4.8 正弦定理、余弦定理-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

第四章三角函数与解三角形 §4.8正弦定理、余弦定理 【课标要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定 理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题。 口必备知识·整合 夯实基础回归教材>》> 1.正弦定理、余弦定理 :3.三角形中常用的面积公式 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b, (1)S=1 aha(hu表示边a上的高)： c,R为△ABC外接圆半径，则 (2)S= 定理 正弦定理 余弦定理 (3)S= (r为三角形的内切圆半径). a2= 【自主诊断】 内容 sin A b2= 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 =2R c2= “X”) (1)a=2Rsin A, (1)在△ABC中，一定有a+b+c=sinA十sinB b= +sin C. () C= (2)在△ABC中，若sin2A=sin2B,则必有A=B. cos A= () 变形 (2)sin A-2R' cos B= (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素 sin B= ,sin C cos C= 可求其他元素. () ； (4)当b十c2-a2>0时，△ABC为锐角三角形； (3)a:b:c= 当b2+c2-a2=0时，△ABC为直角三角形；当 b2+c2-a2<0时，△ABC为钝角三角形.() 2.三角形解的判断 2.(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在 A为钝角 △ABC中，若a=2,c=4,B=60°，则b等于 A为锐角 或直角 () A.2√3 B.12 C.27 D.28 图形 本A 3.(2026·海口质检)在下列关于△ABC的四个条 件中选择一个，能够使角A被唯一确定的是 bsin A< 关系式a=bsin A a≥b a>b a<b ①sinA=：@c0sA=-3:③c0sB=-b= 解的 一解 两解 一解 一解 3a;④C=开，b=2,c=5. 4 个数 A.①② B.②③ C.②④ D.②③④ 93 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且： (5)三角形中的射影定理 a=4,b=5,c=6,则cosA= ；△ABC的 在△ABC中，a=bcos C+ccos B;b=acos C+ 面积为 ccos A;c=bcos A+acos B. 【微点提醒】 (6)三角形的面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 1.熟记△ABC中的以下常用结论： A+B+C=x,4生B-受-号 (p=之a++ey (7)在斜△ABC中，tanA十tanB+tanC=tanA (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小 ·tanB·tanC. 于第三边 2.谨防两个易误点 (3)大边对大角，大角对大边，a>b台A>B台 (1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三 sin A>sin B,cos A<cos B. 角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或 (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; 无解. tan(A+B)=-tan C:sin AB=cos C (2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根 2 2 据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助 cos A+B=sin? C 判断 关键能力·突破 分类讲练以例求法>》> 题型一利用正弦、余弦定理解三角形 /思维升华/++++++ [例1](1)（多选）(2025·全国I卷，11,6分，中) 应用正弦、余弦定理的解题技巧 已知△ABC的面积为号os2A十c0s2B+2sinC- (1)求边：利用正弦定理变形公式4=sinA sin B 2,cos Acos Bsin C=- 则 等或余弦定理求解 (2)求角：利用正弦定理变形公式sinA= A.sin C=sin2A++sin2B asin B等或余弦定理的推论求解， b B.AB=√2 (3)利用式子的特点转化：如出现a2十b2-c2 C.sin A+sin B6 2 =Aab的形式用余弦定理，等式两边是关于 D.AC2+BC2=3 边或角的正弦的齐次式用正弦定理 (2)(2025·全国Ⅱ卷，5,5分，易)在△ABC中， 跟踪训练1（多选）在△ABC中，内角A,B,C BC=2,AC=1+√3，AB=√6，则A= ( 所对的边分别为a,b,c.已知a十b=10,c=5, A.459 B.60° C.120° D.135 sin2B十sinB=0,则下列结论正确的是() [听课记录」 A.a=3 B.b=7 C.B=60 D.sin C=53 14 精品教辅·智慧人生 94 第四章三角函数与解三角形 题型二正弦定理、余弦定理的简单应用 “+7思维于升华/++++++++++++“++“ 命题点1三角形的形状判断 (1)判断三角形形状的两种思路 [例2] (2026·西安模拟)在△ABC中，一0 2c ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相 sin2 B 应关系，从而判断三角形的形状 (a,b,c分别为角A,B,C的对边)，则 ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关 △ABC的形状为 系，从而判断三角形的形状， A.直角三角形 (2)三角形面积公式的应用原则 B.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 ①对于面积公式S= 2absin C=1 2acsin B= D.等腰直角三角形 2 besin A,一般是已知哪一个角就使用哪一 1 [听课记录] 个公式 ②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理 或余弦定理进行边和角的转化， 跟踪训练2(1)（多选）(2026·重庆诊断)在 命题点2三角形的面积 △ABC中，下列说法正确的是 () [例3](2026·长沙调研)如 A.若acos A=bcos B,则△ABC为直角三角形 图，在平面四边形ABCD中， B.若a=40,b=20,B=25°，则△ABC必有两解 AB⊥AD,AB=1,AD=√5， C.若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB BC=√2. D.若cos2A+cos2B-cos2C<1,则△ABC为 (1)若CD=2,求sin∠ADC; 锐角三角形 (2)若C=平，求四边形ABCD的面积。 (2)(2024·新课标全国I)记△ABC的内角A, [听课记录] B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=√2cosB, a2+b2-c2=√2ab. ①求B; ②若△ABC的面积为3+√3，求c. 命题点3与平面几何有关的问题 [例4]已知D是Rt△ABC斜边BC上一点，AC =5DC. (1)若∠DAC=30°，则∠ADC= (2)若BD=2DC,且DC=1,则AD的长为 听课记录 95 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 【微拓展】 则sinf+sin&=sin(a十B) AB AC AD 相关定理在解三角形中的综合应用 1.角平分线定理 3.中线长定理 在△ABC中，AD为∠BAC的 在△ABC中，AD为BC边上的 房年分战，别部部 中线，则AB2+AC2=2(AD2+ DC2). 进而得到(1)AD=AB·AC-BD·CD(斯库顿定：[典例](1)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 理) (2)AB=BD_S△MBD a,cc,AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC=晋，AD DAC-CDS△ACD =2√3，则2b+c的最小值为 2.张角定理 (2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,若 在△ABC中，D为BC边上的 a=7,b=8,c=9,则AC边上的中线长为 点，连接AD,若∠BAD=a, 温馨提示 请做课时分层检测（三十三） ∠CAD=B, §4.9 解三角形中的最值与范围问题 【重点解读】解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围 问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面 积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系. 题型一利用基本不等式求最值（范围） +/思维升华/++++ [例1]在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a, 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 b,c,且满足a。 36 cos A sin B' 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假 (1)求角A; 设已知A,a,根据余弦定理a2=b2十c2- (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 2 bccos A,即可得到“b2十c2”与“bc”的等量 [听课记录] 关系 + I)求面积最值时，S=besinA,即求bc最 值，在等量关系中利用基本不等式b2十2≥ 2bc,即可求得bc的最值. (2)求周长a十b十c的最值时，即求b十c的 最值，在等量关系中，把b2十c2换成(b十c)2 2bc,再利用基本不等式bc≤ ,即可 求得b十c的最值. 精品教辅·智慧人生 96②当K0时a+苔∈（受+音，） 得p=友'x+(E∈ZD, 6 又高数代)=m(+晋）在(0：受)上有三条对称物和两个 又≤受，故取=-2，得9=-否 极小值， 此时fx)=Aosz-若）A>0). 31 验证当需<<需时0<1 6 答案C 满足f八)在区间品，需)上单调递减， 跟踪训练2A[x∈[0，x]w>0,则aa- [-吾m-] 故实数。的最大值为1山，此时9=一云 画数)=sm,一音）w>0)在区间[0，]上有且仅有两条 答案B 跟踪训练4[2,3)[因为0≤x≤2x,所以0≤z≤2wm,令f(x)= 对特轴，则受<0一晋<受故。的取值范固是[唱昌）门 cos an-一1=0，则cos w=1有3个根，令t=wx,则cost=1有3 个根，其中t∈[0,2wπ]，结合余弦函数y=cost的图象性质可得 [例3](1)解析显然w≠0. 4π2wr<6π， "cos,4 72m 因为函数fx)=2nr在区同[-吾，牙]上的最小值为一2， 故2≤w<3.] 所以-宁≤-·解得> §4.8正弦定理、余弦定理 若0，当[-景]时，7≤u≤-音u, :必备知识·整合 1.sin B sin C+2bccosA +a-2cacos B 因为高数)=2n哑在区问[-音哥]上的装小值为-2， 2abcos C 2Rsin B 2Rsin C 2R2R b sin A:sin B:sin C 所以Tw≤-，解得≤-2. b2+c2-a22+a2-b2a2+F-2 26c 2ac 2ab 综上所述，符合条件的实数w的取值范围是（一∞，一2]U 3.(2)absin Cacsin B hesin A (3 +∞ :[自主诊断] 11.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.A[由余弦定理6=a2+c2-2 accos B,得=4十16-8=12， 所以b=25.] (2)解析f(x)=sin(wz十p)一√3cos(wx十p)=2 sin wr+9- 3B[对于D:mA=之，因为A∈0，，所以A=吾或钙：故0 错误：对于四：0A=一了因为y=60s在0上单调，所以 由)为偶函数，得g一吾=受+x∈D,即=吾+a便∈刀， 角A被唯一确定，故②正确：对于@：0sB=一子，b=30,因为 又p<受，故g=-吾，即f(x)=2sm(x-吾-吾）= osB=-<0,B∈(0，x),所以B∈（登，，所以A∈(0： 4 2si(r-受） 受）所以sinB=V一oB=平，又6=3a,由正弦定显得 当x[0,1时，-∈[-受w引即函教y=血z在区 nB=3snA,所以snA==臣所以角A孩一骑完， 3 问[-受受上格有2个最大植点， 故③正确：对于④：C=千，b=2,c=原，因为bsin C=2Xsin年 故有<。吾<，即3<5m √2，所以bsin C.<c<b,如图，△ABC不唯一，故④错误.故选B.] 答案[3π，5x) 跟踪训练3号[由题意知当x=吾时，)取得最大值，即受。叶 b=2 =2x+受D,解得=6+0，又号-=< C=3 c=W3/ 不，即2西>至，所以u<6,又w>0,所以w=2] 。1 C< B 3 3157 [例4幻解析因为f()的最小正周期T=2红，且f(x)在区间：4. 4 [依题意得cosA=+c2-a2 2bc 圣，所以sinA= 3 (品·需)上单调所以哥-≥语-品品 66'66 V个-co子A=兵，所以△ABC的西积为安ein A=15.] 4 4 又w>0,故0w11, ①关键能力·突破 又用为x=音为f)的套点，直线x=一后是f)图象的对[例于人《解玩设ABC的对边分别为@ 对于A,由cos2A+cos2B+2sinC=2得1-2sin2A+1-2sin2B+ 称轴， 2sinC=2,化简得sinC=sin2A十sinB,故A正确： 所以音一()=+-2.-，类理 对于B,由A及正弦定理得c=asin A十bsin B, 4 又c=acos B十bcos A,(三角形中的射影定理) 得w=2k十1(k∈Z). ② 由①②得0<w≤11且w为奇数， 所以snA=c0sB,sinB=c0sA,则A十B=受，所以C=受. 当w=11时，将x=-否代入oz十p, 所以由oAcos Bin C- 令1x(-若）十9=∈D. 得osAcos B=子， 424 又sinA=c0sBn2A=号不纺取A=15,则B=75. (2)在△BCD中，由余弦定理得BD=CD+BC一2CD·BC· 1得ab= cosT,即CD2-2CD-2=0, 由S△ABC= 2, 解得CD=1+√3或CD=1一√（舍去）， b 由.15sin75存1 所以四边形ABCD的面积为 6-26+2 4 4 S路D=SABD十SAD=号AB·AD+号BC·CD·m开 即b=(2+√3)a, 所以(2+d= + [例目解析(I在△ADC中，由正孩定理得sinZADCsinDAC' AC DC 所以c2=a2+b2=a2+(7+4√3)a2=(8+43)a2=(8+43) ×2x(2+3 =2 所以in∠ADC=AC·sinDAC=5×号=5 DC 22 因此c=AB=√2，故B正确； 又∠ADC=B+∠BAD=B+(90°-∠DAC)=B+60>60°， 所以∠ADC=120°， 对于C,sinA+sinB=sinl5+sin75°=6-巨+6+2- (2)由BD=2DC,且DC=1知BC=3, 4 4 2 故C正确； 又AC=√3DC,则AC=√3， 对于D,AC十BC2=b+a2=2=2≠3，故D错误. 所以Rt△ABC中，osC=S=B, 故选ABC. BC 3 答案ABC 在△ADC中，由余弦定理得 (2)解析由余弦定理的推论，得cOsA=AB十AC-BC AD2=AC2+DC2-2AC·DC·cosC=(√3)2+1-2√3×1X 2AB·AC B一2 6)2+0+B)2-2=,又0<A<180,所以A=45改 3 2×√6×(1+√3) 所以AD=√2. 选A. 答案(1)120°(2)√2 答案A 跟踪训练2(I)BC[对于A,由正弦定理可得sin Acos A= 跟踪训练1ABD[由sin2B+sinB=0,得2 sin Bcos B+sinB= sin B cos B,∴.sin2A=sin2B,∴.A=B或2A+2B=180°，即A= 0,因为在△ABC中，sinB≠0，得cosB=一 ?,由余弦定理= B或A十B=90°，∴.△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错 误；对于B.esin B=-40sin25<40sn30=40×号=20，即asin B< a2+c2-2 accos B,得62=a2+52-2XaX5× 图为6= b<a,∴.△ABC必有两解，故B正确；对于C,,'△ABC是锐角三 10-a,所以(10-a)2=a2+52-2×a×5× (-）解得a=3 角形，.0°<A90°，0°B90°，180°>A十B>90°，即90°>A> 90°-B>0°，.sinA>sin(90°-B)=cosB,故C正确；对于D,由 所以6=7由c0sB=-2,得B=120,则sinB=写.由正孩定 1 题意及二倍角的余弦公式知1一2sin2A+1一2sinB-1十2sinC1, 即sinA+sin2B-sin2C>0,即a2+子-c2>0,∴.cosC>0,即C 为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误，门 (2)解①由余弦定理有a2+b2-c2=2 abcos C, [例2】解折周为r号-四B,所以2=1B,即 因为a2+b2-c2=√2ab, 2 2 cosB=号 所以osC=2, 2 因为C∈(0，x),所以sinC>0, 方法一由余弦定理的推论得2+2-2=息，即a2+2-2= 2ac 2a2,所以a2十b2=c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直 从6血1mC(T-号 角边是否相等 又因为sinC=√2cosB, 方法三由正弦定理得cosB=simC,又sinA二sin(B+C)=t 即cosB=立 sin Bcos C+cos Bsin C,所以cos Bsin C=sin Bcos C.+cos Bsin C,即 sin Bcos C=0.又sinB≠0，所以cosC=0,又角C为三角形的内 又B∈0，)，所以B=子 角，所以C=受，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边 ②由①可得B=,cosC=,C∈0，x). 3 2 是否相等 答案A 从而C-至nA=nB+O=n号+) [例3]解(1)如图，连接BD,在Rt△ABD D 中，BD=√AB+AD=2,且tan∠ADB= -×+×-+ 4 -唔，又∠ADB∈(0，)： 方法一由正弦定理有 b AD 3 sin 所以∠ADB=否 在△BCD中，由余弦定理的推论得o∠BDC=BD+CD-BC 从而69- 2·BD·CD 由三角形面积公式可知， 4+4-23 2X2X24· △ABC的面积可表示为SABc=2bc·sinA 所以n∠B0C-()-只 4 8 由已知△ABC的面积为3十√3， 所以sin∠ADC=sim(∠BDC+若)） 可得32=3+5，所以c=2厄。 =sin∠BDCcos +cos∠BDCin-君 6 方法二记R为△ABC外接圆的半径， 由正弦定理得 8 SAANb sin C-2R sin Asin Bsin C 425 =2R.6+E.号，号 4 2 所以6=2R·n月=2X2×号= =3+E.R2=3+5 : (2)由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B,得42=a2+c2-√2ac,由 基本不等式可得16=a2十c2-√2ac≥2ac一√2ac,当且仅当a=g 所以R=2 时取等号， 所以c=2R·sinC=2X2x9=22. 16 =8(2+√2)， 2 所以ac≤ 2-√2 【微拓展】(1)解析如图，，AD是∠BAC的角平 分线， ∠BAD=∠CAD 所以5现名mB号a<9×82+=4+4E, 1 =∠BAC-， 又S△Bc=2·b·h,所以h≤2+2E. 由张角定理得sin∠BAC_sin∠BAD+sn∠CAD 所以AC边上高h的最大值为2+2√2. AD AC AB [例2]解(1)由题意得ac0sB+2b=c, 即 6+= 由正孩定里得sin AcosB计7sinB=sinC, 23 b b 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Acos B+ 26+e=(2+(+）X2 合snB=in Acos B+sB.. =6+5+地≥6+2√× 即子snB=osAsinB,因为B∈(0，， =6+4(且仅当答-他且+上=日 c 2 所以sinB≠0，期casA=合 即c=√2b=2√2十2时取等号). 由A∈(0，)得A=子 答案6+4√2 (2)解析方法一在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中 (2)由A+B+C=x,A=吾得B=号x-C. 2 线长定理知， 因为△ABC是锐角三角形， AB2 +BC2=2(BD2+DC), 即2+a2=2(BD2+62） 0<C<受， 所以 m(03π一C, 2所以<C<受 则BD产=2+a2_2=81+49_64 2 4 2 4 =49,BD=7, 故AC边上的中线长为7， b sin B sinC+ 方法二因为a=7,b=8,c=9,由余孩定理得cosB= 11 c sin C a2+c2-b272+92-82 sin C 1 2ac 2×7X9 21· 2sinC+3 设D是AC的中点，则B币=之(B+B心， 2 sin C -2+tan C' 两边平方得励=子（硫+2·元+） 又tanC> 后所以0<1 C 7×(81+2X9×7x引+49)=40， 所以兰的取值范国为（合2） 所以BD=7,即AC边上的中线长为7. 2+-2+设=（2则）=2+ 答案7 §4.9解三角形中的最值与范围问题 易知心)在（合号）上单调递减，在（受2）上单调道增。 [例1解)由心A 36 ）=3)=2.2)=, 品B将A-, 结合正弦定理a cos A sin B 所以∈[2E,号 所以tanA=√3， 即25的取值范周足[2，号） 又因为A∈(0，x),所以A=于 bc 31 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A, 跟踪训练2(1)D[由题意可如子<B<经， 得4=b2+2-bc≥2bc-bc=bc, 则-合<mB<0,由余孩定理的推论可得msB=十上 即bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立， 2ac 所以SAic=sinA≤号X4X9-5。 99-合<<0，解得5<<2瓜，所 2×3c 以c的取值范围是(5,2√10).故选D.] 即当b=c=2时，△ABC面积的最大值为√3， (2)解①bsin B-asin A 跟踪训练1解（①）因为tanB叶amC-EmA. cos C' [2bn(A+）-小smc 所以sinB+sinC_2sinA cos B cos C cos C =(2 in Acos若+2 beos Asin吾-e)sin C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=√2 sin Acos B, 由正弦定理得 所以sin(B+C)=√2 sin Acos B, 所以sinA=√2 sin AcosB. -2bcsin Acos2bccos Asin 所以√3 bcsin A+bccos A=b2+c2-a2=2 bccos A, 因为inA≠0，所以cosB= 2 则√3sinA=cosA,cosA≠0， 因为0<B<,所以B=不， 4 所以mA号， 由正孩定理得品B=2R. 又A∈(0，)，所以A=吾 426