3.4 函数的对称性及应用·专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数对称性基础判断、性质结合及综合应用，构建从概念到多性质综合的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型1：函数对称性的判断及应用|4题（含多选）|以点对称、轴对称判断为主，直接应用对称性求参数|从对称性概念出发，建立对称关系的代数表达| |题型2：函数的单调性与对称性|3题|结合单调性比较大小、解不等式，体现性质融合|对称性为单调性应用提供转化桥梁，深化性质关联| |题型3：函数性质的综合|4题|综合对称性与奇偶性、周期性，解决抽象函数问题|多性质串联，形成从单一到综合的逻辑链条，培养推理能力|

§3.4 函数的对称性及应用·专项训练 目录 题型1：函数对称性的判断及应用 2 题型2：函数的单调性与对称性 2 题型3：函数性质的综合 3 题型1：函数对称性的判断及应用 【例1.1.】 已知函数的图象关于点对称，则______． 【例1.2.】 （多选）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【例1.3.】 （多选）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 （多选）已知函数的定义域为，若满足，且函数图象关于中心对称，则（   ） A． B． C． D． 题型2：函数的单调性与对称性 【例2.1.】 已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型3：函数性质的综合 【例3.1.】 已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A．1 B．0 C．1013 D．2026 【例3.3.】 已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【例3.4.】 已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.4 函数的对称性及应用·专项训练 目录 题型1：函数对称性的判断及应用 2 题型2：函数的单调性与对称性 5 题型3：函数性质的综合 7 题型1：函数对称性的判断及应用 【例1.1.】 已知函数的图象关于点对称，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、由对称性求函数的解析式 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 【例1.2.】 （多选）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.62 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据函数的对称性求解判断即可. 【详解】对于A，，满足，图像关于中心对称，故A满足； 对于B，是偶函数，关于轴对称，故B错误； 对于C，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为， ，所以函数图像的对称中心为，故C满足； 对于D，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为1， 所以函数图像的对称中心为，故D满足． 【例1.3.】 （多选）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】由对称性求函数的解析式 【分析】依次验证各选项中的函数是否满足即可. 【详解】若的图象的对称轴方程为，则； 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，，， 即不恒成立，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD. 【例1.4.】 （多选）已知函数的定义域为，若满足，且函数图象关于中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.35 【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据题意，得到和，结合选项，利用赋值法和累加法，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且函数图象关于中心对称， 所以， 又因为，所以， 取可得， 因为，所以，所以A正确； 对于B，由且，可得，， 累加之后，可得，所以B正确； 对于C，由和，可得周期不是2026，所以C错误； 对于D，由且， 因为函数图象关于中心对称，且， 由，可得， 所以，所以D正确． 题型2：函数的单调性与对称性 【例2.1.】 已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由对称性研究单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 【例2.2.】 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用 【详解】函数关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则，得. 【例2.3.】 已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、由对称性研究单调性、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】首先得到关于直线对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数的单调性得到，则比较出大小关系. 【详解】因为， 则， 则关于直线对称， 当时，， 根据复合函数单调性知在上单调递减， 且在上也单调递减， 则在上单调递减，再结合其对称性知在上单调递增. 令，则，， 所以在上单调递增，且，所以即. 令，则， 设，， 所以单调递减且，因此， 所以单调递减且，所以，即. 由得，所以. 又因为，且， 所以. 设，，则， 则在上单调递增，则， 即，即在上恒成立， 即，所以. 所以，则， 故，而， 即. 故选：D. 题型3：函数性质的综合 【例3.1.】 已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断或证明函数的对称性、根据函数的单调性解不等式、由对称性研究单调性、奇偶函数对称性的应用 【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称． 因为在上单调递增，所以在上单调递减． 因为，所以，解得． 故选：A. 【例3.2.】 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A．1 B．0 C．1013 D．2026 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数周期性的应用 【分析】由函数轴对称性质与奇函数性质推得周期为4,求出一个周期内四项函数值之和为0,再用整除余数确定2026项余下对应,相加得出最终结果. 【详解】由已知，且是定义域为的奇函数， 可得， 即，所以， 即函数的最小正周期为4，即，， 又，， 所以，，， 所以， 所以． 【例3.3.】 已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、由函数对称性求函数值或参数、函数奇偶性的应用、指数幂的运算 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性求解即可. 【详解】由题可得，所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称. 当时，，则. 【例3.4.】 已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、由对称性研究单调性 【分析】由求出对称轴，再结合奇偶性求出的周期；求出，的范围以及的值，得出的关系式，再利用在上的单调性，即可得出答案. 【详解】因为， 所以关于对称， 又因为为偶函数， 所以， 所以为周期函数，， 因为，且， 所以，， 因为， 所以 又因为， 所以， 因为在上单调递减，为偶函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 故选：D. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $