课时分层检测(10)函数的周期性和对称性-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

f(x),所以f(x)为偶函数，故C不满足题意；对于D,因为f(一x)= 对于C,由上面分析知g(x)是周期为6的函数，即g(x十6)=g(x),C 2,f(一x)≠一fx),f-x)≠f(x),所以fx)既不是奇函数，也不 正确： 是偶函数.故选D.门 对于D,由f(一x)+f(x+3)=1得f(1)+f(2)=1,且f(0)十 2.C[:当x∈(0，十∞)时，f(x)=x-1单 y f(3)=1,则f(3)=-1, 调递增，又，f(x)为偶函数，故可以作出 又f(-1)十f(4)=1,所以f(4)=1-f(1), f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)> 又f(-2)+f(5)=1,所以f(5)=1-f(2), 0,则x<-1或x>1.] 0 所以f(5)+f(4)=1一f(2)+1-f(1)=2-1=1,又f(6)= 3.DL方法一：由f(x)是偶函数得f(一x)= - f(0)=2, f(x), 所以f1)+f(2)+f(3)+f4)+f5)+f(6)=1-1+1+2=3, Inle*-11-mz=Inlet-11+mz, 所以芝m)=337×3+f1)+f(2)+f(3)=1011,故D正确. lne-1|-Inle*-1|-2m.x=0,-x-2m.x=0,即-（2m+ 故选ACD.] 1)x=0,则m=-2· 1 f(x)+g(x)=ax2-x-2, 方法二：由函数f(x)=lnex一1十mx为偶函数，可得f(-1)=1 ∴.f(-x)十g(-x)=a.x2+x-2, f1),即lnle1-1-m=lne-1|+m,解得m=- 2,经检验， :f(x),g(x)分别是定义战为R的奇函数，偶函数， 符合题意.] ∴.-f(x)+g(x)=a.x2+x-2, 4.C[因为y=f(x)是奇函数，且在区间(0，十o)上单调递增，所 则g(x)=a.x2一2， 由题意可得g(x2)+2x2>g(x1)+21, 以不妨令f)=x对于Ay=fx)+2=x+2=(x+2） 令h(x)=g(x)+2x=ax2+2x-2, 则h(x)在(1,6)上单调递增」 子，所以y=)+2在(-0，）上单调递减，在(-号 若a>0,则()图象的对称轴为直线=一上<0，开口向上，符 a +∞上单调递增，故A错误；对于B,y=f(x)-x2=x一x2= 合题意； 若4<0，则(x图象的对称轴为直线L=一上>0，开口向下，需 (-)+所以y=x)-2在(-，)上单阀递 满足-日≥6，即-日<a<0: a 增，在（分，十）上单调递减，故B错误：对于C,y=2f(x)= 若a=0,则h(x)=2x一2在(1,6)上单调递增，符合题意。 x3,在R上单调递增，故C正确：对于D,y=f《=又=1 综上，a≥一 6.7 2 ,x≠ :10.(-∞，-2)U(2,+o∞)[由于f(x)是定义 0,由反比例函数的单调性可知y=f在（一0,0）和(0，十©) 域为R的奇函数，所以f(0)=0,又f(x)在 x (0,+∞)上单调递增，且f(2)=0,所以f(x)》 上单调递减，故D错误，故选C. 的大致图象如图所示，由f(一x)=一f(x)可 5.D[因为函数y=f(x)十e为偶函数 得，fx)-2f-2=fx)+2fx)=3f 则f(一x)十ex=f(x)十ex, 即f(x)-f(-x)=ex-e, ① >0,由于x在分母位置，所以x≠0，当x0时，只需f(x)<0,由图 又因为函数y=f(x)-3e为奇函数， 象可知x一2；当x0时，只需f(x)>0,由图象可知x>2;综 上，不等式的解集为（一∞，一2）U(2,十∞). 则f(一x)一3ex=一f(x)+3er, pf(z)+f(-z)=3e+3e*, @11.解D因为函数x)为R上的奇函数， 当x<0时，一x>0, 联立①②可得fz)=c+2e,所以fn3)=c3+2e3=号.] 则f(x)=-f(一x)=一[(-x)2一2(-x)]=-x2-2x, 又因为f(0)=0满足f(x)=x2-2x, 6.A[设g(x)=f(.x)-1=m(e-er)+nln(x+√x2+1),因！ 为x2十1>/x2=|x|,所以x+√x2十1>0恒成立，所以 故fx)={2-2x,z0, x2-2x,x≥0. g(x)的定义域城为R,关于原点对称，又g(一x)=m(ex一ex)十！ (2)当x≥0时，xf(x)=x(x2-2.x)≥0， 1 nln (-z+22+1)=-m (e'-e-*)nln 可得x2一2x≥0，解得x≤0或≥2， /x2+1+x 此时x=0或x≥2； -[m(c-ex)+nln(x+√2十1)]=-g(x),所以g(x)是奇 当x<0时，xf(x)=x(-x2-2x)=-x(x2+2x)≥0， 函数，因为f(x)在[1,3]上有最大值7，所以g(x)在[1,3]上有最1 可得x2十2.x≥0，解得x≤一2或x≥0， 大值6，所以g(x)在[一3，一1门上有最小值一6，所以f(x)在1 此时x一2， [一3，-1]上有最小值一5.] 综上所述，原不等式的解集为（一©∞，一2]U{0}U[2,十o). 7.BD[由奇画数的定义一)=一)验证，对于A项，-x)=12.解D由性质同f(x)+g)=e, f(x),为偶函数；对于B项，f(一（一x)=f(x)=一f(一x),为奇函 则f(一x)十g(一x)=ex, 数：对于C项，一xf(一x)=一x·L一f(x)」=xf(x),为偶函数：{ 由性质②知f(一x）=一f(x),g(一x)=g(x）, 对于D项，f(一x)十（一x)=一[f(x)十x],为奇函数.可知BD 故一f(x)十g(x)=er. 正确. 则fx)+g(x)=e, 8.ACD[由题意得f(一x)=f(x) {-f(x)+g(x)=er, 所以-f(-x)=f(x),即-g(-x)=g(x), 所以g(x)是奇函数，故g(0)=0, 2一，g(x)=e+ex 解得f(x)=e-eT 2. 由f3-)十f(x)=1得函数f()的图象关于点（号，）对 (2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)] 称，f(一x)+f(x+3)=1, 所以f(x)十f(x十3)=1， 故f(x+3)=f(3-x)=f(x-3), 2r+ea+2_2+e2x-2=1. 4 4 所以f(x+6)=f(x), 即函数f(x)是周期为6的函数， 故对任意实数x,[g(.x)门2-[f(x)]为定值，定值为1. 所以g(x)也是周期为6的函数， 课时分层检测（十） 对3)+()=1求导得-(3-)+f(x)=0,即g)=1.B[因为f)是定义在R上的寺通数，所以f(0)=0,又f(十 即g(x十6)=g(x), 2)=f(x),所以2是f(x)的一个周期，所以f(2026)=f(0) g(3-x), =0. 所以g(3)=g(0)=0. 对于A,g(2025)=g(6×337+3)=g(3)=0,故A正确： 2.C[令fx)=2,则-f-x)=-2,:y=fx)与y=-f(-x) 的图象关于原点对称，∴y=2与y=一2的图象关于原点对称.] 对于B,由函数f)的图象关于点(2,2）对称得(）=0,3.A[设g=211,周为函数=f2)与西数)g)的图 故B错误； 象关于直线x=2对称，所以f(4)=g(0)=2一1=1. 485 年A[因为：+号)为辆高数，所以f(-十)=+）所2B[由高数满是)-十3》，得通数的图象关于 以f(一x十2)=f(x一1)，因为f(2一x)+f(x)=0,所以f(x-1)+1 直线x=2对称，显然∫()=∫(2)()=∫（合）而2< fx)=0,即f(x)=-f(x一1)，所以f(x-1)=-f(x-2),故f(x)} =八x-2,故画数K)的一个月期为2，故f(得）=(-号+ 1<号，f(x)在(0,2)上单调递增，周此∫（2）<f1)< 6)=f-子）由f(x-1)+)=0,令x=3得，(-号）+ f(2)所以f()<)<f()] ·3.A[依题意Hx∈R,有f(x十6)=f(x)十f(3)成立，令x=一3， (3）=0,因为f(3)=-,所以(-号）=豆故 则f(3)=f(一3)+f(3)=2f(3),所以f(3)=0,故f(x+6)= f代x),所以f(x)是周期为6的周期函数，故f(2025)=f(6X337+3)= )=(-)=2 f3)=0.故选A.■ :4.D[由题意得函数y=f(x一2)十1是奇函数，则y=f(x)关于 5.BD[因为f(x十2)为偶函数，所以f(x十2)=f(一x十2)，函数f(x) ,点(-2，一1)对称，另知函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于y 关于直线x=2对称，因为f(一3x+1)为奇函数，所以f(一3x十1)= 轴对称，故y=g(x)的图象关于点(2，一1)对称.] f(3x十1)，函数f八x)关于点(1,0)对称，因为函数f(x)的定义5.A[对于A选项，当a<0时，因为函数y=x,y=2均在(0， 域为R,所以f(1)=0,B正确；又因为函数f(x)的图象关于直线x 十○)上单调递增，所以函数f(x)在(0，+○)上为增函数，此时 =2对称，所以f(3)=0,由f(一3x十1)=一f(3x+1),令x= 31 函数f(x)在(0，十∞)上无最小值，A错误：对于B选项，由已知 可得f(一1)=一f(3)=0,D正确：可构造函数f(x)= f(一x)=f(4+x)=f(x),又因为函数f(x)的定义域为R,所以 函数f(x)为偶函数，B正确；对于C选项，由已知f(0)=0, os[受(x-2)]满足题意，此时f2)=c0s0=1,0)=as(-)= f(一1)=f(1)且f(一1)=一f(1),故f(1)=0,所以f(1)+f(4) 一1，AC错误.故选BD.] 十f(7)=2f(1)十f(0)=0,C正确：对于D选项，因为函数f(x) 6.ABC[对于A,根据题意令x=y,则由f(2.x)+f(2y)=2f(x+ =x3为R上的增函数且为奇函数，a十b>0,即a>一b,所以 y)f(x-y),可得f(2x)十f(2x)=2f(2x)f(0),又f(x)不恒等 f()>f(一b)=一f(b),所以f(a)十f(b)>0,D正确.故选A.] 于0，则f(0)=1,即A正确；对于B,令y=一x,可得f(2x)十 16.A[f(x)=3x-3x|,定义域为R,又f(-x)=|3x一3x|= f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x),所以f(2x)=f(一2x),即对任 f(x),故y=f(x)为偶函数.又当x>0时，y=3,y=一3一x均为 意的x∈R满足f(x)=f(一x),即f(x)是偶函数，所以B正确；1 增函数，故g(x)=3x一3x在(0，十○)上单调递增.又g(0)=0, 对于C,令x+y=π，则由f(2.x)十f(2y)=2f(x+y)f(x一y),可 则当x>0时，g(x)>0,所以此时y=f(x)=g(x)在(0，十c)上 得f(2x一2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0,即f(x)满足f(2π一x) 单调递增.故当x<0时，y=f(x)单调递减.由f(2x一1)一f(x) 十f(x)=0,因此可得f(x)的图象关于点（π，0）中心对称，即C正 >0,得f(2x-1)>f(x),则|2x一1|>x|,即(2x-1)2>x2, 确：对于D,由于f(x)是偶函数，所以满足f(x一2π)十f(x)=0, 即f(.x)+f(.x+2π)=0，可得f(x-2x)=f(x+2x),即f(x)= 3z2-4x十1>0，也即(3x-1)(x-1)>0,解得x<号或x>1,所 f(x十4x),所以4π是(x)的一个周期，即D错误.] 7.2√反[因为函数y=x3-2为奇函数，所以曲线C的图象关于 以原不等式的解集为(-，子)U1,+∞).故选A.] 原，点对称，又两条直线11和2均过坐标原，点O,则P,Q关于原，点 :7.BC[因为f(2x-1)+1是R上的奇函数，所以f(-2x-1)+ 对称，M,N关于原，点对称，则四边形PVQM为平行四边形.又： 1=一[f(2x-1)+1],整理得，f(-2x-1)+f(2x-1)=一2.令 x=0,得2f(一1)=一2，解得f(一1)=一1，又f(x)为偶函数，所 S△OPM=2,则S△Q=2V2.] 以f(1)=f(一1)=一1，B正确；将2x替换为x十1，得f(一x 8.4[因为y=f(x一1)的图象关于x=1对称，所以y=f(x)的图 1-1)+f(x+1-1)=-2,即f(-x-2)+f(x)= 一2①，文因为 象关于x=0对称，即y=f(x)是偶函数.对于f(x+2)·f(x)= f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),将x替换为x十2，得f(一x一2) 2f(1),令x=一1，可得f(1)·f(一1)=2f(1),又f(x)>0,所以 =f(x+2)②，由①②得f(x+2)十f(x)=一2③，则f(x十4)+ f(一1)=2，则f(1)=f(一1)=2，所以函数f(x)对Hx∈R满足 f(x十2)=一2④，③一④得f(x十4)=f(x),故4是函数f(x)的 f(x+2)·f(x)=4,所以f(x+4)·f(x+2)=4,所以f(x+4) 一个周期，C正确：因为f(x+2)十f(x)=一2，所以f(x+2)十 =f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.对于f(x+2)·f(x)= f(一x)=一2，故f(x)关于点(1，一1)中心对称，又因为4是函数 2f(1),令x=0,可得f(2)·f(0)=2f1),则f(2)=4,故f(2026)= f(x)的一个周期，所以f(9)=f(2×4+1)=f(1)=一1，故f(x) f(506×4+2)=f(2)=4.] 关于，点(9，一1)中心对称，D错误：因为f(x)关于点(1，一1)中心 9.解(1)f(x)的图象关于直线x=2对称 对称，故点(0，f(0))与，点(2，f(2))关于点(1，一1)中心对称，无法 证明：由x一2>0，得x≠2， 得到f(0)= -1,A错误.故选BC. 所以f(x)的定义域为（一0,2）U(2,十o) 8.ACD[因为f(2x+2)为奇函数，则f(一2x十2)=一f(2x十2)， 因为f(2-x)=1og2|x+(2-x)2-4(2-x)=log2x+x2-4, 可得f(一x十2)=一f(x+十2)，所以f(x十2)为奇函数，故A正 f(2+x)=log2x|+(2+x)2-4(2+x)=log2|x|+x2-4, 所以f(2十x)=f(2-x), 确：又因为f(x+）=f(受-可得f(x+1)=f1-x 所以(x)的图象关于直线x=2对称 则f(x)=f(2一x)=一f(x+2),可得f(x)=一f(x十2)= (2)设y1=log2|x-2,y2=x2-4.x, 一[一f(x十4)]=f(x十4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数， 当x>2时，y=1og2x-2=10g2(x-2)单调递增，y2=x2-4z: 也单调递增， 可得∫（号）=f(-)但爱有足够条件推出f(） 故f(x)=log2|x一2十x2一4x在(2，十∞)上单调递增 ∫(-2)故B错误，因为(x+1)=f1-x),则∫(x+1)= 又f(x)的图象关于直线x=2对称， 故f(x)的单调递增区间为(2，十)，单调递减区间为（一o,2). 10.解(1)设函数f(x)=x3一3x2的图象的对称中心为点P(a, -f(1-),令x=-2,则∫(2）=-f(）故C正确：因 b),g(x)=f(x十a)一b, : 为f(-x+2)=-f(x+2),则∫(-x十2)=f(x十2)，可得 则g(x)为奇函数，故g(一x)=一g(x), f(-x)=f(x十4)，又因为f(x)=f(x+4),则f(一x)= f(-z+a)-b=-f(x+a)+b, (x),所以(x)为偶函数，故D正确.门 即f(一x+a)十f(x+a)=2b, 即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b. 49./(z)一之(x≠2)（答案不唯一）L由f(x)+f(2a-x)=2b 整理得(3a-3)x2十a3一3a2-b=0, 知“准奇函数”f(x)的图象关于，点(a,b)对称，若a=2,b=2,即 故3a-3=0, {a-3a2-6=0,解得a=1, f(x)图象关于点(2,2)对称，如y= 向右平移2个单位长度，向 1b=-2. 2 所以函数f(x)=x3一3x2的图象的对称中心为(1，一2) 上平移2个单位长度，得到f(x)=2十 -2x-3 (2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要！ 一222，故其图象就 条件是函数y=f(x十a)为偶函数. 关于点(2,2)对称. :10.一1012[因为f(1十3x)=f(1-3x),令t=3x,则f(1十t)= 课时分层检测（十一） f(1一t),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(2十x) 1.B[由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(一x)=一f(x),且· =f(一x),因为函数f(2x十4)的图象关于，点（一2,0）对称，设 f(0)=0.又由f(x)满足f(x)十f(2一x)=0,即f(2一x)=一f(x), g(x)=f(2x+4),则g(x)+g(一4-x)=0,即f(2x十4)+ 则有f(2一x)=f(一x),可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期 f[2(-x-4)+4]=0,即f(2.x+4)+f(-2x-4)=0,令s 为2的周期函数，故f(20)=f(0)=0.故选B.] 2x+4,则f(s)+f(一s)=0,故函数f(x)为奇函数，所以f(2+ 486课时分层检测（十） 函数的周期性和对称性 三、填空题 …0知识过关0 7.(2025·八省联考)已知曲线C:=2-品，两条 一、单项选择题 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= 直线l1,l2均过坐标原点O,l1和C交于M,N两 f(x),则f(2026)等于 点，l2和C交于P,Q两点.若△OPM的面积为 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 √2，则△MNQ的面积为 2.(2026·聊城检测)函数y=2x与y=-2的8.(2026·昆明珍断)已知函数f(x)对Vx∈R满 图象 ( ) 足f(x+2)·f(.x)=2f(1),且f(x)>0.若y= A.关于x轴对称 f(.x一1)的图象关于x=1对称，f(0)=1,则 B.关于y轴对称 f(2026) C.关于原点对称 四、解答题 D.关于直线y=x轴对称 :9.(2026·无锡检测)已知函数f(x)=log2x-2 3.若函数y=f(.x)与函数y=2x+1一1的图象关于 +x2-4x. 直线x=2对称，则f(4)的值为 ) (1)判断并证明函数f(x)的对称性； A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.(2026·海口调研)已知函数f(x)的定义域为R, f+)为偶函数，f(2-x)+f()=0,f() =-2则) A.2 C.0 二、多项选择题 5.(2025·齐鲁名校联盟联考)已知函数f(x)的定 义域为R,f(x+2)为偶函数，f(一3.x十1)为奇函 数，则下列式子一定成立的是 ( A.f(2)=0 B.f(1)=0 C.f(0)=0 D.f(-1)=0 6.(2026·漳州质检)已知定义在R上的函数f(x) 不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x,y∈R,有 f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y),则( A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点（π，0）中心对称 D.2π是f(x)的一个周期 255 (2)求f(x)的单调区间. (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的 图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y= f(x)为偶函数”的一个推广结论. 0素养提升0 10.函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称 的充要条件是函数y=f(x十a)一b为奇函数. (1)若f(x)=x3一3.x2,求此函数图象的对称 中心； 256