数． (2)依题意，当即m＝3或m＝－2时，复数z是纯虚数． (3)因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5.即m＝5时，复数z>0． 16.设复数 z = 1+bi(b ∈ R) . (1)若 (2－ i)z是实数，求b的值； 是纯虚数，求复数 z的共轭复数 z . 16.【答案】 i . 【解析】（1） 由题知 (2－ i)z = (2－i)(1+ bi) = (2 + b) + (2b－1)i若 (2－ i)z 是实数，则 2b－1 = 0 ，解得b （2） 由题知 若 1+ i 是纯虚数，则1+b = 0 且1－b ≠ 0 ，解得b =－ 1 ，所以 z = 1－i, = 1+ i. z 17.复数 z = m2 －2m － 3 + (m2 －1)i(m∈ R) ， （1）若 z 为纯虚数，求 m 的值； （2）若复数 z 对应的点位于第二象限，求 m 的取值范围； （3）若复数 z 是方程 x2 + 6x +18 = 0 的解，求 m 的值. 【答案】 (1) m = 3 ； (2)1 < m < 3 ； (3) m = 2 . 【解析】（1）若z 为纯虚数，则 ，解得 m = 3 ； （2）复数 z对应的点位于第二象限，则 解得1 < m < 3 ； （3） 由 x2 + 6x +18 = 0 ，则 (x + 3)2 =－9 = 9i2 ，则 x + 3 = ±3i ，即 x = －3 ± 3i ， 因为复数 z 是方程x2 + 6x +18 = 0 的解，所以 解得 m = 2 . 18．如图，已知在复平面内的平行四边形ABCD中，点A表示的复数为－1，对应的复数为2＋2i，对应的复数为4－4i. (1)求点D表示的复数；(8分) (2)求平行四边形ABCD的面积．(9分) 解析：(1)依题可知A(－1，0)，＝(2，2)，＝(4，－4)，可得B(1，2)，C(5，－2). 设点D表示的复数为x＋yi(x，y∈R)，得＝(x－5，y＋2)，＝(－2，－2). 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝，解得x＝3，y＝－4， 故点D表示的复数为3－4i. (2)＝(2，2)，＝(4，－4)，可得·＝0，所以⊥，所以平行四边形ABCD为矩形．又因为||＝2，||＝4，故平行四边形ABCD的面积为2×4＝16. 19.已知复数z＝m－i(m∈R)，且·(1＋3i)为纯虚数(是z的共轭复数). (1)设复数z1＝，求；(8分) (2)复数z2＝在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．(9分) 解析：(1)因为z＝m－i(m∈R)，则＝m＋i，所以·(1＋3i)＝(m＋i)(1＋3i)＝(m－3)＋(3m＋1)i为纯虚数，所以解得m＝3.所以z1＝＝＝＝＝－＋i，因此＝＝. (2)因为i2 025＝i4×506+1＝i， 则z2＝＝＝＝＋i， 因为复数z2在复平面内对应的点位于第四象限，则解得－<a<3. 因此实数a的取值范围是. 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章《复数》素养评估专项训练题(试卷一) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 已知 z i ，则复数 z在复平面内对应的点位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知 z为复数，设 z + 2= 34i ，则 z + 2=( ） A．25 B． C．5 D． 3．设复数 z （i为虚数单位），则复数 z的虚部是 ( ) A． 1 B． C．i D． 4．设复数 z1 = 1+ ai(a ∈ R) ， z2 = 34i .若 ，则实数 a的值为( ) A. B. C. D. 5．以－＋7i的虚部为实部，以i＋5i2的实部为虚部的复数是(　　) A．7－5i B．－＋i C．5＋i D．＋i 6．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知复数 z1在复平面内对应的点始终在直线 x = 1上, z2 = 2 + i且满足 z1是纯虚数， 则数复数z1 = ( ) A． 1－2i B． 1+ 2i C． 2 － i D． 2 + i 8.已知复数 z1 = 4－a2 + ai(a ∈ R), z2 = t + 2 cos θ + i(sin θ)(t, θ ∈ R)，若 z1 = z2，则实数 t 的取值范围为( ) A． B． C． [2,6] D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知i为虚数单位，下列说法错误的是 (　　) A．若x2＋1＝0，则x＝i B．实部为零的复数是纯虚数 C．z＝(x2＋1)i可能是实数 D．复数z＝2＋i的虚部是i 10．复数 z i ，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有( ) A． i B． = 1 C． 1 + z + z 2= 0 D． z 2 11．已知复数 z = 1+ cos 2θ + isin其中i为虚数单位下列说法正确的是( ) A． z 可能为实数 B．复数 z 在复平面上对应的点可能落在第三象限 C． z = 2cos θ D． 的实部为定值 1 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z＜0，则m＝________． 13.设集合 A 则集合 A 中元素的个数为 ． 14．已知复数 z = cos θ + isin i为虚数单位），z + z2 在复平面上对应的点在虚轴上.在 ΔABC 中， B 且 2z ， z 2 － z +1 在复平面上对应的点分别为 A , C ，则 ΔABC 的面积最大值为 ． 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数；(3)复数z>0． 16.设复数 z = 1+bi(b ∈ R) . (1)若 (2－ i)z是实数，求b的值； 是纯虚数，求复数 z的共轭复数 z . 17.复数 z = m2 －2m － 3 + (m2 －1)i(m∈ R) ， （1）若 z 为纯虚数，求 m 的值； （2）若复数 z 对应的点位于第二象限，求 m 的取值范围； （3）若复数 z 是方程 x2 + 6x +18 = 0 的解，求 m 的值. 18．如图，已知在复平面内的平行四边形ABCD中，点A表示的复数为－1，对应的复数为2＋2i，对应的复数为4－4i. (1)求点D表示的复数；(8分) (2)求平行四边形ABCD的面积．(9分) 19.已知复数z＝m－i(m∈R)，且·(1＋3i)为纯虚数(是z的共轭复数). (1)设复数z1＝，求；(8分) (2)复数z2＝在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．(9分) 学科网（北京）股份有限公司 $