课时分层检测(4)基本不等式-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

课时分层检测（四） 基本不等式 :5.(2026·漯河模拟)设正实数x,y,之满足x2-xy 0知识过关。… 十y2一之=0，则义的最大值为 ( 一、单项选择题 A.4 B.2 C.3 D.1 1.(2026·攀枝花调研)已知4a2+b2=6,则ab的 6.(2025·四川名校大联考)已知实数x,y满足5x 最大值为 ( ( A B. c D.3 >>0,则’十号的最小值为 2.(2026·太原质检)下列几个不等式中，不能取到： A.5+1 B.5+2 5 等号的是 ) C.25+1 D.25+2 A.+1≥2(x>0) 5 5 x 二、多项选择题 B十员≥2Ex≠0) 7.(2026·长沙模拟)设正实数a,b满足a十b=1, 、 则 () A.ab 4 B.a+b≤2 D.√x2+3+ ≥2(x∈R) Ca2+≥号 1 1、4 √x2+3 D.a++b+产3 3.(2026·毫州模拟)已知x>0,y>0,2x十y=xy,8.下列说法正确的是 ( ) 则2x十y的最小值为 ) A.函数y=2x十 2(x<0)的最大值是-4 A.8 B.4 C.8√2 D.4√2 4.(2026·菏泽模拟)《几何原 B.函数y=2+10的最小值是2 √x2+9 本》中的几何代数法是以几 C.函数y=x十 何方法研究代数问题，这种 2x>-2)的最小值是6 16 方法是数学家处理问题的重 D.若x十y=4,则x2+y2的最小值是8 要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理： 三、填空题 都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明. :9.(2026·银川调研)已知a>1,b>2,a+b=5,则 现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC 。十6的最小值为 =a,BC=b,O为AB的中点，以AB为直径作半 :10.(2026·芜湖检测)在实数集R中定义一种运算 圆，过点O作AB的垂线交半圆于点D,连接 ⊙，满足下列性质： CD,则该图形可以完成的无字证明为( ①对任意的m∈R,m⊙0=m; A.≥函a>0,b>0) ②对任意的m,n∈R,m⊙n=n⊙m; B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) ③对任意的m,n,l∈R,(m⊙n)⊙t=[t⊙(m·n)] C.√ab>2ab +(n⊙t)+(m⊙t)-2. a千6a>0,b>0) 则3⊙4= ;函数f(x)=e⊙4的最小 a2+b2≥a+b(a>0,b>0) D.2 2 值为 243 四、解答题 0素养提升0… 11.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求： (1)xy的最大值； 12.已知下列求最小值的方法： (2)2x十y的最小值. 求x3-3x,x∈[0，十∞)的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数a,b,c, 有a十b+c≥3abc(当且仅当a=b=c时等号 成立)，得到x3+1十1≥3.x,于是x3-3x=x3十 1+1-3x-2≥3x-3.x-2=-2,当且仅当x= 1时等号成立，即当且仅当x=1时，x3一3x取 到最小值一2. (1)请模仿上述例题，求x4一4x,x∈[0，十∞) 的最小值；（提示：对任意非负实数a,b,c,d,有 a+b+c十d≥4√abcd,当且仅当a=b=c=d时 等号成立) (2)求号3-x,x[0,+)的最小值： (3)求出当a>0时，x3-ax,x∈[0，十o∞)的最 小值. 24410,ΛC[由题登知m-1=1,可得m=号，故)=丘，所以要：1当且仅当a6=怎即a=16=2时取等号，则合-a的最大位 俊a>代6，则后6.甲a>6≥0.0<亡<古=a>6>0,7丸费于远项A.周为≥b>a,所以c+b>2a,故递项A正确；对于 为1.故选C.] A符合题意：lna>lnb台a>b>0,C符合题意：B,D选项中a,bi 均有可能为负数，B,D不符合题意.门 选项B.因为≥>a所以(a>(-b>0.所以方。>0，故选 1山，BD[对于A,异面直线所成的角的范国是(0，受]A错误：对 项B正确：对于选项C,取a=一3，b=-2,c=-1,满足c>b>a,此 于B,由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A真包含 时62-2。==-<。故选 -2 -3 于集合B,所以号>2，即a>4,B正确；对于C,若命题是假命 项C错误：对于选项D,当c=1,b=-1a=-2时，分=2，名 题，则“x∈R,m.x2十m.x十1≥0”是真命题，故m=0或1 m0, 2=一合此时号>。，故选项D错误] {A=m2-4m≤0，解得0≤m≤4，C错误；对于D,由p是g的充 8.AC[1≤ab4,4≤号≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2<al 分条件，则b→q,即对于0<x≤1,4+2-m≤0恒成立，令t= 2x,t长(1,2]，则m≥2+t对于t∈(1,2]恒成立，又y=t+t=: ≤6，A正确：由题得号<名<，又因为1<b≤4，两式相乘得 a (+2）-∈e,61Mm≥6，D三] 日≤B≤1，所以号<61<1，B错误，因为1≤d<16,4≤分 12子+）[当x∈[0,3]时，xon=f0)=0:省x∈1.2 9,所以两式相乘得4≤a3b≤144，C正确；因为1≤a2b2≤16， 时，g(x)mn=g(2)= 一m.由题意可得f(z)mn≥g(x)min,: 1 号<台<，所以两式相乘得号<a6<4,D错误.故选AC] 即0≥-m,所以m≥子] 9.(-3,-1)[因为a>b>c,2a+b+c=0,故a>0c<0,所以日 13.[0,2][由y=x十a,一1<x2,则a一1<y≤a十2，所以P= 0,正>2+t=0.所以=2，所以有1D a a {yla-1<y≤a+2},由ln(2-x)<0,即ln(2-x)<ln1,解得 1<x2,所以Q={x1<x<2},因为x∈P是x∈Q的必要不 充分条件，则Q=P,所以{a二S)解得0≤a≤2.所以实教a 一2后>台，解不等式得-3<台<-1，故后的取值范图是 a a (-3,-1).] 1u+2≥2， 的取值范围为[0,2].] 110.90[设改造前的窗户面积为x,窗户增加的面积为y,x>0,y 14.必要不充分条件[充分性：地月连线和日地连线正好成直角！ >0 时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立；必要性： 若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成 题意高≤：即180x+2y≤180r+180y,2)< 立.故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不 180y,x90, 充分条件.」 所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为90.] i11.证明(1）.a>b>c>d,.a>b,-d>-c, 课时分层检测（三） a-D6->0,则26 1.B[P-N2=(a+b)-(a+b+2/ab)=-2√ab<0, (2)'a>b>0,c<d<0,e<0, .M<N.] ∴.-c>-d>0, 2D[无分性：若0Ca<1,则当a<0时，0>b>是所以6K 不 .a-c>b-d>0,b-a<0,c-d0 则。兰。-6 e(b-d)-e(a-c) e(b-d-a+c) 成立；必要性：若b<】,则当a<0时，ab>1,所以0<ab<1不成 (a-c)(b-d) (a-c)(b-d) 立.故选D.] e(b-a+c-d) 3.C[当a=-2,b=1时，(-2)2026>12026，A错误：当a=0时， (a-c)(b-d)>0. 2025没意义B错误：由a202s<br226,知2025>0，所以a<! ∴a>o b,C正确；当x=0时，ax2026<bx2026不成立，D错误.] 12.解(1)a=2[(a+b)+(a-b)], 4.D[用A,B,C,D表示A,B,C,D四名同学的年龄，则A>0,B> 由-3≤a十b≤2，-1a-b4 0,C>0,D>0. 得-4≤(a十b)+(a-b)≤6， 则A+C=B+D, ① C+D>A+B. ② .-2≤2[(a+b)+(u-0)]≤3，即-2≤a≤3， B>A+D. ③ 故实数a的取值范围为[一2,3]. ①+②得C>B,①+③得C>2D,②+③得C>2A,由于A>0, (2)设3a-2b=m(a十b)+(a-b)=(m+n)a+(m-n)b, D>0,故由③得B>A,B>D, 由①得C一B=D一A, 'C>B,.C-B>0,.D-A>0,.D>A, 型{32.年 综上，C>B>D>A.] 5 n=2' 5B[由正实线满足十y专0，可件上十寸=名 1 y ∴3a-26=号(a+b+号a-b. 故x+y=2+0(日+)=2(2+号+￥)≥2(2+ .-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4. 3停·马)=8，当且仪当=y=4时等号成主 ÷-是<2a+61<1,-号<号a-0≤10， ∴.-43a-2b11, 因为不等式x十y-a>0恒成立， 即3a一2b的取值范围为[一4,11]. 所以a<(x十y)min=8.故选B.] 课时分层检测（四）》 6.C[:y=ax-1为增函数，y=-1-e为减函数，且f(x)= (aD(ee)≤0对任意eR恒成立d函数y=ar-1与y1.B[由题意得6=4a2+=(2a)2+≥2·2a·b,即ab≤号， =有相同的零点，…1=b-1(b>1),即6- -=1, a 当且仅当2a=6:即a=96=5或a=一号6=-5时等号成 “者-a=(告6-)=5(w+盖)≤5-2品= 立，所以ab的最大值为号.故选B.] 480 2D[对于A当且仅当一方即=1时等号成立对于B当且这N0D[A选项，时子函货)2+子<0.2x十兰[-2计 仅当=，即x=士巨时等号成立，对于C,当且仅当-车= 2 号到]<-3√-20·三=-4，当1仅当-2x=名即=-1时 后即x=一8时等号成立：对于D,当且仅当√十3= 等号成立，所以A选项正确：B选项，y=十10=√2十9十 1,即2=-2，无解，等号不成立.] √π2+9 √x2+3 1≥22+9.=2，当+9=- 1一时 3.A[方法-由x>0,y>0,2x+y=xy, √2+9 A W/2+9 z2+9 可得=2马>0，则>1， 无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误；C选项，对于函数 y=x+16(x>-2),x+2>0,x+16 2x2x2 x+2 2=x+2+2 2 则2x十y=2.x+x-气x- _2(x-1)2+4(x-1)+2 2+2)·-2=6,备且仅当x+2=2即x=2时等号 x-1 =21++4 成立，所以C选项正确：D选项，由基本不等式得十上≥ 2 ≥22-10·+4=8. (告)，所以2+≥2·（告）=2×22=8，当且仅当2 =y=2时等号成立，所以D选项正确.] 2 当且仅当2(x-1)=气，即=2时，等号成立， 9.2 [因为a>1,b>2,所以a-1>0,b-2>0,又a十b=5,所以 所以2x十y的最小值为8. 方法二 由x>0>0,2+y=xy,得2+1=1. a-1D+6-2)=2,即2a-1)+(6-2]=1,所以。 y T 所以2x+y=2+(+）-号+兰+位√ 4z.义+4 62=a-1)+(6-2】·(+6) =8, +++号·+·哥] 当且收当号=空2x十y=y ×6+40=号当仅当号-即a=号6号助 a-1b-2 即x=2,y=4时，等号成立， 所以2x十y的最小值为8.] 取等，所以占十62的最小值为号.] 4D[由题意及题图得OD=生，0C=6,4,CD= 110.176[根据定义可得3⊙4=(3⊙4)⊙0=0⊙12+3⊙0+4⊙0- 2 √（告）+()产.而cD≥00参时取等 2=12+3+4-2=17:f)=e⊙号-(eo)o0=0o4+ 号所以客a>06>0.连D] 。00+o0-2=4+e+2=e+4+2≥2,2·+ 2 2=4十2=6，当且仅当x=ln2时，等号成立，即所求的最小值 5.D[因为正实数x,y,z满足x2-xy十y2一x=0,则之=x2+ 为6.] -所以四+2·-1 1 1 11.解(1)因为x>0,y>0, 根据基本不等式，30=x十2y十xy≥2√2xy+xy(当且仅当x= y 2y=6时取等号)， 1,当且仅当工=义(x>0,y>0),即x=y时，等号成立，故Y的！ 令√y=t(t>0),则t+2√2t-30≤0， 解得一5√2≤t≤3√2，又t>0, 最大值为1.] .1 所以0<t3√2，即0<√xy3√2， 6.C[因为5z>y>0,所以> 所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. （2)由十2y+y=30可知-0>0.0<<30.2x+) 1 5 32 2x+30-工=2(x+2)+2+1 -5≥2√2(x+2)·,32 2+x 5=11, 5 (5-) ,即-1+5时 当且仅当26x十2)=架即=2时取等号， 所以2x+y的最小值为11. 年号减立，所以产十号的晨小值为2士1载选心] 12.解(1)因为x∈0，+co), 5. 利用a+b+c+d≥4√/abcd D[为a6为正实，所以对于A≤（）=子，当 2 当且仅当a=b=c=d时等号成立， 得到x4+1+1十1≥4x, 且仅当a=6=号时取得等号，故A错误：对于B,(后+万)2= 所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4-4x-3=-3, 当且仅当x=1时等号成立， a十b+2√ab≤2(a+6)=2,故a+6≤瓦，当且仅当a=6=2时 即x4一4x的最小值为一3. 取得等号B正确时子C,士护≥（生）-，所以+ (2)因为x∈[0，+oo),利用a+b+c≥3abc, 当且仅当a=b=c时等号成立， ≥号，当且仅当a=b=子时取得等号，故C正确：对于D, 得到+号+≥ 所以-=++甘-号-≥ 2 2 +点=a+v+6+(片+)=(+ 当且仅当x=1时等号成立， 出+)≥合，当且仅当a=6=之时取得等号故D正确门 即子-x的最小值为-是 481 (3)因为x∈[0，十o),且a>0, 利用a十b+c≥3abc, In a.Insnatinb)2 2 =1,当且仅当a=b=e时，等号成立， 当且仅当a=b=c时等号成立， 成ntle=na+之na+22-he叶品。 2 得到r++>a, In a 3√33√3 1,设1=lna∈(0,2》，所以9()=1+2-1在(02)上单调递 所以x3-az=x+a6+aE_2a -ax≥az-2aa 一ax= 333√533 3√3 减，在[2,2)上单调递增，所以9(t)=1+?-1∈[2反-1， 2a 3a +co),故C错误；设入=ahb,所以ln入=In a=lnb·lna≤l, 9 所以A≤e,故D正确.] 当且仅当=巨=时等号成立， :9.4[由两直线平行可得ab=2,因为a,b均为正数，所以利用基本 √33 不等式可得a+2b>≥2√26=4，当且仅当a=2,b=1时，等号成 立.故a+2b的最小值为4.门 即x2-ax的最小值为-2a√3@ :10.22[函数f(x)=az2+2x+b的值域为[0，+o∞)，令ar2+2x+ 课时分层检测（五） b0,则有公二仁ab-0·即ab三1，且a>0,所以长= a-b 1.C[因为a>0,b>0,a+2b=1≥2V2ab,当且仅当a=26时，等 a=b2+2ab-a-b0+2 a-b 2十a-b又a>b,所以a-b>0,则(a-b+ 号成立，所以≤日0<b≤日故选C] 2、 2 2.C[因为IMF1|+|MF2|=6,所以|MF1I·IMF2|≤ a-7≥2√a-6·(a-》=2,当且仅当a-6=厄，且ab=1, 山NE+:少-号-9言且收者M,=M,=8时 即a=⑥巨，6=后，巨时等号成立，即2+的最小值为 2 2 a一b 22.] 等号成立，所以MF1|·MF2|的最大值为9.] ·11.解(1)由题意得，f(0)=1-a十b=0,f(1)=4一2a十b=2, 3.A[由正实教，y满足2x十3y一y=0,得2+三=1，则3x+ 解得a=1,b=0. y x (2)由(1)知f(x)=4x-2, 2y=(a+2(层+2）-g+9+4+g>≥18+2房变- 所以f(x)<m·2x一3可化为m>2r十3·2x一1. x 故原问题等价于3x∈（一○，3]， 25,当且仅当6g=6义，且2+3=1，即=y=5时，等号成立， 使得m>2r+3·2x-1成立. 则t≤25.故实数t的取值范固是(-o∞，25].] 则当x∈(-o∞，3]时，m>(2x+3·2x-1)mim, 设h(x)=2x+3·2-1,x∈（一∞，3]， 4.A[因为>0，>0，且2+1=1，所以2x十y=(2x十2 令t=2x,则t∈(0,8]， x 设p0)=1计至-1,4e(0,8], y 则p(t)≥23-1，当且仅当t=√3时取等号， 号=1，即=y=3时取等号，此时2x十y取得最小值9，若2x+ 所以当t=√3时，h(x)取得最小值2√3一1. 故m的取值范围是(2√3一1，十©). y<m2-8m有解，则9<m2-8m,解得m>9或m<-1,即实数12.解(1)由题意可得w(x) m的取值范围为（一∞，-1）U(9,+c∞).] 200x-2.x2-60x-400,0<x≤40， 5.C[由题意可知am=6n一1，n∈N*,则数列{an}是等差数列，所 200z-201zx-3600+2100-400,40<≤100， 以S,=5+5m-1D]=3m2+2,可得2S+6-62+4m+6= n n 1-2.x2十140x-400,0<x≤40， 6+)+4>13…+4=16,当且仅当=1时 2Sn+6 所以W(x)= -x-3600+1700,40<≤10. 取得最小值16.] (2)当0x40时，W(x)=一2x2+140x一400， 当x=35时，W(.x)取最大值，W(35)=2050(万元)； 6.C[由题可知a+b=8,c=4,p=6,则S=√6(6-a)(6-b)(6-4)= √12(6-0(6-万≤√/厄×5-a6-b=45,当且仅当a=b=4时 当40<≤10时，w()=-x-3600+1700=-(x+360） x 取等号，所以此时三角形为等边三角形，故A=60°.] 1700≤-2.360+1700=1580. ,[满足。6十后产十产。>0，只高满足6+产。 y 当且仅当x=60时，等号成立， 因为2050>1580， 。产。其中a,,c为正实数，且a>b>c,,,为自然数，。二b 故当该产品的年产量为35台时，所获年利润最大，最大年利润 为2050万元. (b一c)x a-c （.b+兰)=。产+ab8 课时分层检测（六） a8。+产之是+六+2a。”a8 (a-b)y (b-c)x (a-b)y =!1.A[因为不等式x2-x-6≤0的解集为{x-2≤x≤3}，又不等 式二4≤0的解集为z-1<≤4针，所以A={z一2≤x≤3 (b-c)x x+1 +y+2义=·当且仅当aba—c a-c a-c B={x一1<x4},所以A∩B={x一1<x3}.] a8中-6a一6y时等号成立，放只+ 12.B[由x2-6x-16>0,解得x<-2或x>8.令集合A={xlx<-2 a-c 或x>8},集合B={xlx一√5或x>8},则集合B是集合A的真子 。产。故只需匠+>即可.A造项，2=1，y=1,=4时， 集，所以“x2-6x-16>0”是“x<-√5或x>8”的必要不充分条 件.故选B. +D2,A错民：B选项=1=2，=5时.+=3.A[Yz合2]32-2+1>0板成立.即<3z+板成 3+2√2>5，B正确； C选项，x=2,y=2,之=7时，(W2十√2)2=8>7，C正确：D选项，1 立，只需(3z+）即可，3x+>23x·=25,当 x=1,y=3,g=9时，(W1+√3)2=4十2√3<9，D错误.] 8.ABD[由a>1,b=号>1，得1<a<e2,因为画数fa)=a+6= 且仅当3x= 甲=9时等号成立，故<2.截选A.] a+号在1，e)止单调递减，在[c,心)上单调道增，所以2e<a十4.C[若甲正骑，尉。>0且>a,别0<a<1:若乙正确则a<0 b<e2+1,故A正确；因为ab=e2,所以有lna十lnb=2,于是0< 且4<】，则a<-1:若丙正确，则二次函数的图象开口向上，即 a 482