4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 §4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【课标要求】1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. D必备知识·整合 夯实基础回归教材>》> 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 :2.(人教A版必修第一册P218例3改编)若cosa= (1)公式C。-m:cos(a-)= 4 5a是第三象限角则sima+)等于() (2)公式Ca+m:cos(a+)= (3)公式Sa-B:sin(a-)= A.- 10 A将 (4)公式S(a+g:sin(a+B)= (5)公式Ta-②：tan(a-8)= C.-72 10 n得 (6)公式T(a+m:tan(a十)= 3.若2cosa-sina=0,则tan(e-开)等于（) 2.辅助角公式 asin a+bcos a= ,其中sinp= A-司 B C.-3 D.3 Vacos= b a 4.(苏教必修二P55例2改编)求值c0s15°= a2+b2 【自主诊断】 【微点提醒】 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 :1.熟记两角和与差的公式的常用变形 “X”) (1)sin asin B+cos(a+B)=cos acos B. (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，B是 (2)cos asin B++sin(a-B)=sin acos B. 任意的， (3)tana士tanB=tan(a士β)(1干tan atan3). (2)存在实数a,B,使等式sin(a十B)=sina十sinB 成立 ( (4)tan atan =1-tan attantan atan81. tan(a++B) tan(a-B) (3)公式tan(a+3)= tana十tan卫可以变形为 2.谨防两个易误点 1-tan atanβ (1)运用公式时要注意公式成立的条件： tana+tanB=tan(a十B)(l-tana·tanB),且对 (2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范 任意角α，B都成立， 围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角 (4)3sin a+cos a=2sin(a+) 不唯一， 精品教辅·智慧人生 。 78· 第四章三角函数与解三角形 口关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一两角和与差的三角函数公式 (2)tan70°+tan50°-√3tan70°tan50°= [例1](1)已知cos(a+)=m,tan atan3=2,则 cos(a一B)等于 ( [听课记录] A.-3m B一罗 c号 D.3m (2)(2026·厦门模拟)若c0s(140°一a)+ sin(110°+a)=sin(130°-a),则tana等于( A号 B.- C.3 D.-3 +/思维升华/+ (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的 [听课记录] 异同，创造条件逆用公式 (2)tan atan B,tana十tanB(或tana-tanB), tan(a十B)(或tan(a-3)三者中可以知二求 一，注意公式的正用、逆用和变形使用. (3)对asin x十bcos x化简时，要清楚如何求 +/思维升华/++++ 辅助角9的值， (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先 要记住公式的结构特征. 跟踪训练2(1)若sina十√3cosa=1,且a∈(0， (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数 r),则a 值，再代入公式求值 (2)tan10°+tan50+√3tan10°·tan50°= 跟踪训练1 (1)(2026·泰州模拟)已知 题型三 角的变换问题 cos a cos a-sin a 尽，则an(e+) ) [例3] 1)已知sim(a+）=号a∈（于，）则 A.2√3+1 k2原-1c9 D.1-√3 cosa等于 (2若o+ B.3② =3,则an(a+)等于（ 10 c号 n o(- (2)(2026·无锡检测)已知ina=25, 5,sin(B- A.-3 c D.3 a)= √10 题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与 10,a,B均为锐角，则B等于 辅助角公式 5π A.12 B. C 3 D. [例2](1)(2026·南充模拟)已知函数f(x)= 3sinx+4cosx.若x=0时，f(x)取得最大值，则 [听课记录] cos(0+不)等于 B.-72 c号 D 10 10 79 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 +/思维升华/+++++++++++++ 跟踪训练3（)os70°-cos20°_ (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表 cos 65 示为两个“已知角”的和或差的形式 (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表 (2)已知0e(于，)，且sin(0+)=青则an0 示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或 等于 者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. A.7 (3)常见的角的变换：2a=(a十3)十(a一B),a R营 42,晋+a=受-（晋-小a=a+m 2 C.7 n号 (a-m+B(+a)+(T-=等. 温馨提示 请做课时分层检测（二十八） §4.4 简单的三角恒等变换 【课标要求】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单 的恒等变换（包括推导出积化和差，和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆） 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》》 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 :4.和差化积公式 (1)公式S2a:sin2a= (1)sin 0+sin o=2sin 2 (2)公式C2a:cos2a= (2)sin 0-sin =2cos 2 2 (3)公式T2a:tan2a= (3)cos 0+cos o=2cos 0os0 2 2 2.半角公式（不要求记忆） 0fesin0 (4)cos 0-cos p--2sin 2 2 sin号=士 1-cos a cos =士 1+cos a 2 【自主诊断】 1-cos a 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 tan 2 =士 1+cosa 符号由号所在象限决定。 “X”) 3.积化和差公式 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是 2[cos(a+B)+cos(a-B)J; 1 (1)cos acosβ= 任意角 () (2)存在实数a,使tan2a=2tana. () 1 (2)sin asin B=- 2Lcos(a+B)-cos(a-B)J; (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余 弦公式逆求得来的， (3)sin acos B=- j[sin(a+8+sin(a-B]s (4)cos2号=号（1+cosa,cos3a=1-2sin23g 22 2 (4)cos asin B= 1 [sin(a+B)-sin(a-B)]. 精品教辅·智慧人生 80跟踪训练1(1)B[因为sin'x十cosx=(sin2x十cos2x)2- 2 sin2x=1-2sim2xcos2x=之，所以sin2x=子，又x 又a∈(0，受）所以na=号则。=吾 将a=否代入①，得sinB2, 1 ∈(-受，0），所以sinx<0,msx>0,inx-cosx<0,所以 2 sin x-cos 因为e(三，x,所以日=，则B-a= sin zcos z = √(sinx-cosx)z 1-2x()=-.] 答案 √1-2 sin xcos z= 跟踪训练3a)B[因为m(答+a=分，所以co(行-a) ②an=2,则n9a十ina=1+ane=十 1 2sin acos a 2tan a o登-（停+a川-im(+a=方，则s如（语-e） [例2](1)解析由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式！ 得m(紧+a)=n-(答-]-sim(答-o( 习信小 如(- =o受+（后-门-im(后-）小所以m(答+） ±26.] o(肾-a小-㎡(--os(答-d-1=号-1- (2)C[因为z(受所以x计至∈（要，）又m( 故选A )=-,所以+吾∈(，)小所以(+) 答案A (+)=-5故AE确：所以(+） (2)解析 由题意可知1ana=，=a-受 sin(+) 所以tam=tan(-受） cos a sin a o(+) 2故B错误：又o(骨-）-o[受-( coa-） 、1 )门-(+)=-得故c玉确：n(任-)=号 tan a 故选D 3 答案D (+)=o(+) 25,故D错误，] 5 (3)解析方法一 因为cos(至+=子 §4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式 必备知识·整合 所以sn(要-=+（管-] 1.(1)cos acos B+sin asin B (2)cos acos B-sin asin B (3)sin acos B-cos asin B (4)sin acos B++cos asin B =-sm(---(+川 6)a6品品6"号 tan a++tan B =-o(+=-者 2. √Ja2+Fsin(a+p) [自主诊断] 方法二令1=+，则=1一 1.(1)/(2)/(3)×(4)× 所以n(要-刘=要-(-)门=n(受-小 !2.C[因为a是第三象限角，所以sina=一√1-cos2a= 吾所 =-cos1=-c0(+=-3 5 % 答案A 101 跟踪训练2(1)D[sim(3x-a)=sin(x-a)=sina,sin, 3.B[因为2cosa-sina=0,则sina=2cosa,故tana=2,因此， sim(受-号）=cs号，os(受+a）=cas(受+3a） 工方 sin3,os(-2o）=-sin2a.] (2)-1 [原式=-tana·cosa·(-cosa）=tana·cos2a 4 2+⑥ [cos15°=cos(60°-45)=cos60°cos45°+sin60°sin45 4 cos(r+a)·[-sin(π十a)] cosa·sina sin a,cos a -1.] 2+67 sin a 关键能力·突破 im(a+）n(a+) :[例1](1)解析 由cos(a+B)=m得cos acos3-sin asin B=m. [例3](1)解析由条件得 又因为a ① (a-）e sfa+) 由tan atan月=2得sin asin里 cosa0os月2， ② 为能角，所以sim(a-晋）=co(a+晋，即m(a-登) 由①②得了c0 s acos B=-一m, {sin asin B--2m, 所以cos(a-B)=cos acos B+sin asin B=-3m. 答案A 故选C (2)解析因为cos(140°-a)+sin(110°+a)=sin(130°-a), 答案C 所以-sin(50°-a)+cos(20°+a)=sin(50°+a), (2)解析 由题意得∫cosa=√3sinR, 即-sin50°cosa+cos50°sina+cos(20°+a)=simn50°cosa+ cos50°sina, -3sina=cos月，② 所以cos20°cosa-sin20°sina=2sin50°cosa, 由①2+3×②2得，cos2a+9sin2a=3, 即(cos20°-2sin50°)cosa=sin20°sina, 又cos2a十sm2a=1,所以sim2a=子， 所以tana=cos20-2sin50 sin20° 417 =cos20°-2sin(30°+20°) sin20° 跟踪训练3(1)-2[0os70-os20°-0s(90°-209)-cos20° c0s65 cos 65 os 20 c in 20 sin20°-cos20° sin20°-cos20 os5+207os46c0s20-n45n20=-2.] sin20° =-5 (2)A[周为0（至，）所以0+要∈（管，）又sim(时 答案D 跟踪训练1（)B[根据题意有os asin a=5,即1一1ana )专，所以m(叶)=号则m(叶）=-专，所 cos a 3 9,所以m。=1-号所以an(e+牙) tan a+1 以an0=tan(0+至-） l一tana √3 3 =7.] 2√3-1，故选B.] §4.4简单的三角恒等变换 (cosa-sina） 必备知识·整合 (2)C[由题意，得 2 (eosa+sin) 1-tana=3,所以tana=:l.(1)2 sin acos a (2)cos2a-sin2a 2cos2a-1 1-2sin2 a 1+tan a 2 a品 + :[自主诊断] 1-() 3· 1.I)×2)W(3)W(④0W [例2](1)解析f(x)=3sinx十4cosx=5sin(x十g), 2.BD[对于A.ma音in(2×)n=不 其中1am9=专sin9=专，as9=号. 特合道意：对于B,0as吾-sin吾=c0s晋-号，特合道意：对 当x=0时，f(x)取得最大值， 于C, an ∴9+9=变+2km,k∈乙，即0=吾+2hx-9,k∈Z 1-1an2 am(2x）=an牙=，不合题 ca(p+晋）-co(受+2x-g+) 意：对于D,2c022.5°-1=c0s5°=9，符合题意.] =(-9）=ososg叶sinn9 3 3.C[因为sina=5, sin a= ,cosa=25,所以tan2=1十cosa习 5 = 5-2.] 答案C 14.2L由tan2a= (2)解折因为tan(70°+50)=an70土tan50 品。一青件2m。-n。-2=0,解得 1-tan 70%tan 505=tan 120= -3,所以tan70°+ian50°--B+3an70tan50,所以an70+ tama=2减ana=-(含去).] tan50°-√3tan70°tan50°=-√3. 关键能力·突破 答案一√3 [例1](1)解析由题意可得tan(a十B)= tan a+tan 8=2(tan a+ 1-tan atan B 跟踪训练2（1)受[因为sima十Fcosa=2si(a+号）-1，所 tanB),因为ana十tan月≠0，所以tan atan B=之 以sin(e+）=之又ae0,,所以a+音∈（号）所以 (tan atan B-sin asin B_】 由 cos acos B 2 +-所以=登 {eos(a-0=计in产g tan10°+tan50° (2)W5[因为tan60°=an(10°+50)=am101m50,所以 mng= 得 tan10°+tan50°=tan60°(1-tan10°tan50)=√3-√3tan10°tan50°， cos acos B= ,故cos(a+》=co月sin asin月=号，所 2 所以原式=√3-√3tan10tan50°+√3tan10°tan50°=√3.] [例3)山D解析由a∈（至，受）得a+平∈（受，），则 以cos(2a+23)=cos[2(a+3)]=2cos2(a+B)-1= 23.故选C 251 答案C o(a+）=1-m(e+)=-g,osa (2)解析 (1+oos 2a)(2sina-1)tan o[(e+）-】-(e+）o+如(e+)m受 ×号+×号- =2c0s2a(-c0s2a） tan 2 答案A tam2号-1 2)解析因为sna=25,sin(g-a)=-,且e,P均为锐 cos2acos 2atan a=sin acos acos 2a 5 10 角，所以-受<g<登.又sm（g-a<0,所以-晋<g一a<0, =7s2acas2a=sin4 所以os(月-a)>0.所以c0se=5eos(g-a=3①，所以 答案子sim4a 10 sin B=sin[a+(B-a)]=sin a.cos(B-a)+cos a.sin(B-a)= 跟踪训练11B[os(2a+）=cos(2a+子+x=-cos(2a 5 10 +)=2㎡(a+）-1=- 选C. 答案C (2)-c0s号[因为<a<2x,所以<号<x,所以os>0, 418