4.4 简单的三角恒等变换-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

=cos20°-2sin(30°+20°) sin20° 跟踪训练3(1)-2[0os70-os20°-0s(90°-209)-cos20° c0s65 cos 65 os 20 c in 20 sin20°-cos20° sin20°-cos20 os5+207os46c0s20-n45n20=-2.] sin20° =-5 (2)A[周为0（至，）所以0+要∈（管，）又sim(时 答案D 跟踪训练1（)B[根据题意有os asin a=5,即1一1ana )专，所以m(叶)=号则m(叶）=-专，所 cos a 3 9,所以m。=1-号所以an(e+牙) tan a+1 以an0=tan(0+至-） l一tana √3 3 =7.] 2√3-1，故选B.] §4.4简单的三角恒等变换 (cosa-sina） 必备知识·整合 (2)C[由题意，得 2 (eosa+sin) 1-tana=3,所以tana=:l.(1)2 sin acos a (2)cos2a-sin2a 2cos2a-1 1-2sin2 a 1+tan a 2 a品 + :[自主诊断] 1-() 3· 1.I)×2)W(3)W(④0W [例2](1)解析f(x)=3sinx十4cosx=5sin(x十g), 2.BD[对于A.ma音in(2×)n=不 其中1am9=专sin9=专，as9=号. 特合道意：对于B,0as吾-sin吾=c0s晋-号，特合道意：对 当x=0时，f(x)取得最大值， 于C, an ∴9+9=变+2km,k∈乙，即0=吾+2hx-9,k∈Z 1-1an2 am(2x）=an牙=，不合题 ca(p+晋）-co(受+2x-g+) 意：对于D,2c022.5°-1=c0s5°=9，符合题意.] =(-9）=ososg叶sinn9 3 3.C[因为sina=5, sin a= ,cosa=25,所以tan2=1十cosa习 5 = 5-2.] 答案C 14.2L由tan2a= (2)解折因为tan(70°+50)=an70土tan50 品。一青件2m。-n。-2=0,解得 1-tan 70%tan 505=tan 120= -3,所以tan70°+ian50°--B+3an70tan50,所以an70+ tama=2减ana=-(含去).] tan50°-√3tan70°tan50°=-√3. 关键能力·突破 答案一√3 [例1](1)解析由题意可得tan(a十B)= tan a+tan 8=2(tan a+ 1-tan atan B 跟踪训练2（1)受[因为sima十Fcosa=2si(a+号）-1，所 tanB),因为ana十tan月≠0，所以tan atan B=之 以sin(e+）=之又ae0,,所以a+音∈（号）所以 (tan atan B-sin asin B_】 由 cos acos B 2 +-所以=登 {eos(a-0=计in产g tan10°+tan50° (2)W5[因为tan60°=an(10°+50)=am101m50,所以 mng= 得 tan10°+tan50°=tan60°(1-tan10°tan50)=√3-√3tan10°tan50°， cos acos B= ,故cos(a+》=co月sin asin月=号，所 2 所以原式=√3-√3tan10tan50°+√3tan10°tan50°=√3.] [例3)山D解析由a∈（至，受）得a+平∈（受，），则 以cos(2a+23)=cos[2(a+3)]=2cos2(a+B)-1= 23.故选C 251 答案C o(a+）=1-m(e+)=-g,osa (2)解析 (1+oos 2a)(2sina-1)tan o[(e+）-】-(e+）o+如(e+)m受 ×号+×号- =2c0s2a(-c0s2a） tan 2 答案A tam2号-1 2)解析因为sna=25,sin(g-a)=-,且e,P均为锐 cos2acos 2atan a=sin acos acos 2a 5 10 角，所以-受<g<登.又sm（g-a<0,所以-晋<g一a<0, =7s2acas2a=sin4 所以os(月-a)>0.所以c0se=5eos(g-a=3①，所以 答案子sim4a 10 sin B=sin[a+(B-a)]=sin a.cos(B-a)+cos a.sin(B-a)= 跟踪训练11B[os(2a+）=cos(2a+子+x=-cos(2a 5 10 +)=2㎡(a+）-1=- 选C. 答案C (2)-c0s号[因为<a<2x,所以<号<x,所以os>0, 418 0<a<,sina=个-c0sa= 51 1 √+2cos2a- V 2 2√(1+os2a) √+=√ 1 答案`D 2 cos a [例4幻解析 因为sina 10 ,且a为锐角， √合1+os= cos2 a 2 =-cos.] 所以cosa= √1-sina= 2_7√2 2π 2π √1-00=0， [例2](1)解析 1 cos 5 1 cos 5 因为0s9=3四，且月为锐角， 3π 2cos5 4π 10 cos5 -2c0s 2π 5 所以sinB= 9010 -c0s4红+2c0s22红 5 -(2cos22-1+2cos22 √1-os2B=√1-100=10 5 2c0s2元 ,4π 则sin29=2sim9os日=2××3西-3 101 10 5 1 cos 28=1-2sin2 B=1-2X 10\ 4 10 =5 所以os(a+29)=cos acos28-sin asin29=0X-2X 10 sin sin sin答 2nsos 1 -9 、 因为∈(0，）c(0,）所以28e(0,x). 2sim 号 =-2 所以e+29c(0,）故a+2F=平 答案D 答案干 (2)解析 Cos18° 跟踪训练2(1)告 [方法一（先化简后求值）： cos 2x cos36√1- 2 os+) sin 72 cos36°·√1-sin18 os3=sim工=(cosx+smx)=2o(牙-由0<r< sin72° 2(cos z-sin x) cos36°·√1-c0s72 2sin36°cos36 子得0<冬-至，所以（至-=√-n(受- cos36°·/1-(1-2sin236) 2sin36°cos36° =1-()-是所以原式=2x号-器 =√2 cos36°·√2sin36 答案2 方法二（先局事后整袋）：0（停+-[受-（至-门 [例3](1)解析方法-因为o(石+@）-方， 所以如（晋+2则-如受+（停+2知] 1-m(至-√1-()-号所以s2红 co(答+2a）=2ms(f+d）-l (登-2=2n(臣-)·o(年--2×是×号 =2x()°-1=器 器所以2×-] 方法二（换元法） 令1=+a,则a=吾，s1=号 (2)50[g为1+5=血8080-2血0+60 sin 80 sin 80 2sin140° sin 40 所以m(晋+2)=晋+2(-)川 2sn40co40。n40co40 -cos 40sin 50sin a' 所以sina=sin50°，又因为a为锐角，所以a=50°.] =sinm+2y）=cos2=2cos21-1=- [例6】解1)由题意得f)=sim(2x一）+2sinr-F） 答案C (2)解析方法一 0a0号<受 cos) 又cos2 =如(x）-2sm(-)[一(+)门 5 sim号√1-cos2号√1- =sim(2a-）-25sim(r-）o(z-） 55 4 六sima=2sincos-，osa=o号-si号 =如(x-）-sn(2红-受） (）竖(a。=9×(告+号）=故 -sin 2. 选D. =s2x+号s2 5 =(x+晋) cosa=2co3号-1=-号 故f(晋)=m(2×登+)=0， 419 2ae(o,）2a+音∈（管） 在[0,2]内，满足n=0s的z为子，平，再结合正滨，金孩 又f(a)= 西数的周期是2，所以原面教的定义城为[2x十誓，2+引 (k∈Z). 方法二要使函数y=√sinx一cosx有意义， 则inx-c0s20,即En(-买）≥0… 2a+号(5 即2kr≤x— 交≤2kx十x(k∈Z), 4 (+到（图=9 解得2+<≤2+平k∈7， sin 2a-s [(a+)-] 即原画数的定义城为[2x+兰，2x+]∈》， =sin(2a+）as吾-cor(2a+）sin音 答案【2x+芹，26x+]∈D (2)解析 因为z[后]所以m【-合小又y=3 6 跟踪训练3 【 [因为f代)=sisin+等）-月 sin -2cos-3-sin -2(1-sin)2(sin 所以当sinx= 子时，ym=，当nx=-号sin=1时， 7 2 sin xcos ×1g+92x-十-n2- 如m=2.即所求画数的值城为[后2小 2 4 cos 2x= 答案【 ] 跟踪训练1(1)B[因为-平≤x≤平且x≠0，所以平≤受 §4.5三角函数的图象与性质 必备知识·整合 <要且受一≠受，所以函载y=a(受-的值城为（一0， -1]U[1,+oo).] 1.(1)(x,0) -）2-1）（警） [设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x 2{≠x+受}[-1.[-1山R2红2ag 奇函 2 2simo,sin o=.且-反≤<厄.∴y=-号++ t 2 数偶函数 [2-受，2x+] [2kx-元，2kπ] kx- 名-一合4-12+1.当1=1时a=1,当1=-区时m 吾x+) [2a+受，2x+] [2kx,2kx十x](kπ，0) 乞反通数的位城为[之-小门 (x+受 =x十受 x=kπ [例2习1)解析：f)=sm(2x-晋)+1 L自主诊断] 1.(1)×(2)×(3)×(4)× )的最小正月期T=要=，A正确； 2.ACD[对子A,西数f(x)=tan(2x-）的最小正周期T= :sm(2×否-）-0画数f心)的图象关于点（后对 受所以A正瑞：对于B令2x一至≠受十∈Z得2≠爱+ 称，B错误； 经，A∈，即画数fx)的定义城为{r子誓+受，k∈小，所以B 又in(2×晋一晋)=1画数f)的图象关千直线x=晋对 称，C正确： 错送：对于C,令2x-至-受kE乙，解得=君+年E乙所以 令f)=0得sin(2红-晋）--1， 高数)的图象关于点（经+苔0）k∈Z对称，所以C正确： 2x-吾=-受+2mk∈Z 对于D,令6x-受<2x-晋<kx十受，k∈，解得经-吾<< 江=-歪+k,k∈乙， 经+警∈乙此函数x)的单洞递增区间为（经-吾，受+ 又[02-晋晋 器）k∈么所以D正确] ∴f(x)在[0,2x]内有2个零点，D错误. 答案AC 3[瞪+，+]∈刀[由受+2≤2x-吾<竖+x, (2)解析由题意可知，f(x)的定义域为R, k长乙.解得受+x长<竖+，k长么故)的单词道减区间 若f代0)=c0s9=0,可得g=受十kx,∈乙， 是+x,晋+]ED.] 若为偶数，则fr)=cos(r+受+kx [由x[0,]得x+晋∈，]所以y= =co(+受）=一smx为奇画数： (+)的位城为号引 若为奇数，则f(z)=c0sx十乞十x) 关键能力·突破 =-cos(x+）=sinx为奇通数， [例1](1)解析。方法一要使函数有 即充分性成立： 意义，必须使sinx一cosx≥0.在同一直 若f(x)为奇函数，则f(0)=0,即必要性成立. 角坐标系中画出[0,2x]上y=sinx和y 综上所述，“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的充要条件 =cosx的图象，如图所示. y=sin x 答案C 420高三总复习·数学 +/思维升华/+++++++++++++ 跟踪训练3（)os70°-cos20°_ (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表 cos 65 示为两个“已知角”的和或差的形式 (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表 (2)已知0e(于，)，且sin(0+)=青则an0 示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或 等于 者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. A.7 (3)常见的角的变换：2a=(a十3)十(a一B),a R营 42,晋+a=受-（晋-小a=a+m 2 C.7 n号 (a-m+B(+a)+(T-=等. 温馨提示 请做课时分层检测（二十八） §4.4 简单的三角恒等变换 【课标要求】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单 的恒等变换（包括推导出积化和差，和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆） 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》》 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 :4.和差化积公式 (1)公式S2a:sin2a= (1)sin 0+sin o=2sin 2 (2)公式C2a:cos2a= (2)sin 0-sin =2cos 2 2 (3)公式T2a:tan2a= (3)cos 0+cos o=2cos 0os0 2 2 2.半角公式（不要求记忆） 0fesin0 (4)cos 0-cos p--2sin 2 2 sin号=士 1-cos a cos =士 1+cos a 2 【自主诊断】 1-cos a 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 tan 2 =士 1+cosa 符号由号所在象限决定。 “X”) 3.积化和差公式 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是 2[cos(a+B)+cos(a-B)J; 1 (1)cos acosβ= 任意角 () (2)存在实数a,使tan2a=2tana. () 1 (2)sin asin B=- 2Lcos(a+B)-cos(a-B)J; (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余 弦公式逆求得来的， (3)sin acos B=- j[sin(a+8+sin(a-B]s (4)cos2号=号（1+cosa,cos3a=1-2sin23g 22 2 (4)cos asin B= 1 [sin(a+B)-sin(a-B)]. 精品教辅·智慧人生 80 第四章三角函数与解三角形 2.(多选)（人教A版必修第一册P223练习T5改 (3)sin2a=1-cos 2a 1+cos 2a 2 cos2a= 2 端)下列备式的值为号的是 tan2a= 1-cos2a.(降幂公式) 1+cos 2a A.sin 1cos 12 B.cossin (4)半角正切公式的有理化 tan 8 tan 2 sin a-1-cos a 1十cosa sin a C. D.2c0s222.5°-1 1-tan2 (5)万能公式 3.(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知 a 2tan 2 1-tan2 a 2 sin a=- cos a=- sin a=5 5,cos a= 25,则tam号 ( 1+tan2 a 2 1+tan2 a 5 A.2-5 B.2+5 2an号 tan a= C.5-2 D.±(5-2) 1-tan2 a' 4.已知tan2a=- 专a∈(x,）,则ama- (6)三角平方差公式 sin2a-sin2B=sin(a+B)sin(a-B); cos2a-sin2B=cos(a+B)cos(a-B). 【微点提醒】 2.运用倍角公式时谨记四个注意点 1.熟记常用的部分三角公式 (1)要注意公式成立的条件； (11-c0sa=2sin2号，1+c0sa=20s2受.（升幂 (2)要注意和、差、倍角的相对性： 公式) (3)要注意升幂、降幂的灵活运用： (2)1sina=(sin号士cos号 .(升幂公式) (4)要注意“1”的各种变形 。关键能力·突破 分类讲练以例求法>> 题型一三角函数式的化简 听课记录] [例1](1)(2026·毫州质检)已知tan(a十B)= 2(tana+tan3),且tana+tanB≠0，cos(a-β)= 号则cos(2a十2p0) ( +/思维升华/+++++++ A.一25 7 23 C. 25 D. 25 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征. (1+cos 2a)(2sin2a-1)tan 2 (2)化简： (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角 tan2 a 十+ 之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找 式子和三角函数公式之间的联系点 十+十+十十+++++++++++++++十+ 81 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 跟踪训练1(1)(2026·石家庄质检)已知 [听课记录] sin(若+a)=号，则coa+)的值为 ( A哥 B-哥 C. D.- 3 (2若<a<2x,化简： 1 1 十2N2 2cos 2a 命题点3给值求角 [例4] c0s月=3，且A为能 已知sina=2 10 题型二 三角函数式的求值 角，则a+23 命题点1给角求值 听课记录] [例2](1)(2026·兰州调研)计算：一 2cos 3π 5 2π cos 5 π cos5 /思维升华/ A.2 B.- 2 C.-1 D.-2 (1)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊 角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊 (2)(2026·宜昌模拟)古希腊的毕达哥拉斯学派 ; 角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利 通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄 用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并 金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 且消除特殊角三角函数而得解 m=2sin18°，则 cos 18 (2)给值求值问题一般是将待求式子化简整 c0s36°. 12 理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然 后根据角的范围求出相应角的三角函数值， 听课记录] 代入即可. (3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数 值，再求角的范围，最后确定角，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余 弦函数值，选正弦或余弦函数； 命题点2给值求值 ②若角的范围是(0，，选正、余弦皆可：若 [例3]（1)(2026·石家庄模拟)已知cos(答十a) 角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围 =，则sin(+2a)等于 ( 为(-22) ,选正弦较好 A C- 25 n器 跟踪训练2(1)(2026·福州调研)已知0<x< (2)(2025·全国Ⅱ卷，8,5分，易)已知0<a<π， im(-=则o24 cos(+) cos -号，则sim(a-) a 5 (2)已知a为锐角，1+ 3 A号 B号 C32 D.7② tan80sina则a= 10 10 精品教辅·智慧人生 82 第四章三角函数与解三角形 题型三三角恒等变换的综合应用 /思维升华/++++++++++++++ [例5](2025·湖北重，点高中联考)已知f(x)= (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数 sin(2x-5）+2simx-)·cos(x+3）) 名称、变结构，尤其是角之间的关系：注意公 式的逆用和变形使用 (1)求f()的值： (2)形如y=asin x十bcos x化为y=√a2+b （2②若锐角a满足/)-求sn2a的值 sin(x十p),可进一步研究函数的周期性、单 调性、最值与对称性， 听课记录] 跟踪训练3 已知f)=sin zsin(x+）-, 则f(x)的值域为 温馨提示 请做课时分层检测（二十九） §4.5三角函数的图象与性质 【课标要求】1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.3.借助 图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2]上的性质及正切函数在（一受，）上的性质。 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 值域 (1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中， 最小正 五个关键点是：(0,0)，（受， 周期 ,(2π，0) 奇偶性 奇函数 (2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中， 单调 五个关键点是：(0,1)，（受，0） 递增 ,(2π，1). 区间 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中k∈ 单调 Z) 递减 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 区间 y 对称 中心 图象 罗 对称轴 方程 定义域 R R 零点 kr,k∈Z m+8k∈z kπ，k∈Z 83 精品教辅·智慧人生