课时分层检测(9)函数的奇偶性-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

课时分层检测（九 …0知识过关0 一、单项选择题 1.(2026·济南调研)下列函数中，既不是奇函数， 也不是偶函数的为 ( A.f(x)=0 B.f(.x)=1 C.f(x)=x2 D.f(x)=22 2.(2026·东北三省三校模拟)设f(x)为偶函数， 当x∈(0，十∞)时，f(x)=x-1,则使f(x)>0 的x的取值范围是 () A.{x|x>1} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|1<x<0或x>1} 3.(2026·湖南长沙长郡中学月考八)若函数f(x) =lnex-1|十x为偶函数，则实数m=( ) A.1 B司 C.-1 D.- 4.(2026·常德模拟)已知奇函数y=f(x)是定义 域为R的连续函数，且在区间(0，十∞)上单调递 增，则下列说法正确的是 A.函数y=f(x)十x2在R上单调递增 B.函数y=f(x)一x2在(0，十∞)上单调递增 C.函数y=x2f(.x)在R上单调递增 D函数y一号在0，十)上单调道增 5.(2026·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定 义域为R,y=f(x)+e是偶函数，y=f(x) 3ex是奇函数，则f(ln3)的值为 7 A.3 B.3 n号 一25 函数的奇偶性 6.(2026·阜阳模拟)若函数f(x)=m(ex-e-x)十 nln(x十√x2十1)十1(m,n为常数)在[1,3]上有 最大值7，则函数f(x)在[一3，-1]上() A.有最小值-5 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值一7 二、多项选择题 7.(2025·衡阳联考)已知y=f(x)是定义在R上 的奇函数，则下列函数中为奇函数的是() A.y=f(|x|) B.y=f(-x) C.y=xf(x) D.y=f(x)+x 8.(多选)(2025·安徽江南十校联考)已知定义在 R上的偶函数f(x)满足f(0)=2,f(3-x)十 f(x)=1,设f(x)在R上的导函数为g(x),则 A.g(2025)=0 R(2)-号 C.g(x+6)=g(x) D.罗fm)=101l 三、填空题 9.(2025·山东齐鲁名校联考)已知函数f(x), g(x)的定义域均为R,期中f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数，且f(x)十g(x)=a.x2一x一2，若对任 意1<c1<2<6,都有5）-g22>-2,则 x1-x2 实数a的取值范围是 10.(2025·皖南八校联考)函数f(x)是定义域为R 的奇函数，f(x)在(0，十∞)上单调递增，且 f(2)=0.则不等式fx)-2f-）>0的解集 为 四、解答题 …0素养提升0 11.已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x2-2.x 12.函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为 (1)求f(x)的解析式； R;②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)十 (2)求不等式xf(x)≥0的解集， g(x)=er(常数e是自然对数的底数). (1)求函数f(x)和g(x)的解析式： (2)对任意实数x,[g(x)]2一[f(x)]2是否为定 值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 254中的z满足{33·解得-1长<1，故画数的定义 f(x)在其定义域R上为增函数，所以x1,x2∈R且x1≠x2,有 x一1≠0， 域为[一1,1)，故B正确；函数f(x一2)和f(2x)的值域都为！ f)-fx>0,故C正确；充分性：当a>1时，因为-1≤ 72-T1 [-3,3],故C正确，D错误.] sinx≤1，由f(x)为增函数，所以f(a2)≥f(sinx),故充分性成 10.AD[依题意，f(2.x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)+1,因此f(x) 立；必要性：由f(x)为增函数，当f(a)≥f(sinx)恒成立时，因 =z2-2x十1，故B,C错误，D正确； 为一1≤sinx≤1，所以a≥1，解得a≥1或a≤一1，故必要性不 显然f(一3)=(-3)2一2×(-3)+1=16，故A正确.] 成立，综上可知“a≥1”是“f(2)≥f(sinx)”的充分不必要条件， 1.BC[R()=R(）-十A错误：因为，9∈N,专是既 故D正确.] 8。ACD对于A,令)=sinh2=92二，则了(z)=十e>0 约真分数一号01或0,1)上的无理数，所以黎受函数的定 2 恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B,令g(x)= 义城为[01]，B正确：又9∈N,号为既约真分数，所以。的 cahx=,则g)=,由A知，g)为培函教， 2 最大值为号，C正确；因为f(x)是奇函数，并且是以2为周期的 又g(0)=心，e=0,故当x∈(-0,0)时，g()<0,当x∈0. 周期函数f(g)=f(18-)=f(-)=-f() 十∞)时，g'(x)>0,故g(x)在（一c∞，0）上单调递减，在(0，十○) er-e -号，（√32+6）=f42)=f4反-6)=-f(6-42)=0, 上单调递增，故B错误：对于C,tanh=sinh工 2 cosh z er+e 所以f(曾）+(V32+6)=-号D错误.] 2 2 12.[-22,2][由4-x2≥0，得-2≤x≤2，所以设x=2cos60∈0， C二ec-21由y=e2十1在R上单调递增 e+e e2.x+1 R],期，=2msg-4-4s0-2os0-2n0=2Ecms(g叶） 且y=e2:+1>1,故tanh a=1-e2r+ ,2一是增函数，故C正确： 因为9+音∈[至，]，所以(9+)∈[-1，号]所以 对于D,南C知ahr=会到miz十》= e2.x+2y+1 y∈[-2√2,2].] e2r-1e2-1 13.1[令√x-1=t,t≥0，则x=t2+1(t≥0)，f(t)=2+3,故 amh十tanby=2+12+1 (2-1D(3+1)+(3-1D(2r+1) f(a)=a2+3=4(a≥0)，解得a=1.] 1+tanh xtanh y 1+,径+1D®+1D+2-D2-D 14.f(x)=x2-x+1[令x一y=一1，则y=x+1,所以由f(x 2+1e3+1 y)=f(x)+y(y-2.x+1),可得f(-1)=f(x)+(x+1)(x+ e2x+2y +e2r-e2y-I+e2x+2y-eer +e2y-1 1-2x十1).因为f(一1)=3，所以f(x)=一(x十1)(2-x)十 e2r+2y FeerFey +I+extzy-er-e2y+1 3=x2x十1. 2e2+”-2=升”-，故ah(x十》=anhx十amh,故 课时分层检测（八） 2e2x+2y+2 e2x+2y+1 1+tanh ctanh y D正确.] 1.C[)=-（-号)+1+军由题意得2<号<6解得4<9抽方为U0超其时，当周泉的对称 轴方程为x=a,要想f(x)存在最小值，当x<a时，f(x)=ax一1 a<12.故选C.] 单调递减，且在x=a处，y=a.x一1的函数值要大于等于y=x2 2.C[因为函数y=2,y=x在R上为增函数，则函数f(x)=2 2a.x十1的函数值，当a<0时，需满足a21≥a2一2a2十1，解得a 十x在R上为增函数，则“f()=f)”可以推出“=西”，“= ≤-1.当a=0时，f(x)={21,20 -1,x<0, 西”也可推出“f()=f(2)”,故“f()=f(2)”是“1=x2”的充 此时f(x)min=-1,符 要条件.门 合题意.当a0时，f(x)不存在最小值.综上，a≤一1或a=0.] 3C[因为2+a+2=(+）广+子≥子画数在区0， 10.f(x)=一x(答案不唯一)[设f(x)=一x,在R上单调递减. f(x+y)=-x-y,f(x)=-x,f(y)=-y,满足f(x+y)= f(x)十f(y).所以函数f(x)=一x是在R上单调递减的加性 十80)上单润递增，所以a2+a+2)≥f(）故选C.] 函数. 4.A[因为函数y=一x和y= 在[-2，-】 上均单调递减， :1山.(1)证明由f(x)=x+ 所以f)=-x+在[-2，一]上单调递减，所以fx 得f(x)=1-=2-1 2x2 x x>1,∴.f(x)>0. -2)=2-7-是] ∴.f(x)在(1，十o)上单调递增. (2)解由(1)知函数f(x)在[3,6]上单调递增， 5.D[令y=f(x)=x2-2x十3=(x-1)2+2.易知当x=1时， f(z)取得最小值f(1)=2.因为f(0)=3,且函数f(x)在[0，m]: 所以xn=f6)-g,fn=3)-9, 上有最大值3，最小值2，由二次函数图象的对称性，知f(2)= f(0)=3,所以1≤m2,即实数m的取值范围是[1,2].] 所以画教f代)在区同[3,6]上的最大值为智，最小值为 6.A[不坊令4<2西-<0，/-f2)-1台12.解n1)令x=y=0,得f0)=-1. IZ2 在R上任取x1>x2,则x1一x2>0, f)-f2)<-(1一x2)台f()+x1<f(2）+x2,令g(x)= 所以f(x1-2)>一1. f(x)十x,∴.g(x1)<g(2),文x1<x2,.g(x)=f(x)+x是增 又f(1)=f(1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1> 函数.] f(x2),所以函数f(x)在R上是增函数 7.CD[f(-)=?-1-1-2g =一f(x),故A错误；由f(x)= (2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. 2x+12w+1 由f(x2+2.x)+f(1一x)>4得f(x2+x+1)>f(3), 2}-1-2 2x+1 ,2+7因为 2≠0，所以f(x)≠1，故B错误：由 因为函数f(x)在R上是增函数， 2x+1 所以x2+x+1>3,解得x<一2或x>1, =多号=1一异时于∈R里，则 故原不等式的解集为{xx<一2或x>1}. 课时分层检测（九） 2 2 2 2 f)-fx1)=124+1+2+2+24+有 =1.D[对于A,定义城为R,且f(一x)=0=f(x)=一f(x),则 f(x)既是奇函数也是偶函数，故A不满足题意；对于B,因为定义 (24+1D(24十D周为西1<2，所以24>25，即25-25，>0. 2(2-2x) 域为{xx≠0}，f(一x)= =一(x),所以f()为奇函数，故 又因为(2十1)(2十1)>0，所以f(x2)-f(x1)>0,所以函数： B不满足题意；对于C,因为定义域为R,且f(-x)=(-x)2=x2= 484 f(x),所以f(x)为偶函数，故C不满足题意；对于D,因为f(一x)= 对于C,由上面分析知g(x)是周期为6的函数，即g(x十6)=g(x),C 2,f(一x)≠一fx),f-x)≠f(x),所以fx)既不是奇函数，也不 正确： 是偶函数.故选D.门 对于D,由f(一x)+f(x+3)=1得f(1)+f(2)=1,且f(0)十 2.C[:当x∈(0，十∞)时，f(x)=x-1单 y f(3)=1,则f(3)=-1, 调递增，又，f(x)为偶函数，故可以作出 又f(-1)十f(4)=1,所以f(4)=1-f(1), f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)> 又f(-2)+f(5)=1,所以f(5)=1-f(2), 0,则x<-1或x>1.] 0 所以f(5)+f(4)=1一f(2)+1-f(1)=2-1=1,又f(6)= 3.DL方法一：由f(x)是偶函数得f(一x)= - f(0)=2, f(x), 所以f1)+f(2)+f(3)+f4)+f5)+f(6)=1-1+1+2=3, Inle*-11-mz=Inlet-11+mz, 所以芝m)=337×3+f1)+f(2)+f(3)=1011,故D正确. lne-1|-Inle*-1|-2m.x=0,-x-2m.x=0,即-（2m+ 故选ACD.] 1)x=0,则m=-2· 1 f(x)+g(x)=ax2-x-2, 方法二：由函数f(x)=lnex一1十mx为偶函数，可得f(-1)=1 ∴.f(-x)十g(-x)=a.x2+x-2, f1),即lnle1-1-m=lne-1|+m,解得m=- 2,经检验， :f(x),g(x)分别是定义战为R的奇函数，偶函数， 符合题意.] ∴.-f(x)+g(x)=a.x2+x-2, 4.C[因为y=f(x)是奇函数，且在区间(0，十o)上单调递增，所 则g(x)=a.x2一2， 由题意可得g(x2)+2x2>g(x1)+21, 以不妨令f)=x对于Ay=fx)+2=x+2=(x+2） 令h(x)=g(x)+2x=ax2+2x-2, 则h(x)在(1,6)上单调递增」 子，所以y=)+2在(-0，）上单调递减，在(-号 若a>0,则()图象的对称轴为直线=一上<0，开口向上，符 a +∞上单调递增，故A错误；对于B,y=f(x)-x2=x一x2= 合题意； 若4<0，则(x图象的对称轴为直线L=一上>0，开口向下，需 (-)+所以y=x)-2在(-，)上单阀递 满足-日≥6，即-日<a<0: a 增，在（分，十）上单调递减，故B错误：对于C,y=2f(x)= 若a=0,则h(x)=2x一2在(1,6)上单调递增，符合题意。 x3,在R上单调递增，故C正确：对于D,y=f《=又=1 综上，a≥一 6.7 2 ,x≠ :10.(-∞，-2)U(2,+o∞)[由于f(x)是定义 0,由反比例函数的单调性可知y=f在（一0,0）和(0，十©) 域为R的奇函数，所以f(0)=0,又f(x)在 x (0,+∞)上单调递增，且f(2)=0,所以f(x)》 上单调递减，故D错误，故选C. 的大致图象如图所示，由f(一x)=一f(x)可 5.D[因为函数y=f(x)十e为偶函数 得，fx)-2f-2=fx)+2fx)=3f 则f(一x)十ex=f(x)十ex, 即f(x)-f(-x)=ex-e, ① >0,由于x在分母位置，所以x≠0，当x0时，只需f(x)<0,由图 又因为函数y=f(x)-3e为奇函数， 象可知x一2；当x0时，只需f(x)>0,由图象可知x>2;综 上，不等式的解集为（一∞，一2）U(2,十∞). 则f(一x)一3ex=一f(x)+3er, pf(z)+f(-z)=3e+3e*, @11.解D因为函数x)为R上的奇函数， 当x<0时，一x>0, 联立①②可得fz)=c+2e,所以fn3)=c3+2e3=号.] 则f(x)=-f(一x)=一[(-x)2一2(-x)]=-x2-2x, 又因为f(0)=0满足f(x)=x2-2x, 6.A[设g(x)=f(.x)-1=m(e-er)+nln(x+√x2+1),因！ 为x2十1>/x2=|x|,所以x+√x2十1>0恒成立，所以 故fx)={2-2x,z0, x2-2x,x≥0. g(x)的定义域城为R,关于原点对称，又g(一x)=m(ex一ex)十！ (2)当x≥0时，xf(x)=x(x2-2.x)≥0， 1 nln (-z+22+1)=-m (e'-e-*)nln 可得x2一2x≥0，解得x≤0或≥2， /x2+1+x 此时x=0或x≥2； -[m(c-ex)+nln(x+√2十1)]=-g(x),所以g(x)是奇 当x<0时，xf(x)=x(-x2-2x)=-x(x2+2x)≥0， 函数，因为f(x)在[1,3]上有最大值7，所以g(x)在[1,3]上有最1 可得x2十2.x≥0，解得x≤一2或x≥0， 大值6，所以g(x)在[一3，一1门上有最小值一6，所以f(x)在1 此时x一2， [一3，-1]上有最小值一5.] 综上所述，原不等式的解集为（一©∞，一2]U{0}U[2,十o). 7.BD[由奇画数的定义一)=一)验证，对于A项，-x)=12.解D由性质同f(x)+g)=e, f(x),为偶函数；对于B项，f(一（一x)=f(x)=一f(一x),为奇函 则f(一x)十g(一x)=ex, 数：对于C项，一xf(一x)=一x·L一f(x)」=xf(x),为偶函数：{ 由性质②知f(一x）=一f(x),g(一x)=g(x）, 对于D项，f(一x)十（一x)=一[f(x)十x],为奇函数.可知BD 故一f(x)十g(x)=er. 正确. 则fx)+g(x)=e, 8.ACD[由题意得f(一x)=f(x) {-f(x)+g(x)=er, 所以-f(-x)=f(x),即-g(-x)=g(x), 所以g(x)是奇函数，故g(0)=0, 2一，g(x)=e+ex 解得f(x)=e-eT 2. 由f3-)十f(x)=1得函数f()的图象关于点（号，）对 (2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)] 称，f(一x)+f(x+3)=1, 所以f(x)十f(x十3)=1， 故f(x+3)=f(3-x)=f(x-3), 2r+ea+2_2+e2x-2=1. 4 4 所以f(x+6)=f(x), 即函数f(x)是周期为6的函数， 故对任意实数x,[g(.x)门2-[f(x)]为定值，定值为1. 所以g(x)也是周期为6的函数， 课时分层检测（十） 对3)+()=1求导得-(3-)+f(x)=0,即g)=1.B[因为f)是定义在R上的寺通数，所以f(0)=0,又f(十 即g(x十6)=g(x), 2)=f(x),所以2是f(x)的一个周期，所以f(2026)=f(0) g(3-x), =0. 所以g(3)=g(0)=0. 对于A,g(2025)=g(6×337+3)=g(3)=0,故A正确： 2.C[令fx)=2,则-f-x)=-2,:y=fx)与y=-f(-x) 的图象关于原点对称，∴y=2与y=一2的图象关于原点对称.] 对于B,由函数f)的图象关于点(2,2）对称得(）=0,3.A[设g=211,周为函数=f2)与西数)g)的图 故B错误； 象关于直线x=2对称，所以f(4)=g(0)=2一1=1. 485