第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法 综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦一元二次不等式解法及综合应用，通过多题型整合集合、函数与不等式知识，培养数学思维与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|选择1-5题|集合运算、分式不等式等基础题型|从一元二次不等式解法到分式、高次不等式转化| |参数讨论|选择3-4题、填空13题|含参不等式解集与参数关系|参数对不等式解集影响的逻辑推理| |函数综合|选择7-8题、解答18题|导数、分段函数与不等式结合|函数性质与不等式求解的综合应用| |应用拓展|解答15-17题、19题|定义域、恒成立及数列不等式|不等式在不同数学情境中的迁移应用|

第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·深圳·二模）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 2.不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 3.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 4.（2026·衡阳八中·检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·南雅中学·检测）不等式：的解集是（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·随州六校·一模）对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，，若，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 7.（2024·北京101中学·模拟）已知关于的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ 　　） A. B. C. 若关于的不等式的解集为，则 D. 若关于的不等式的解集为，且，则 8.（2025·大湾区·联考）设函数，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·合肥一六八中·一模）已知正数满足，则下列结论正确的是（ 　　） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10.（2026·衡阳八中·检测）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（ 　　） A. 的解集是 B. C. 时，取得最大值 D. 的解集是 11.（2026·南雅中学·检测）设，，且，则有（ 　　） A. 定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若实数满足不等式，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 14.（2025·河南创新联盟·一模）已知，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2026·合肥一六八中·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1） 若时，求； （2） 若是的充分条件，求实数的取值范围. 16.（15分）（2026·百师联盟·一模）已知，且的解集为. （1） 当，求函数的解析式； （2） 若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 17.（15分）解下列关于的不等式. 18.（17分）（2026·深圳·二模）已知函数. （1） 若在时取极值，求的值和的极小值； （2） 若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 19.（17分）（2025·大湾区·联考）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题： （1） 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：； （2） 是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （注：为自然对数的底数） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C A B A B 6 7 8 9 10 D C B ACD BC 11 12 13 14 15 BCD （1） （2） 16 17 18 19 （1） （2） 见解析 （1），极小值为 （2） （1），证明见解析 （2）存在， 1.（2026·深圳·二模）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得，解得，即.又，所以.对应选项C. 【点拨】本题考查集合的交集运算，需先解一元二次不等式求出集合，再与集合求交集. 2.不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原不等式可以转化为：，当时，可知，即，对应的方程的两根为，.因为，所以，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为.对应选项A. 【点拨】利用十字相乘法将二次不等式因式分解，注意二次项系数为负时不等号方向的改变，以及两根的大小比较. 3.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】B 【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，，所以为，因为，所以，解得.所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；不等式为，因为，，所以选项D错误.对应选项B. 【点拨】根据一元二次不等式解集确定二次函数开口方向及方程的根，利用韦达定理找出系数间的关系是解题关键. 4.（2026·衡阳八中·检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意；当，由不等式的解集为，则，，解得或，结合，即的取值范围为.对应选项A. 【点拨】不等式恒成立问题，需讨论二次项系数是否为0，当为二次不等式时转化为开口向下且判别式小于等于0. 5.（2026·南雅中学·检测）不等式：的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】移项并通分：，因式分解得：，等价于且，解得：或.对应选项B. 【点拨】分式不等式移项通分后转化为高次不等式求解，切忌直接去分母导致符号错误. 6.（2026·随州六校·一模）对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，，若，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得，解得.对应选项D. 【点拨】准确理解取整函数的定义，将其转化为双侧不等式求解. 7.（2024·北京101中学·模拟）已知关于的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是 A. B. C. 若关于的不等式的解集为，则 D. 若关于的不等式的解集为，且，则 【答案】C 【解析】由题意，，所以A正确；对于B：，当且仅当，即时成立，所以B正确；对于C，由韦达定理，可知，所以C错误；对于D，由韦达定理，可知，，则，解得，所以D正确.对应选项C. 【点拨】根据解集形式判断判别式为0，结合韦达定理及基本不等式逐项分析. 8.（2025·大湾区·联考）设函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，令，易知，即是偶函数，又是偶函数，所以是偶函数.当时，，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增.由得，即，所以，即，化简得，解得.对应选项B. 【点拨】通过代数变形发现函数的偶函数性质，利用偶函数和单调性将函数不等式转化为自变量绝对值的不等式. 9.（2026·合肥一六八中·一模）已知正数满足，则下列结论正确的是 A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】由正数满足，可得，解得，即，当且仅当，即时等号成立，故A正确；由正数满足，可得，解得或(舍去)，当且仅当时等号成立，故B错误；因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确；由可得，所以，当且仅当，即时等号成立，故D正确.对应选项ACD. 【点拨】利用基本不等式处理多元变量最值问题，注意“和”与“积”的相互转化及等号成立的条件. 10.（2026·衡阳八中·检测）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是 A. 的解集是 B. C. 时，取得最大值 D. 的解集是 【答案】BC 【解析】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增，所以的解集是，故A项错误；对于B项，因为.又由图象知，函数在处取得极小值，所以有，故B项正确；对于C项，由图象知，当时，单调递增，则；当时，单调递减，则；当时，单调递减，则.所以的解集为，的解集为.又为二次函数，根据二次函数的图象可知.因为函数在以及处取得极值，所以有，即，所以，所以，因为，所以时，取得最大值，故C项正确；对于D项，由可得或.由图象知，当时，.又的解集为.所以由可得；由图象知，当时，.又的解集为.所以由可得.所以，的解集是，故D项错误.对应选项BC. 【点拨】通过函数图象识别零点、极值点及单调区间，进而确定函数及其导数的符号分布，是解决此类图象信息题的关键. 11.（2026·南雅中学·检测）设，，且，则有 A. 定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】由题设，则，定义域为，A错；由，所以为偶函数，B对；由题设，定义域为，由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，C对；当时，令，则在定义域上单调递增，原不等式等价于.根据单调性，此不等式成立的条件为，即.因为题设条件为，且对于任意实数都有，所以恒成立.因此，只要的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故D正确.对应选项BCD. 【点拨】利用对数运算性质求定义域和判断奇偶性，构造新函数并利用其单调性处理不等式恒成立问题. 12.若实数满足不等式，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】不等式，即，解得，则的取值范围是. 【点拨】直接因式分解求解一元二次不等式. 13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】原不等式可化为对恒成立.（1）当时，若不等式对恒成立，只需，解得；（2）当时，若该二次不等式恒成立，只需，解得，所以；综上：. 【点拨】二次不等式恒成立问题，必须优先讨论二次项系数为0的情况，避免漏解. 14.（2025·河南创新联盟·一模）已知，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】令，因为，所以.不等式恒成立，即在恒成立，即.令，则且.即，.设.则，解得，.所以.因为，所以.因为，所以.所以. 【点拨】将自变量替换转化为一次函数在闭区间上的最值问题，利用待定系数法构造目标表达式. 15.（13分）（2026·合肥一六八中·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1） 若时，求； （2） 若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 由且，所以集合且. 2 分 当时，不等式为：，即集合， 4 分 又或， 5 分 所以或或； 7 分 （2） 因为是的充分条件，所以是的子集，又且， 当时，，满足题意， 9 分 当时，，所以或，得， 11 分 当时，，所以，得. 12 分 综上，实数的取值范围为. 13 分 【点拨】求定义域时需同时考虑根号下非负和分母不为零；充分条件转化为集合的包含关系，解含参二次不等式需对两根大小进行分类讨论. 16.（15分）（2026·百师联盟·一模）已知，且的解集为. （1） 当，求函数的解析式； （2） 若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 由的解集为可知且. 3 分 则. 5 分 . 7 分 （2） . 9 分 的解集为. 11 分 当时，满足题意； 12 分 当时，由， 14 分 . 综上，. 15 分 【点拨】根据解集形式可设出二次函数的交点式，简化计算；指数不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立，注意对二次项系数是否为0的讨论. 17.（15分）解下列关于的不等式. 【答案】见解析 【解析】方程：且 ， 3 分 解得方程两根：，； 6 分 当时，抛物线开口向上， 8 分 原不等式的解集为：或； 10 分 当时，抛物线开口向下， 12 分 原不等式的解集为：. 15 分 【点拨】解含参一元二次不等式的常规步骤：先求根，再根据二次项系数的符号决定不等式的解集区间. 18.（17分）（2026·深圳·二模）已知函数. （1） 若在时取极值，求的值和的极小值； （2） 若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），极小值为 （2） 【解析】（1） 由题意可知：，， 2 分 因为，解得， 4 分 则，， 令，则， 5 分 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，且， 当趋近于或时，趋近于， 可知在定义域内有2个零点和， 7 分 当时，，当时，， 可知在，内单调递增，在内单调递减， 所以在处取极小值，极小值为. 9 分 （2） 由于不等式对任意恒成立， 则，解得， 11 分 下证：当时，， 若，则， 13 分 令，由（1）可知，在上单调递增， 15 分 则，则， 所以的取值范围为. 17 分 【点拨】利用极值点处导数为零求参数，必须检验是否确为极值点；恒成立问题可先通过端点值缩小参数范围（必要条件），再证明其充分性. 19.（17分）（2025·大湾区·联考）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题： （1） 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：； （2） 是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. (注：为自然对数的底数) 【答案】（1），证明见解析 （2）存在， 【解析】（1） 令，， . 2 分 ①当时，，在区间上单调递增， 所以，所以符合要求； 3 分 ②当时，令， 当，所以在区间上单调递减， 所以当时，，这与题意矛盾！ 4 分 综上所述，. 5 分 取，根据上述证明可知：，即. 6 分 令，即， 所以. 7 分 （2） 取可知，即. 8 分 （i） 由可得：， 由可得，取对数，得：. 记，则，即. 即， 9 分 考虑函数， 由（1）知：，即，则. 10 分 （ii） ，即. 当时，恒成立， 11 分 ，两边取对数，得， ，令，则，即. 12 分 考虑函数. ①当时，令在区间上单调递减， 所以； 这与矛盾！故不符合条件； 14 分 ②当时，当在区间上单调递减， 所以当时,， ，即，所以符合题意. 所以，要使，则，即. 即. 16 分 综合（i）（ii），. 17 分 【点拨】利用导数研究函数单调性来证明不等式恒成立，进而通过赋值法解决数列不等式问题；第二问需将数列不等式转化为函数不等式，注意自变量的取值范围. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $