3.4 函数中的构造问题-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 §3.4 函数中的构造问题 【重点解读】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等 式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题 题型一利用f(x)进行抽象函数构造 命题点2利用f(x)与ex构造函数 命题点1利用f(x)与x构造函数 [例2](2025·南通、连云港联考)已知函数∫(x) [例1](1)(2026·长沙调研)设f(x)是定义域为 的定义域为R,对任意x∈R,有f'(x)一f(x)> R的奇函数，f(-1)=0,当x>0时，x∫(x)- 0,则“x<2”是“e2x-3f(x+1)>e+1f(2x-3)” 的 () f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范 A.充分不必要条件 围是 B.必要不充分条件 A.(-∞，-1)U(0,1) C.既不充分又不必要条件 B.(-1,0)U(1,+∞) D.充要条件 C.(-o∞，-1)U(-1,0) [听课记录] D.(0,1)U(1,+∞) (2)(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x) =f(-x),且当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x) >0,若a=30.2·f(30.2),b=ln2·f(ln2),c= +/思维升华/++++ log)·f(log）,则a,6c的大小关系是 (1)出现了(x)十nf(x)形式，构造函数F(x) -ewf(r). (2)出现f(x)一nf(x)形式，构造函数F(x) A.a>b>c B.c>b>a .f(x) C.c>a>b D.a>c>b [听课记录] 命题点3利用f(x)与sinx,cosx构造函数 [例3](2026·杭州模拟)已知定义在R上的函 数f(x)满足f(x)sinx十f(x)cosx>0,则 ( +/思维升华/+++++++ A.f()<f() (1)出现nf(x)+xf'(.x)形式，构造函数 F(x)=x"f(x). B.f()<∫() (2)出现x(x)一n∫(x)形式，构造函数 C.f(）)>f() F(z)=I(z) D.f()>Bf() 精品教辅·智慧人生 68 第三章一元函数的导数及其应用 听课记录] (2)(2026·南通模拟)已知函数∫(x)及其导函 数了(x)的定义域均为(0，十∞)，若xf'(x)< 2f(x),则 () A.4e2f(2)<16f(e)<e2f(4) B.e2f(4)<4e2f(2)<16f(e) C.e2f(4)<16f(e)<4e2f(2) D.16f(e)<e2f(4)<4e2f(2) (3)(2026·扬州模拟)已知函数f(x)的导数为 +/思维升华/+++++++ (x),对任意实数x,都有(x)-(x)>0,且 f(1)=1,则f(x)>e-1的解集为 () 函数f(x)与sinx,cosx相结合构造可导函 数的几种常见形式 A.(-∞，1) F(x)=f(x)sin x, B.(1,+∞) F'(r)=f'(x)sin x+f(x)cos x; C.(-1,1) F(.x)=(x) D.(-∞，-1)U(1,十∞) sin x 题型二 构造具体函数关系 F()()sin f()cos [例4](1)(2026·南京、盐城模拟)若实数a,b,c sin-x F(x)=f(x)cosx, ∈[0,1]，且满足ae=e4,bc1.2=1.2eb,cel.6= F'(x)=f(x)cos x-f(r)sin x; 1.6e,则a,b,c的大小关系是 () F(.x)=f(x) A.c>b>a B.b>a>c cos x C.a>b>c D.b>c>a F'(x)= f(x)cos x+f(x)sin x (2)(2026·南昌模拟)142857被称为世界上最 cos2x 神秘的数字，142857×1=142857,142857×2 跟踪训练1 (1)(2026·济宁模拟)已知偶函数 =285714,142857×3=428571,142857×4= f()的定义域为(-受，)，其导函数为了(x), 571428,142857×5=714285,142857×6= 857142,所得结果是这些数字反复出现，若a= 当0<<时，有f(x)cosx+f(x)sinx>0成 c4.1257,6=1n1.285714+1,c=1.285714,则 立，则关于x的不等式f(x)>2f(）·cosx的 ( 解集为 A.a>b>c B.c>b>a A(-5) C.b>a>c D.a>c>b B() 听课记录] C(-受，-)u() D.(-5U(,) 69 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 +/思维升华/++++++++++++++ A.a>b>c B.c>a>b 通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明 C.c>b>a D.a>c> 的结构特点，然后依据此特点构造新函数 (2)(2026·南昌调研)设a=999ln1001,b= 常用的不等式：sinx<r<ianx(0<r<) 1000·1n1000,c=1001ln999,则下列选项正 ln(x+1)<x(x>0),lnx≤x-1≤x2-x(x> 确的是 ( 0),e≥x+1(x>0),er≥ex>x(x>0). A.a>c>b B.c>b>a 跟踪训练2(1)(2026·九江模拟)已知a= C.b>a>c D.a>b>c 3 sinb=ln，c=2,则 1 ( 温馨提示 请做课时分层检测（二十四）》 §3.5 指对同构问题 【重点解读】把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单 调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等 式问题. 题型一 双变量地位同等同构 题型二指对同构法的理解 [例1] 若对0<x1<2<a都有ln( ∠2x2 指对同构的常用形式 (1)积型：ae“≤blnb,一般有三种同构方式： 一2x1成立，则a的最大值为 ( ①同左构造形式：aca≤In beln,构造函数f(x) A.1 B.2 C.e D.2e =xe; [听课记录] ②同右构造形式：e“lne≤blnb,构造函数f(x) =xln x; ③取对构造形式：a十lna≤lnb+ln(lnb)(a>0, b>1),构造函数f(x)=x十lnx. +/思维升华/+++++++++ (2)商型：c≤，b a≤nb一般有三种同构方式： 含有地位同等的两个变量x1,x2或x,y或 a,b的等式或不等式，如果进行整理（即同 、①同左构造形式。≤n构造函数/z)二e 构)后，等式或不等式两边具有结构的一致 性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性 ②同右构造形式： nc≤6构造函数fr 解决. ln元 跟踪训练1（多选）(2025·河北名校联考)已知 ③取对构造形式：a-lna≤lnb-ln(lnb)(a>0, a,b∈R,且24>2>1，则 ( b>1),构造函数f(x)=x-lnx. A.ea-e<In a-In b B.bln a<aln b (3)和、差型：e“士a>b士lnb,一般有两种同构 C.b<ea-b D.sin a-sin a a-b 方式： 精品教辅·智慧人生 70导函数f(x)=2n工-2ax,由已知2n2-2ax=0有两个不相等： 的图象如图.当x3-3x2+3=-1时，(x十1)(x-2)2=0,解得x =一1或x=2,故要使函数f(x)=x3一3x2十3在区间(a,a十6) 的正实数根，所以口=血严有两个不相等正实数根，令g(x)= 上存在最小维省有12.解得-1<2.脚安线。的职 h,则g(=1-2n工.由g(m=0,得x=6.当x∈(0,6) 值范围为[一1,2).门 【微拓展】解析对于A,设f(m一x)十f(m十x)=2m,得[a(m 时，g(x)>0,函数g(x)在(0，W)上单调递增；当x∈(E,十∞) x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+ 时，g(x)<0,函数g(x)在(W,十o)上单 y↑ c(m+x)+d]=2n,整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm十 调诞减.又81)=0，g0=,当>1 2e 2d)=2m.根据多项式恒等对应系教相等，可得m=一 时，g(x)>0,当0<x<1时，g(x)<0,当 0 712 am3十bm2十cm+d,从而三次函数是中心对称曲线，且由n= x+∞时，g(x)0,所以函数g(x)的图 f(m)知其对称中心(m,f(m))仍然在曲线上.故对称中心为 象如图，所以实数a的取值范围是0， (品(-品)A正： )门 对于B,由y=f(x)的图象关于点(m,n)对称，得f(x)+f(2m x)=2n.求导可得f(2mx)=f(x),即y=f(x)的图象关于直 [例4]解析由题意得'(x)=e-1,当一2x<0时，f'(x)< 线x=m对称，B正确： 0,当0<x≤2时，广(x)>0,故f(x)在[-2,0)上单调递减，在 对于C,设f(x)=3aa2+2hr十c=0的两根分别为1,2，则1十 (0,2]上单调递增.所以f(x)在x=0处取得极小值，也是最小 2b 值，故f(x)mn=f0)=3.因为f(-2)=e2+4<f(2)=e2,所 =一治，一品设f()的两个取极值的成为A(1 以f(x)mx=e2. f(1),B(x2,f(x2), 故f(x)的值域为[3，e2]. f()+f(z)=(axi+bi+ca+d)+(ax+b2+c2+d)= 答案A a(.+)+b(x+x号)+c(1+x2)+2d=a(1+x2)[(1十 [例5]解(1)易知f(x)的定义域为(0，+∞)， x2)2-31x2]+b[(x1+2)2-2x1x2]+c(x1+x2)+2d= 当a=-1时，f(x)=-x+lnx, f()=-1+1=1-x ((警-）+签)路+=器 令f(x)=0,得x=1. 2b+2d. 3 当0<x时，f(x)>0:当x>1时，f(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减. r(品)=(-)+(-品)+()+小 所以f(x)ax=f(1)=-1. 463 所以当a=一1时，函数f(x)在(0，十o∞)上的最大值为一1. 27a2- +2 2r)=a+2aeod,2[+） 所以f)+1)=2f(会)AB的中点P(专 ①若a>-,则了()≥0，从而x)在0]上单河递增， 2 所以f(x)max=f(e)=ae十1≥0，不符合题意 )=(会一)即为对格中心C压： D.ax3+b22+cx+d=a(x-z1)(z-z2)(z-zs)=axs- 巴若a<-令了)>0，得a+>0,结合x∈0，解择 a(x1十x2+x3)z2+a(1x2十x2x3十x3x1)x-a.1x2x3.比较系 0<x<- 数可得1十2十x,=一b,D错误」 a 令f(x)<0,得a+<0,结合x∈(0，d,解得-是<r≤c 答案ABC §3.4函数中的构造问题 从而)在(0，一日）上单调递路在(-日上单调递减， [例1】(1)解析令g(x)=f,则g(x)=f)f卫，所 所以=（日）=-1+h() 以当x>0时，g(x)<0,所以g(x)在(0，十o∞)上单调递减.又 f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在（一0,0）上单 令-1+n(日）=-3，得a=-2. 调递增.又f(1)=-f(-1)=0,即g(1)=g(-1)=0.而f(x)> {g)>0=ga支{C0: 0等价于>0， 因为-e2<-是，所以a=-. (x<0, 08-1.中{9发 {1,所以<-1或0<x<1.所以f)>0的解集为(-o, 跟踪训练2(1)x[由f(x)=x-√2sinx,x∈[0，]，可得f(x) 1)U(0,1).故选A. =1-EszE[0,,令了(0=0可得eosx-号又x长[0， ],所以x=,当z[0,）时，f(x)<0,)单调递减：当 x∈（牙时f(x)>0,fx)单调递增：易知f0)=0f(x)= 答案A (2)解析令g(x)=xf(x),x∈R, x,因此f(x)的最大值为元.] 因为f(x)=f(一x),所以g(一x)=一xf(一x)=一xf(x)= (2)A[由题意得f(x)=3z2-6x=3(x-2).当 -g(x), 所以g(x)为奇函数， f(x)0时，得x0或x>2,当f(x)<0时，得0a y=f(x) 又因为当x∈（一∞，0]时，f(x)十xf(x)>0, 2,故函数(x)的单调递增区间为（一∞，0）， 所以当x∈(-∞，0]时，g(x)=f(x)+xf(x)>0,所以g(x)在 (2,十○)，单调递减区间为(0,2)，即x=2时， (一∞，0]上单调递增， 函数f(x)取得极小值f(2)=一1，画出f(x) 又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增， 又因为a=30.2·f(30.2)=g(30.2), 413 b=In 2.f(In 2)=g(In 2), 设f(x)=e-x-1(x>0),f(x)=e一1， c=log号·f(ogs司）=gog:号）=g(-2 当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)=ex-x-1>f(0)=0, -2<0<ln2<lne=1=30<3.2, 所以e>x+1(x>0). 所以g(-2)<g(ln2)<g(30.2),即a>b>c. 因为x2+2x+1>1+2x(x>0), 答案A 所以x+1>√1+2x(x>0), [例2]解析因为f(x)-f(x)>0,所以(）二f四>0.令 得e>√1+2x(x>0), e 8）=1巴，则g)=四>0，所以g(田在R上单 所以e0.142857>√个+2X0.142857,即a>c: e 由ex十1(x>0),得x>ln(x+1)(x>0), 调递增.e23f(x+1)>c+1f(2x-3)台fx十1f2x-3) 、 所以x-1>lnx(x>1),即x>lnx+1(x>1), e+ e2r-3 所以个.285714>1n√1,285714+1=血1.285714+1，即c≥ 台g(x十1)>g(2.x-3)台x十1>2x-3台x<4,所以“x<2”是 2 “e2x-3f(x+1)>e+1f(2x一3)”的充分不必要条件.故选A. b.综上，a>c>b. 答案A 答案D [例3】解析令F)=x子受+x,ke乙 跟踪训练21D[方法-a=sin号>n音=子-6 故r()=f()cosx+fx)sin>0恒成立， 设f(x)=lnx+1-x,x>1, cosx 则f(x)=11<0, x 故a)=巴在(-受+，受+∈Z上单调通增， 故f(x)在(1，十o)上单调递减， 故f(x)<f(1)=0,即l1nxx-1(x>1), 所以6=ln是<是-1=c,故a>>6 故)<F()即 sc 方法二a=sin晋>sin晋=号-c,6=n多<n6=号=c,所 2 以ac>b.] ()f() (2)B[设f(x)=(1000-x)ln(1000+x),x∈[-1,1].当 答案B e[-1,时，/e=-1h10+0+H0800.所以西款fa 跟踪训练】(I)C[令g()=巴，因为f()为偶函数，即f(-x)= 单调递减，所以f(-1)=1001ln999≥>f(0)=1000ln1000> cOS f(1)=999ln1001,所以c>b>a.故选B.] f,所以g(一x)=-=巴=g(x.周为当0<x<号 cos(-z)cosz 2 §3.5指对同构问题 时，有f(x)cosx十f(x)·sinx>0成立，所以g'(x)= m士0.放故口在0，号上单消递棉，例解折由h习 <2x2-2x1,0<1<x2<a, cos'T (In z2-In z1)<2z2-21, 根据偶函数的对称性可知，g()在（一受，0）上单调道减，由 则n-lh<2-2a Z1 T2 x)>2f(）·casx可得 () 即n4-ln4<2-2 cos 2f(）所以 1x2 cos 3 有1n2+2<n1+2。 1 g)>(）所以>或K-音即<<吾 2 令fx)=1nx+2(>0),则f2)<f(1), K-吾故选C] 所以fx)=1-2==2 2, (2)C[方法-设g()=f ∈(0，+oo. 令(x)>0→x>2,令(x）<0→0x<2, 所以函数f(x)的单调递增区间为(2，十©○)，单调递减区间为 zf(z)<2f(x), (0,2) ÷g)=f()=2fD<0. 所以当0<1<x2<2时，f(x2)<f(x1)恒成立， x 所以0<a≤2，故a的最大值为2. 则g(x)在(0，十∞)上单调递减， 答案B ∴.g(2)>g(e)g(4), 跟踪训练1CD[由2a>2>1,得a>b>0.对于A,设y=e .f22>fe>f④， 4 e2 16 nx且x∈0，+o),则y=e-子款y1,=号=E-2<0, 即4e2f(2)>16f(e)>e2f(4).故C正确. 1 方法二设f(x)=1,又e2<16<4e2,C正确.] y11=e-1>0,即y=e-子在（合上存在零点且 (3)A[由f(x)>el,可得f2⊥=f c-1在(0，十o∞)上单调递增，所以y=e-lnx在(0，十∞)上 e e 令g()=CD,结合fx)-f(x>0,则g(x)=()=fm 不单调，则ea-lna<-lnb不一定成立，排除A:对于B,设 e e <0, y=2且x∈(0，+6o),则y=1-h工，当x∈(0，e时，y>0 所以g(x)在R上单调递减， 故g(x)>g(1)→x<1, y=n2单调递增，当x∈(e,十co)时，y<0,y=血单调递减， 则原不等式的解集为（一∞，1）.] 故y=血严在(0，十o©)上不单调，则e<血不一定成立，排除 [例4幻(1)解析由ae=e,bcl.2=1.2e,ce.6=1.6e,得a= b B:对于C,设y=xe且x∈(0，十o),则y=er(x十1)>0，即 号=品品◆f)=是周f)号，事 y=xe在(0，十∞)上单调递增，所以aea>bd,即b<e-b,C 时，f(x)>0,当x>1时，f(x)<0,所以f(x)在(-o,1)上单： 正确：对于D,设y=x一sinx且x∈(0，十o),则y=1一cosx 调递增，在(1，+∞)上单调递减，于是f(1)>f(1.2)>f(1.6), 0,即y=x-sinx在(0，十o)上单调递增，所以a一sina>b 即f(a)>f(b)>f(c),又a,b,c∈[0,1]，所以a>b>c. 答案C sinb,即ina-inb<1,D正确.] 0-b (2)解析由题意知，a=e0.12857, :[例2](1)解析方法一由e+a>b+lnb, c=√/1.285714=√1+2×0.142857， 可得e&十a>enb+lnb 414