4.6 函数y=Asin(ωx+φ)-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

第四章三角函数与解三角形 §4.6函数y=Asin(wx十p》 【课标要求】1.结合具体实例，了解y=Asin(wx十p)的实际意义；能借助图象理解参数w,p,A的意义， 了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建 刻画事物周期变化的数学模型， 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》 1.简谐运动的有关概念 :【自主诊断】 已知函数y=Asin(wx十p)(A>0,w>0),x≥0 :1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 振幅 周期 频率 相位 初相 “X”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先 1 T 伸缩，后平移”中平移的长度一致。 () (2)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个 2.用“五点法”画y=Asin(wx十9)(A>0,w>0)一 周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的 个周期内的简图时，要找五个特殊点 () 3π a.x十9 0 2π (3)把y=sim(x一)的图象上各点的横坐标缩 3 0-9 2 29 2π一9 短为原来的)，所得图象的函数解析式为y u sin(2) () y= 0 A 0 A 0 Asin(w.x+p） (4)如果y=Acos(wx十9)的最小正周期为T,那 么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离 3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(w.x十 () p)(A>0,w>0)的图象的两种途径 2.y=2sin(分x一哥)的振幅、频率和初相分别为 画出y=sinx的图象 案 画出y=sinx的图象 向左（右） 个单 横坐标变为原（纵坐标 平移 位长度 来的倍 不变) 得到y=sin(x+p)的 得到y=sin wx的 图象 B27号 图象 A.2,4晋 横坐标变为（纵坐标 向左（右） 个单 原来的_倍不变) 平移 ,位长度 D.2,4,- 得到y=sin(ox+p) 得到y=sin(wx+p) 3.(苏教必修一P212练习T4改编)将函数f(x) 的图象 的图象 纵坐标变为（横坐标 纵坐标变为（横坐标 原来的_倍！不变) 原来的_倍！不变) 3sim(2x+)的图象向左平移5后得到函数y= 得到y=Asin(wx+p) 得到y=Asin(wx+p) 的图象 的图象 g(x)的图象，则g(x)= 87 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 4.(人教A版必修第一册P245 y/℃ (2)若直线x=a为正（余）弦型曲线的对称轴，则 15 例1改编)如图，某地一天从 10 该函数一定在x=a处取得最值， 6~14时的温度变化曲线近 (3)函数y=Asin(aw.x十e)十k(A>0,w>0)图象 O6 10 14 h 似满足函数y=Asin(awx十9)十B,A>0,w>0, 平移的规律：“左加右减，上加下减”. 0<9<π，则这段曲线的函数解析式为 2.谨防两个易误点 (1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”， 【微点提醒】 注意先伸缩后平移时平移距离为 个单位 w 1.熟记下列常用结论 长度 (1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均 (2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的 绍 关系 关键能力·突破 分类讲练以例求法》 题型一函数y=Asin(wx十p)的图象及变换 听课记录] [例1](1)(2026·济南质检)为了得到函数y= 2c0s(2x-)的图象，只需将函数y=2sinx ) +/思维升华/++++++ A,图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2,纵坐 函数图象的平移变换解题策略 (1)解题时首先分清原函数与变换后的函数. 标不变，再向右平移个单位长度 (2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式 B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵 sina=cos(a-）,osa=sim(a+罗)将不 坐标不变，再向左平移个单位长度 同名函数转换成同名函数 (3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平 C图象向右平移个单位长度，再将所有点的横 移，只要平移||个单位长度，都是自变量x 坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 变为x士p,而不是ωx变为ωx士|g. D.图象向左平移吾个单位长度，再将所有点的横 跟踪训练1(1)（多选）要得到y=sinx的图象， 坐标缩短到原来的？，纵坐标不变 可以将函数y=sin(2x一)的图象上所有的点 () (2)(2026·西安模拟)将函数∫(x)=2sin2x- A.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐 )的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得 标缩短到原来的号 图象关于原点对称，则m的值可以是 B.向左平移元个单位长度，再把所得各点的横坐 10 A.号 B.π c D.5x 标扩大到原来的2倍 精品教辅·智慧人生 88 第四章三角函数与解三角形 C,横坐标缩短到原来的)，再把所得各点向右平 +/思维升华/++++++++++++++ 确定y=Asin(w.x十p)十b(A>0,w>0)的步 移无个单位长度 骤和方法 D.横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左 (1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值 平移等个单位长度 m,则A=M,m,6=M十m 2 2 (2)(2026·南京、盐城模拟)将函数y=tan(wx (2)求w.确定函数的最小正周期T,则w= 2π )(如>0)的图象分别向左，向右各平移答个 6 T 单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则w (3)求9.常用方法如下： 的最小值为 ( ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此 A号 时要注意该点在上升区间上还是在下降区 B.2 C.3 D.6 间上)或把图象的最高点或最低点代入， 题型二 由图象确定y=Asin(wx+p)的解析式 ②五点法：确定9值时，往往以寻找“五点 [例2](1)函数f(x)=Asin(w.x 法”中的特殊点作为突破口 +g)+bA>0,a>0,lg<2) 十种十十十m十十件十和十十十十十”十时十十时 跟踪训练2(1)（多选）(2025· 的一部分图象如图所示，则 湖北名校联考)如图是函数y= sin(wx十p)的部分图象，则 A.fx)=3sin(2x-若)+1 612 sin(ax+o)= B.fx)=2sim(3x+5）)+2 A.sin(x+5） B.sin(-2.) C.f)=2sin(3x-若）+2 C.cos2+) D.cos(-2.) D.fx)=2sin(2x+若)+2 (2)已知函数f(x)=Asin(w.z P1,A) (2)(2026·河南名校调研) +g)(A>0,w>0,l9<) M5.o) 已知函数f(x)=Asin(w.z 的部分图象如图所示，图象与 +p)(A>0,w>0)的部分 图象如图则(） x轴的交点M(受，0)，与y轴的交点为N,最高 点P(1,A),且满足NM⊥NP.则f(x)= A.-1 B.-√2 题型三三角函数图象、性质的综合应用 C.-5 D.-2 [例3](1)如图所示，摩天轮 [听课记录] 的半径为20米，圆心O距 地面的高度为25米，摩天轮 地面 运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟， 摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客 89 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则： +/思维升华/+++++++++++++ 摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长 (1)求解与三角函数有关的零点（或三角函 度（单位：分钟）为 数有关的方程的根)的个数或零点的和的问 A号 B.3 c号 n号 题，常结合三角函数图象利用数形结合思想 直观求解 (2)风力发电的原理是利 (2)三角函数模型的应用体现在两方面：一 用风力带动风机叶片旋 是已知函数模型求解数学问题；二是把实际 转，当风吹向叶片时驱动 问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的 风轮转动，风能转化成动 有关知识解决问题」 能，进而来推动发电机发电.如图，风机由一座塔 和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为 跟踪训练3(1)（多选）(2026·蚌埠质检)已知 ,现有一座风机，叶片旋转轴离地面10m,叶 函数f(x)=cos(ox十p)(>0,-5<9<): 片长40m.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且 将y=f(x)的图象上所有点向右平移个单位 每5s旋转一圈.风机叶片端点P从离地面最低 长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不 位置开始，转动ts后离地面的距离为hm,在转 变，得到函数y=g(x)的图象.若g(x)为奇函数， 动一周的过程中，h关于1的函数解析式为h(1) 且最小正周期为π，则下列说法正确的是() =Asin(ot+o)+B(A>0,@>0,ol<x). ①求函数h()的解析式； A,函数f()的图象关于点(，0)中心对称 ②当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在 转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于 B.函数f(x)在区间(0，)上单调递减 80m的时长 C不等式g()≥的解集为[k一一] 听课记录] (k∈Z) D.方程f()=g(x)在(0，π)上有2个解 (2)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年 的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示 是今年前四个月的统计情况 月份x 收购价格y/(元/斤 6 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（单 位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为 温馨提示 请做课时分层检测（三十一） 精品教辅·智慧人生 90)=n(2x一音），因为x)在（一mm)上单调递增，且m> y=n(2:一)的国象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍， 0.所以函数)=m(2x）的单调增区间包含0，令-吾≤ 得到)=如红一晋）的国象，再把所得各点向左平移号个单位 12 益所 长度，得到y=sinx的图象，D正确.门 π (2)A[将画数y=1am(r-受）。>0)的图象向左平移否个 m12 以 一m≥ ，故m的取值范国为(0，]门 单位度后，可得)=m(+)受]-a(十 12 m>0, w一受）将数y=a(a-受)。>0)的盟象向右平移音 §4.6函数y=Asin(wx十p) 必备知识·整合 个单位长度后，可得g)=tm(-音）-受]-1am(r 1.2x w 看。受}因为画教x)与g《)的对称中心重合，所以（晋 3.1gl 10 A ）-(看。受）=经∈Z.即晋0-经∈Z.解得w=坠 [自主诊断] 1.(1)×(2)/ (3)×(4)/ k∈Z.又因为w>0,所以u的最小值为号.] 2C[由题意如A=2=子-初湘为-] [例2](1)解析 根播题中国象如公分： 3.a2z+是 [g=+）=a(+)+引 所以A=2.6=2,T=4×(晋-晋）= 3m(2x+是 所以u=2红=2， 4y=5sim(答x+）十10，x∈[6,14)[从题图中可以看出，从 又画数国象经过最高点（答4 6~14时的图象是函数y=Asin(x十g)十B的半个周期，： 则合房 代入画数f)=2n(2x+g)+2得m2×吾+g)-1, 所以A=号×15-5)=6，B=×(15+5)=10.又× 因为p<受，所以9=百， 14-6,所以w-京又音×10+9=2x+2,k∈Z.0<9K,所 所以f)=2sin2x+香）+2. 答案D 以g-平，所以y=5sn(管+）)+0x∈[6.11.门 (2)解析由题图可知，A=2,设函数f(x)的最小正周期为T,则 关键能力·突破 子音-()吾所以T号二解得。3湖) [例1]1)解析y-2sinx=2cos(-受）将y=20(x-） 2sin3r+p以.由f(-)=2(-至+g）=2,可取g=平，则 的图泉上所有点的横坐标缩短到原来的？，纵坐标不变，得到函 ）=2s(3红+）/（管）=2sm(3x音+）=2sim平 数y=2c0(2x-受）的图象，弄将所得图象向右平移歪个单位 答案B 长度，得到岛技y=2m一）号】-2m(2:一)的园跟装训练2(1BC[由题国如子-警-吾-受得T=,的 象，故A正确，B错误：或将函数)=20(-受）的图泉向右平 侣=所以。=士2，不坊取。=2.又图象注点（否0）由“五点 移后个单位长度，得到函教y=2os(-后-受)=2@(- 法”，结合图象可得g叶于=x,即g-否所以snur十p=s2x叶 )的园象，再特所得国象上所有点的被生标端短到原来的？ 1 )故A结送：由n(2x+)=n[-(管-2刘门 得到画数y=2o(2r-)的图象.故C.D错误。 sin管-2)知B正确：由n(2x+）=n(2+受+）= 答案A 2)解析将函数f八x)=2sim(2x-）的图象向左平移m(m> os(2z+若)知C正病：由sin(2x+)=m(2z+看） 0)个单位长度，得到函数y=2sm(2x+2m一吾）的国象，因为所 o[+(2x-)门-c0(晋-2)知D错误.故选c] 得图象关于原点对称，所以2m-否=x,k∈乙，解得m=晋+ (2)而si子+石）[由题知，函数)的最小正周期T满 经，k∈Z,当质=3时，m=吾+要=要。 =w-=号-1=，解得T=6,所以w=由图 足 答案D 象与x轴的交点M(号0）得吾×号十g=x+2x(EZ》,因 跟踪训练1(I)BD[要想得到y=sinx的图象，y=sin2x- 为g<受，所以9=吾，即f代)=Asin牙x+石)所以fx) )的图象上所有点的横坐标需扩大到原来的2倍，故排除A 的图象与y轴的交点为N(0,会)因为NMLNP,所以， C,将y=sm(2红-）的图象上所有点先向左平移无个单位长 度，得到y=如[(+)-】=n2x的园象，再把所得各 市-（位一）()号华=0：解得A=-而（会 点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y=sinx的图象，B正确：将！ 去)浅A=而，所以f)=而sim(答x+若）门 422 [例3](1)解析设f(t)=Asin(wt+p)十h, §4.7三角函数中有关w的范围问题 候题意A=20h=25,1=10所以w一二=若 :[例1]解析令sin wr=cosx,即tanz=l, 又f0)=5,所以9=一2 则au=kx+子∈Z, 所以f()=20sim1-）+25=25-20c0s 解得工=红+无，k∈乙. w Aw 依题意25-20m若1≥35， y=sin ox与y=cOs w的周期均为T=2r 当x【0,]时，在一个周期内，根据inar与oswr的大小关 又0<≤10，解得号≤<碧 系来确定f(x)的解析式. 则摩天轮转功一月内，有9一9=（分钟）会有莱佳视觉效果 当0≤≤无时，osr≥nurf)=sina,)单销递增： 答案C 当元<K流时，ina>c0s,)=cosa,单谓递减区间为 (2)解①由题意，得风机的角速度为u-2rad/s,当t=0时， 5 (): h=60, A+B=140, A=40, 当活≤r<径时，o3o≥mowr,x)=sinr,单调述减区问为 则)一A十B=60, 解得B=100, (Asin +B-60, =-受 [ 所以h(t)=40si (-）+1000≤. 所以画数八)的单洞递减区同为（无+2您，吾+）4∈刀不 ②令h≥80，则40sin(号1-）+100≥80，即os [5x+2kx,3π+2kx] (k∈Z).(不要忘记加周期) 5 4w 2w 又0t≤5， 所以<警解得<≤所以-吾= )在区问（受，受）上单调道减，进行分类诗论： 所以当风机叶片端，点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过 情形1 4w (k∈Z), 程中，点P高地面的高度不纸于80m的时长为号、 {<+ 跟踪训练3)ACD[根据题意可得g(x)=m(受x十9 每得2售+号<o≤2+（∈ZD, 5 号)因为g)的最小正周期为，所以 2π =元，因为w>0,1 由。>0得2+6>0，>-子 2 由售+号<2+，解得长子 所以a=4,即R)=c0s2z+g一智)，又(x)为奇画数，所以 所以k=0或k=1, 所以是<o<2或彩<w<0: 5π+2kr≤5π】 所以当=-2时9=-吾，所以g《)=m(2x-吾-) 情形2： 4 +。2'k 元3π12kπ -sin2x,f)=co(4红-吾)对于A,当x=吾时，f(若） (22w c0(4×吾-吾）=0，所以点（答，0）是）图象的一个对称中 解得+<<3十，（∈0 由w>0得3十4k>0,解得>-3 心，故A正确：对于B令2x<一晋<x+2,k∈Z解得员+受 尚誉+3<3十4，解得k长0， ≤≤经+经k∈易知(0，）不是[贤+经+引 所以k=0,所以w=3. ∈Z的子条，放B错误：对于C,g(x)≥号，即-sim2x≥合，得 综上w的取值范图号，2]U3U号小故选N m2x-子则-要+2张≤2x<-吾+2：k∈7：解得kx- 答案A 晋≤x-音：长，就C正确：对子D, 跟踪训练1B[令受+2x≤x十吾≤要+2kx,k∈乙.则 2 y=⑤ 在同一直角坐标系中分别画出1=（受） (受+2<<（号+2e.所以）[（晋+ /T o(2x-看）与%=g(x)=-sin2x在[0， 2(弩+2x)门∈z上单调递减，因为x)在区同（受， y2=g(x) π]上的图象，如图所示，通过图象可知，两函数图象在(0，π)上共！ 2十4k, 有2个交点，故D正确.] π上单调递减，所以有 2=n(合-受）+6（答案不唯一）[设y=Asin(+g+ (+≥ o+26. B以A0,w>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=2,所以a= 长乙，又0>0，所以当=0时，号<<分] 受，所以y=im(受x十9十6，因为当x=1时y=6,所以6= [例】解析x∈(0，受 sin+9)十6，结合表中数据得2十9=2x,k∈，可取g= 0指>0时+音∈（管·受+） 至，所以y=s血（受x-）+6.] 若)在(0，受）上有两个极小值，则fx)至少有4条时称轴， 不满足题意： 423