4.5 三角函数的图象与性质-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

2ae(o,）2a+音∈（管） 在[0,2]内，满足n=0s的z为子，平，再结合正滨，金孩 又f(a)= 西数的周期是2，所以原面教的定义城为[2x十誓，2+引 (k∈Z). 方法二要使函数y=√sinx一cosx有意义， 则inx-c0s20,即En(-买）≥0… 2a+号(5 即2kr≤x— 交≤2kx十x(k∈Z), 4 (+到（图=9 解得2+<≤2+平k∈7， sin 2a-s [(a+)-] 即原画数的定义城为[2x+兰，2x+]∈》， =sin(2a+）as吾-cor(2a+）sin音 答案【2x+芹，26x+]∈D (2)解析 因为z[后]所以m【-合小又y=3 6 跟踪训练3 【 [因为f代)=sisin+等）-月 sin -2cos-3-sin -2(1-sin)2(sin 所以当sinx= 子时，ym=，当nx=-号sin=1时， 7 2 sin xcos ×1g+92x-十-n2- 如m=2.即所求画数的值城为[后2小 2 4 cos 2x= 答案【 ] 跟踪训练1(1)B[因为-平≤x≤平且x≠0，所以平≤受 §4.5三角函数的图象与性质 必备知识·整合 <要且受一≠受，所以函载y=a(受-的值城为（一0， -1]U[1,+oo).] 1.(1)(x,0) -）2-1）（警） [设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x 2{≠x+受}[-1.[-1山R2红2ag 奇函 2 2simo,sin o=.且-反≤<厄.∴y=-号++ t 2 数偶函数 [2-受，2x+] [2kx-元，2kπ] kx- 名-一合4-12+1.当1=1时a=1,当1=-区时m 吾x+) [2a+受，2x+] [2kx,2kx十x](kπ，0) 乞反通数的位城为[之-小门 (x+受 =x十受 x=kπ [例2习1)解析：f)=sm(2x-晋)+1 L自主诊断] 1.(1)×(2)×(3)×(4)× )的最小正月期T=要=，A正确； 2.ACD[对子A,西数f(x)=tan(2x-）的最小正周期T= :sm(2×否-）-0画数f心)的图象关于点（后对 受所以A正瑞：对于B令2x一至≠受十∈Z得2≠爱+ 称，B错误； 经，A∈，即画数fx)的定义城为{r子誓+受，k∈小，所以B 又in(2×晋一晋)=1画数f)的图象关千直线x=晋对 称，C正确： 错送：对于C,令2x-至-受kE乙，解得=君+年E乙所以 令f)=0得sin(2红-晋）--1， 高数)的图象关于点（经+苔0）k∈Z对称，所以C正确： 2x-吾=-受+2mk∈Z 对于D,令6x-受<2x-晋<kx十受，k∈，解得经-吾<< 江=-歪+k,k∈乙， 经+警∈乙此函数x)的单洞递增区间为（经-吾，受+ 又[02-晋晋 器）k∈么所以D正确] ∴f(x)在[0,2x]内有2个零点，D错误. 答案AC 3[瞪+，+]∈刀[由受+2≤2x-吾<竖+x, (2)解析由题意可知，f(x)的定义域为R, k长乙.解得受+x长<竖+，k长么故)的单词道减区间 若f代0)=c0s9=0,可得g=受十kx,∈乙， 是+x,晋+]ED.] 若为偶数，则fr)=cos(r+受+kx [由x[0,]得x+晋∈，]所以y= =co(+受）=一smx为奇画数： (+)的位城为号引 若为奇数，则f(z)=c0sx十乞十x) 关键能力·突破 =-cos(x+）=sinx为奇通数， [例1](1)解析。方法一要使函数有 即充分性成立： 意义，必须使sinx一cosx≥0.在同一直 若f(x)为奇函数，则f(0)=0,即必要性成立. 角坐标系中画出[0,2x]上y=sinx和y 综上所述，“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的充要条件 =cosx的图象，如图所示. y=sin x 答案C 420 跟踪训练2a)B[由题意得，21am(a一吾）=0，则a-吾=[例a懈析由画教)=s血or+as=2(ar十号） kx(k∈)，故a=kr十工(k∈Z. 又>0，则k=0时，anm=行.故选B] 1 (2)AC [f()=3sin ox-cos a= 又f(x)在区间[a,b]上单调递减，w>0, 2m。x一）因为函数国象的两条相年对称轴之同的距高为 所以m+吾-爱+2x,∈76+音-5+2x,∈7 两式相减，可得w(b-@)=罗，因为b-u=受， 受，所以T=受，则T=元，所以T-=，解得=2,所以 2 所以ω=3 )=2s(2红-石)故A正确：显然，函教)为非寺非偶函数， 答案C 故B错误：对子C选项，f(一)=2in2×(一)一若] (2)解析方法-（反子集法）：因为x∈（受，x,所以x十 2sin（一)=0，所以函数)的图象关于点（一管0）对称，故C 平∈（受+平+）因为f()在（受，上单调递减，所 正确：对于D选项，f()=2n(2×受-晋）=2m(吾) 以+≥受+2， 一1，所以函数代x的图象不关于直线工=2要对称，故D错误.] 3 (3)C[若0在定义战内，由x=0时，y=0,得p=kπ(k∈Z);若0 o≥4k+合k∈ 不在定义城内，由z=0时，an9无意义，得9=x十受(k∈. 解得 {o≤2k+,k∈ 又>0，k∈乙，所以k=0,此时子≤ow≤ 综上9=经(k∈Z.] .选D [例3]（1)解析八)=sim号-2x的单调递减区间是g(x)= 方法=（子集法）：由26x+受<+至≤2x+经，6∈Z.得2海+ si(2x-受）的单调递增区间。 由2kr-受≤2x-号≤2x+受，k∈Z, 因为f(x)=sin(ar+干)在（受，）上单调递减，所以 得红一是<<a+受，∈Z 2k+≤ Aw 2 ≥4+1 2 2k+5≥， 解得 2k+5 因为k∈Z,w>0,所以=0， 故所求函纸的单词递减区同为[红一音6x+】五 w4w 所以？<<号，即的取值范国为[2，]故选D 答案D ans=晋小 跟踪训练31B[省x∈(0受）时-吾∈（·）远 “Km在[0上的单润递减区问为[，利[晋] 数)单洞递减，故A不满足题唐：当x∈(，晋)时，x 答案【x一x+∈z【和刺[竖] 吾∈（号智）函数)单润递增，故B满足题意：当∈（肾。 (2)解①由f(0)=之得c0s9=2, )时一章（停得）函数)在（肾·晋）上不单调，故 g∈[0，x).p= C不满足题意：当xe(艺，2x时x-吾∈(，）函数f() ②由①得f)=cos(2z+）: 在（警2上不单洞，故D不满足题意.] 所以g)=co(2x+)+co[(-看)+】 (2)A[由题意可知，直线1=6是由线)=Asim(行十9）+k的 =ca(2x+）+cos2a 一条对称轴， cos 2. in os 所以6X吾十9=2kx十受，∈乙. 3 即9=2kx-受，k∈么又-<<0， -2 cos 2- =6cor2x+） 所以g=-受，所以y=Asim(-受）+=-Acos(+k 因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以A十k=32”①。 所以g(x)的值域为[一3,3]. 令26x≤2x+看<2x十k∈1，解得x一音<≤x+员， 又当1=2时y=-1,所以-Aos(答×2）十=-1，所以A 2k=2 k∈Z, 由①②解得A=22,k=10, 所以g(x)的单调递减区间为x-臣，kx+是(k∈： 所以y--22o(若十10，则当1=12时， 令2km-x≤2x+石≤2k元，k∈Z, y=-2c(若×12）+10=-12.故选A] 解得标一2≤<x-是k∈乙， (3)(0,司)[因为函数f)=sin(ar-受)o>0)图象的相 所以尽)的单调持区间为[一x一]∈。 邻两条对称轴之门的距离为受，所以语×号-受，解得。=2，即 421 )=n(2x一音），因为x)在（一mm)上单调递增，且m> y=n(2:一)的国象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍， 0.所以函数)=m(2x）的单调增区间包含0，令-吾≤ 得到)=如红一晋）的国象，再把所得各点向左平移号个单位 12 益所 长度，得到y=sinx的图象，D正确.门 π (2)A[将画数y=1am(r-受）。>0)的图象向左平移否个 m12 以 一m≥ ，故m的取值范国为(0，]门 单位度后，可得)=m(+)受]-a(十 12 m>0, w一受）将数y=a(a-受)。>0)的盟象向右平移音 §4.6函数y=Asin(wx十p) 必备知识·整合 个单位长度后，可得g)=tm(-音）-受]-1am(r 1.2x w 看。受}因为画教x)与g《)的对称中心重合，所以（晋 3.1gl 10 A ）-(看。受）=经∈Z.即晋0-经∈Z.解得w=坠 [自主诊断] 1.(1)×(2)/ (3)×(4)/ k∈Z.又因为w>0,所以u的最小值为号.] 2C[由题意如A=2=子-初湘为-] [例2](1)解析 根播题中国象如公分： 3.a2z+是 [g=+）=a(+)+引 所以A=2.6=2,T=4×(晋-晋）= 3m(2x+是 所以u=2红=2， 4y=5sim(答x+）十10，x∈[6,14)[从题图中可以看出，从 又画数国象经过最高点（答4 6~14时的图象是函数y=Asin(x十g)十B的半个周期，： 则合房 代入画数f)=2n(2x+g)+2得m2×吾+g)-1, 所以A=号×15-5)=6，B=×(15+5)=10.又× 因为p<受，所以9=百， 14-6,所以w-京又音×10+9=2x+2,k∈Z.0<9K,所 所以f)=2sin2x+香）+2. 答案D 以g-平，所以y=5sn(管+）)+0x∈[6.11.门 (2)解析由题图可知，A=2,设函数f(x)的最小正周期为T,则 关键能力·突破 子音-()吾所以T号二解得。3湖) [例1]1)解析y-2sinx=2cos(-受）将y=20(x-） 2sin3r+p以.由f(-)=2(-至+g）=2,可取g=平，则 的图泉上所有点的横坐标缩短到原来的？，纵坐标不变，得到函 ）=2s(3红+）/（管）=2sm(3x音+）=2sim平 数y=2c0(2x-受）的图象，弄将所得图象向右平移歪个单位 答案B 长度，得到岛技y=2m一）号】-2m(2:一)的园跟装训练2(1BC[由题国如子-警-吾-受得T=,的 象，故A正确，B错误：或将函数)=20(-受）的图泉向右平 侣=所以。=士2，不坊取。=2.又图象注点（否0）由“五点 移后个单位长度，得到函教y=2os(-后-受)=2@(- 法”，结合图象可得g叶于=x,即g-否所以snur十p=s2x叶 )的园象，再特所得国象上所有点的被生标端短到原来的？ 1 )故A结送：由n(2x+)=n[-(管-2刘门 得到画数y=2o(2r-)的图象.故C.D错误。 sin管-2)知B正确：由n(2x+）=n(2+受+）= 答案A 2)解析将函数f八x)=2sim(2x-）的图象向左平移m(m> os(2z+若)知C正病：由sin(2x+)=m(2z+看） 0)个单位长度，得到函数y=2sm(2x+2m一吾）的国象，因为所 o[+(2x-)门-c0(晋-2)知D错误.故选c] 得图象关于原点对称，所以2m-否=x,k∈乙，解得m=晋+ (2)而si子+石）[由题知，函数)的最小正周期T满 经，k∈Z,当质=3时，m=吾+要=要。 =w-=号-1=，解得T=6,所以w=由图 足 答案D 象与x轴的交点M(号0）得吾×号十g=x+2x(EZ》,因 跟踪训练1(I)BD[要想得到y=sinx的图象，y=sin2x- 为g<受，所以9=吾，即f代)=Asin牙x+石)所以fx) )的图象上所有点的横坐标需扩大到原来的2倍，故排除A 的图象与y轴的交点为N(0,会)因为NMLNP,所以， C,将y=sm(2红-）的图象上所有点先向左平移无个单位长 度，得到y=如[(+)-】=n2x的园象，再把所得各 市-（位一）()号华=0：解得A=-而（会 点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y=sinx的图象，B正确：将！ 去)浅A=而，所以f)=而sim(答x+若）门 422第四章三角函数与解三角形 题型三三角恒等变换的综合应用 /思维升华/++++++++++++++ [例5](2025·湖北重，点高中联考)已知f(x)= (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数 sin(2x-5）+2simx-)·cos(x+3）) 名称、变结构，尤其是角之间的关系：注意公 式的逆用和变形使用 (1)求f()的值： (2)形如y=asin x十bcos x化为y=√a2+b （2②若锐角a满足/)-求sn2a的值 sin(x十p),可进一步研究函数的周期性、单 调性、最值与对称性， 听课记录] 跟踪训练3 已知f)=sin zsin(x+）-, 则f(x)的值域为 温馨提示 请做课时分层检测（二十九） §4.5三角函数的图象与性质 【课标要求】1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.3.借助 图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2]上的性质及正切函数在（一受，）上的性质。 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 值域 (1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中， 最小正 五个关键点是：(0,0)，（受， 周期 ,(2π，0) 奇偶性 奇函数 (2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中， 单调 五个关键点是：(0,1)，（受，0） 递增 ,(2π，1). 区间 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中k∈ 单调 Z) 递减 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 区间 y 对称 中心 图象 罗 对称轴 方程 定义域 R R 零点 kr,k∈Z m+8k∈z kπ，k∈Z 83 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 【自主诊断】 :4.函数y=cos(x+)x【0,]的值域是 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 “X”) 【微点提醒】 (1)函数y=sinx,x∈[0,2π]，y=cosx,x∈[0， 2π]的五个关键点是零点和极值点， :1.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的 (2)函数y=cosx在第一、二象限内单调递减. 常用结论 ( (1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、 (3)函数y=tanx图象的对称中心是点(kπ，0) 相邻两对称轴之间的距离是2个周期，相邻的 (k∈Z). ( (4)y=sinx|与y=|sinx|都是周期函数. 对称中心与对称轴之间的距离是个周期 ( (2)若y=Asin(ox十p)为偶函数，则9=x+受 2.(2026·泰州调研)已知函数f(x)=tan2x (k∈Z):若为奇函数，则p=kπ(k∈Z). )下列结论正确的是 (3)若y=Acos(wx十p)为偶函数，则p=kπ(k∈ A函数(x)的最小正周期为受 Z):若为奇函数，则9=x十受(k∈Z). B.函数)的定义城为{xlx≠经+营k∈Z 2.谨防两个易误点 3 (1)要注意求函数y=Asin(ux十p)的单调区间 C函数图象的对称中心为+晋0)∈Z 时A和w的符号，尽量化成w>0的情况，避免出 D.函数八x)的单润递增区间为（受-音·受十 现增减区间的混淆。 ）kez (2)对于y=1anx,是在每个区间(km一变，kx十 3.(湘教必修一P186T5(1)改编)函数f(x)= )(k∈2)上单调递增，不能认为其在定义域上 2m2:一爱引a∈K的单调递减区间是 为增函数. 口关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一三角函数的定义域和值域 [听课记录] [例1](1)函数y=√sinx-cosx的定义域为 (2②)(2026·合肥质检)当x∈[后]时，函数 y=3-sinx-2cos2x的值域为 精品教辅·智慧人生 84 第四章 三角函数与解三角形 +/思维升华/++++++++++++++ C.充要条件 (1)三角函数有关定义域的求法：根据函数 D.既不充分也不必要条件 解析式的特征列出与三角函数有关的不等 [听课记录 式，借助三角函数性质及图象求解，与正切 函数有关的定义域，要注意正切函数本身的 定义域。 (2)三角函数值域的不同求法 ①把所给的三角函数式变换成y=Asin(wx +/思维升华/++++++++++++++ 十P)的形式求值域. (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数 ②把sinx或cosx看作一个整体，转换成二 一般可化为y=Asin a.x或y=Atan wr的形 次函数求值域 式，而偶函数一般可化为y=Acos wx的 ③利用sinx士cosx和sin xcos r的关系转 形式 换成二次函数求值域 (2)周期的计算方法：利用函数y=Asin(wz +m十+m十++十+m十+十+m++ 跟踪训练1(1)函数y=an(受-x)(x∈ 十p),y=Acos(ux十g)(w>0)的周期为2x wU [-平，引且x≠0)的值域为 函数y=Atan(wx十9)(w>0)的周期为灭 求解。 A.[-1,1] (3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为 B.(-∞，-1]U[1,+∞) f(x)=Asin(ax+)f(x)=Acos(wx+ C.(-∞，1] D.[-1,+∞) p)形式的函数，令ax十9=行+k元或ux十 (2)(2026·天津部分区模拟)函数y=sinx一cosx p=kπ(k∈Z). 十sin xcos x的值域为 跟踪训练2(1)(2025·全国I卷，4,5分，易) 题型二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 [例2](1)（多选）(2026·淄博模拟)已知函数 已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图 f(x)=sin(2x-)十1，则下列结论中正确的是 象的一个对称中心，则a的最小值为 A. B.5 C. n.号 A.函数f(x)的最小正周期T=元 (2)(多选)(2026·黄山模拟)已知函数f(x)= B.函数f(x)的图象关于点（石，0）对称 √3 sin w.x一cosx(w>0)图象上相邻两条对称轴 C函数x)的图象关于直线x-登对称 之间的距离为乏，则 () D.函数f(x)在区间[0,2π]上有4个零点 A.w=2 (2)(2026·西安模拟)已知函数f(x)=cos(x+ B.函数f(x)为奇函数 P),则“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的 ( C.函数f()的图象关于点(-受0)对称 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.函数f(x)的图象关于直线x=2π对称 85 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 (3)(2026·广州模拟)若函数f(x)=Atan(u.x十 [听课记录] p)(Aw≠0)为奇函数，则9等于 ( ) A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z) C经(k∈z) D.(2k+1)π(k∈Z) 题型三三角函数的单调性 /思维升华/++ 命题点1求三角函数的单调区间 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y=Asin(wx十p)或y=Acos(wx十p) [例3]（1)函数f(x)=sin(号-2x)的单调递减 （其中w>0)的单调区间时，要视“wx十p”为 区间为 ;在[0，π]上的单调递减区 一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0， 间为 可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单 (2)(2025·全国Ⅱ卷，15,13分，中)已知函数 调性弄错， (2)已知三角函数的单调区间求参数 f(x)=cos(2x+p)(0≤p<π)，f(0)= 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的 ①求9： 关系求解。 ②设函数g(x)=f(x)+f(x-）求g(x)的值 跟踪训练3 (1)下列区间中，函数(x)= 域和单调区间 一2sim(x-5)单调递增的是 [听课记录] A(o,) B(, c,到 D.(,2 (2)(2026·重庆名校联盟第一次联合考试)某地 命题点2根据单调性求参数 区2024年全年月平均温度y(单位：℃)与月份1 [例4](1)(2026·广州模拟)若函数∫(x)= 之间近似满足y=Asim(答十9)十k(A>0,一元 sin or十√3 cos wx(w>0)在区间[a,b]上单调递 <<0).已知该地区2月份的月平均温度为 减，且f(a)=1,f(b)=-1,b-a=罗，则w等于 一1℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且 平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度 A号 c号 为 () B.1 D.2 A.-12℃B.-10℃C.-9℃D.-6℃ (2)(2026·石家庄调研)已知w>0,函数f(x)= (3)(2026·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)= sin(ax+T）在(，x)上单调递减，则w的取值 sin(ox一）(o>0)图象的相邻两条对称轴之间 范围是 的距离为2，若f(x)在(-m,m)上单调递增，则 A.(0,2] B(o引 正数m的取值范围是 c2,别 D2别 温馨提示 请做课时分层检测（三十） 精品教辅·智慧人生 86·