第5章 阶段小测(六)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

阶段小测(六) (时间：120分钟　满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．＝ (　　) A．2－i B．1＋2i C．1－i D．－2－i 解析：选D.＝＝＝－2－i. 2．已知复数z＝－2＋4i(i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.因为z＝－2＋4i，所以＝－2－4i，所以复数在复平面内对应的点的坐标为(－2，－4)，位于第三象限． 3．已知复数z与复平面内的点(2，3)对应，则＝ (　　) A．2＋2i B．－1＋2i C．－＋i D．＋i 解析：选B.由复数的几何意义可知z＝2＋3i， 则＝＝＝＝－1＋2i. 4．已知复数|4－3i|·z＝1－2i2 025，则复数z的虚部为 (　　) A．－i B．－ C．i D． 解析：选B. |4－3i|＝＝5，i2 025＝(i2)1012·i＝i，则5z＝1－2i，所以z＝－，则复数z的虚部为－. 5．已知a，b∈R，“复数z＝是纯虚数，i为虚数单位”是“a＝－2”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B. 若a＝－2，则z＝＝＝＝＝－i为纯虚数，必要性成立； 若复数z＝＝＋i为纯虚数，则解得a＝±2，充分性不成立， 所以“复数z＝是纯虚数，i为虚数单位”是“a＝－2”的必要不充分条件． 6．若定义一种运算：(a，b)＝ac＋bd.已知z为复数，且(2，)＝6－4i，则复数z＝ (　　) A．2＋i B．1＋2i C．1＋i D．2－3i 解析：选B. 因为(2，)＝6－4i，所以2z＋4＝6－4i， 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2(a＋bi)＋4(a－bi)＝6a－2bi＝6－4i， 所以解得所以z＝1＋2i. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知复平面内表示复数：z＝m＋1＋(m－1)i(m∈R)的点为M，则下列结论中正确的为 (　　) A．若z∈R，则m≠1 B．若M在函数y＝2x的图象上，则m＝3 C．若z为纯虚数，则m＝－1 D．若M在第四象限，则－1＜m＜1 解析：选CD.对于A，若z∈R，则m－1＝0，得m＝1，故A错误； 对于B，因为M(m＋1，m－1)在函数y＝2x的图象上，所以m－1＝2(m＋1)，则m＝－3，故B错误； 对于C，若z为纯虚数，则m＋1＝0，即m＝－1，此时虚部不为0，故C正确； 对于D，若M(m＋1，m－1)在第四象限，则解得－1＜m＜1，故D正确． 8．已知复数z满足z(1＋i)＝5＋3i，i为虚数单位，为z的共轭复数，则下列说法正确的是 (　　) A．＝4＋i B．＝2 C．zi在复平面内对应的点在第二象限 D．若＝2＋i(a，b∈R)，则a＋b＝ 解析：选ABD.对于A，由题意得，z＝＝＝4－i，所以＝4＋i，A正确； 对于B，＝＝＝2，B正确； 对于C，zi＝(4－i)·i＝1＋4i，在复平面内对应的点为(1，4)，在第一象限，C错误； 对于D，由题意得，z＝(2＋i)(a＋bi)＝2a－b＋(a＋2b)i， 所以解得 所以a＋b＝，D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知复数z＝＋1－i，则＝________． 解析：z＝＋1－i＝＋1－i＝1＋i, 所以＝. 答案： 10．复数z＝a＋2i，a∈R，若＋1－3i为实数，则a＝________． 解析：因为z＝a＋2i，故＋1－3i＝＋1－3i＝＋1－3i＝3－(a＋3)i， 因为＋1－3i为实数，所以a＋3＝0，即a＝－3. 答案：－3 11．已知复数z满足＝1，则的取值范围为________． 解析：＝1表示z对应的点是单位圆上的点，|z－2－i|的几何意义表示单位圆上的点到点(2，)之间的距离，所以点(2，)到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离为＋1＝4， 最小距离为－1＝2， 所以的取值范围为. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知复数z1＝4＋mi(m∈R)，且z1·(1－2i)为纯虚数． (1)求复数z1；(6分) (2)若z2＝，求复数2及.(7分) 解：(1)由z1＝4＋mi(m∈R)， 所以(4＋mi)·(1－2i)＝4＋2m＋(m－8)i， 又z1·(1－2i)为纯虚数，所以 解得m＝－2，所以复数z1＝4－2i. (2)由(1)知1＝4＋2i，所以z2＝＝＝＝－1＋2i， 故2＝－1－2i，＝＝. 13．(本小题满分15分)已知复数z1＝5＋10i，复数z2在复平面内对应的点为Z(3，－4). (1)若复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根，m，n∈R，求m＋n的值；(7分) (2)若复数z满足＝＋，求复数z的共轭复数.(8分) 解：(1)由题意得z2＝3－4i， 因为复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根， 代入方程x2＋mx＋n－1＝0， 得(3－4i)2＋m(3－4i)＋n－1＝0， 即3m＋n－8－(4m＋24)i＝0， 所以解得 所以m＋n＝20. (2)z＝＝＝＝＝5－i， 所以＝5＋i. 14．(本小题满分15分)设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1，ω＝. (1)求的值以及z1的实部的取值范围；(4分) (2)求证：ω为纯虚数；(5分) (3)求z2－ω2的最小值．(6分) 解：(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)， 则z2＝z1＋＝(a＋bi)＋＝(a＋bi)＋＝(a＋bi)＋＝＋i. 因为z2是实数，所以b－＝0， 即b＝0， 因为b≠0，所以a2＋b2＝1，即＝1，且z2＝2a，由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1， 解得－≤a≤， 即z1的实部的取值范围为. (2)证明：因为a2＋b2＝1， ω＝＝＝＝， 因为－≤a≤，b≠0， 所以ω＝为纯虚数． (3)由(1)(2)可知z2－ω2＝2a＋＝2a＋＝＝＝1＋＝1＋＝1＋＝1＋2(a＋1)－4＋＝2(a＋1)＋－3， 由a＋1∈，故z2－ω2＝2(a＋1)＋－3≥2－3＝1， 当且仅当2(a＋1)＝，即a＝0时，z2－ω2取得最小值，最小值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $