2.14 函数模型的应用-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

y=一均在(0，十∞)上单调递增，所以画数h)在(0，十∞)上单 服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时 后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中 调递增，又h(1)=-1<0,(e)=1- 1>0,则存在t1∈(1，e),使得 毒，D错误. 答案ABC h(t1)=0.当t≤0时，令-|t+1十1=0，解得t=0或t=一2，作出：跟踪训练1(1)D[依题意知，当0≤x≤4时，f(x)=2x;当4< 函数f(x)= (mx-子，>0，的大数图 x≤8时，f(x)=8:当8<x≤12时，f(x)=24-2x,观察四个选 项知D项符合要求.] -1x+1+1,x≤0 (2)B[由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快， 象，如图.又f(x)-1=t,则f(x)=t十1.当 选项B满足，] t=0时，f(x)=1,由y=f(x)的图象知，方程 f(x) [例3](1)解析f(x)=log。[k(x+1)2]=logk+2loga(x+1), f(x)=1有2个根：当t=一2时，f(x)= 一1，由y=f(x)的图象知，方程f(x)=一1有2个根：当t=t1, 由f(2)=2,f(8)=3,得logk+2log.(2+1)=2,logk+2log(8+1) t1∈(1，e)时，f(x)=t1十1∈(2，e+1),由y=f(x)的图象知，方 =3,两式相减得logn9=1,则a=9,所以logk十2=3，k=9.该住 房装修完成后要达到安全入住的标准，则0.48一0.1f(x)≤ 程f(x)=t1+1有1个根.综上所述，函数g(x)=f(f(x)一1)的 零点个数为5.] 0.08,则f(x)≥4，即1+2log（x+1)≥4，解得x≥26，故至少需 (2)[一1，十oo)[设t=f(x),则t∈R, 要通风26周.故选D. 令g(x)=f(f(x)一a=0,则a=f(t). y=f(t) 答案D 在同一平面直角坐标系内作出直线y= 0 (2)解析根据题意，可得4[ln(m十x)一ln(W2m)]+2ln2=12, a,y=f(t)的图象，如图所示. y=a- ①当a≥-1时，直线y=a与y=f(t)的 所以lnm+2) +ln4=12, √2m 图象有两个交点， 设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1), 即（点 =In el2, 则t1<-1,t2≥-1. 当t1<一1时，t1=f(x)有一个解： 可得+)=e, 当t2≥一1时，t2=f(x)有两个解， 此时g(x)=f(f(x))一u有三个零，点，满足题意； 而1+>0，则1+工=e, 17m 72 ②当a<-1时，直线y=a与y=f(t)的图象有一个交点.设交点 的横坐标为t,则t<一1， 所以工=e3-1, 此时名=f(x)有一个解，不满足题意， 即燃料质量与火箭质量的比值是e3一1。 综上所述，当a≥一1时，函数g(x)=f(f(x))一a有三个零，点.]！ 答案e3-1 $2.14函数模型的应用 跟踪训练2(1)B「根据题意，得个超导量子比特共有2种叠加 必备知识·整合 态，所以当有1024个超导量子比特时共有N=21024(种)叠加态. 1.y轴x轴 两边取以10为底的对数得lgN=lg21024=1024g2≈1024× [自主诊断] 0.301=308.224,所以N≈10308.224=10.24X10308.由于1< 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 10.224<10,故N是一个309位的数，即m=309.] 2.D[依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着 (2)D[令北极星与牛郎星的亮度分别为I1,12,依题意， x的增长，y=1000e的增长速度最快.] {2=- 11 3.C[作出散点图如图所示， 得 12 y 0.8=-号六： 两式湘流得-吾5行-号解特宁-10台。 0 故选D.门 [例4幻解(1)根据题意，d=d4+d+d2+d=30+0.8u+0.2u+ 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y=a十log6x! 2 2 20k-30++200≤≤3.3》 反映x,y函数关系.] (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，即对任意 4.506[日销售金额y=(-t+35)(t+10)= (-) +350+ 的k∈[0.5,0.9]，30+u+20<90恒成立. 625,:t∈N,t=12或13时，ymx=506.] 易知当0=0时，满足题意； 当0<0<38.3时，有<9-号对任意的∈[0.5,0.9]福 160 关键能力·突破 [例1]解析画出函数f(x)=x2,g(x)= 成立， 2,h(x)=log2x的图象，如图所示，结合图 fx) 16 象，可得三个函数f(x)=x2,g(x)=2x, 由∈[0.501，得∈] h(z)=log2x中，当x∈(4，十o∞)时，函数 g(x)=2增长速度最快，h(x)=log2x增 h() 所以601、1 gx)八1 ->10 长速度最慢.所以选项B正确. 0/24x 即2十100-600<0，解得一30<0<20， 答案B 所以0<020. [例2](1)解析由题图可知水深h越大，水的体积0就越大，故 综上，0≤<20. 函数=f(h)是个增函数，故排除A,C项，由鱼缸形状可知，下面， 所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以下 细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是跟踪训练3C[设x年后，该公司全年投入的研发资金开始超过 先慢后快再慢的，所以B正确.故选B. 答案B 200万元，则160(1+10%)>200，即1.1>号，取常用对数得 (2)解析从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10· 分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1 单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知， 1Cg5-263>k2_号-2g2 1-3lg2 lg1.1 g1.1= 1g1.1 当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正 确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服： ≈1-3X0.3=2.5,故该公司全年授入的研发资金开始超过200 0.04 药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次 万元的年份是2026年.] 409第二章函数 §2.14函数模型的应用 【课标要求】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直 线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中 的广泛应用 口必备知识·整合 夯实基础回归教材>》 1.三种函数模型的性质 【自主诊断】 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 函数 y=a" y=log y=x" “X”) 性质 (a>1) (a>1) (a>0) (1)函数y=2r的函数值比y=x2的函数值大. 在(0，十∞) () 单调递墙 单调递塔 单调递墡 上的增减性 (2)某种商品进价为每件100元，按进价增加 塔长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则 随x的增大 随x的增大 每件还能获利。 () 随a值的 逐渐表现为 逐渐表现为 (3)不存在xo,使a'<x8<Clogaxo. () 图象的变化 变化而各 与 与 (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所 有不同 平行 平行 有的数据完全符合该函数模型， () 2.下列函数中，随着x的增长，y的增长速度最快 2.常见的函数模型 的是 () 函数模型 函数解析式 A.y=50 B.y=1000.x 一次函数 1 f(x)=a.x+b(a,b为常数，a≠0) C.y=2In x D.y=1000e 模型 3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集 二次函数 f(x)=a.x2+bx+c(a,b,c为常数， 到如下一组数据： 模型 a≠0) 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 反比例函 f(x)= 数模型 飞十b(k,b为常数，k≠0) 在下列四个函数模型(a,b∈R)中，最能反映x,y 函数关系的是 指数函数 f(x)=ba十c(a,b,c为常数，a>0且 A.y=a+bx B.y=a+b 模型 a≠1，b≠0) C.y=a+logbx D.y=atb 对数函数 f(x)=blog r+c(a,b,c为常数，a>0 4.某商品在最近30天内的价格∫(1)与时间1（单 模型 且a≠1，b≠0) 位：天)的函数关系是f(t)=1+10(0<t≤30，t∈ N),销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)= f(x)=ax°十b(a,b,a为常数，a≠0， 幂函数模型 一t+35(0<t≤30,1∈N),则这种商品的日销售 a≠0)》 金额的最大值是 55 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 【微点提醒】 (2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的 (1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增 图象和性质是解题的关键， 长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量 (3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范 成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长” 围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结 先快后慢，其增长速度缓慢。 果对实际问题的合理性， 巴关键能力·突破 分类讲练以例求法>> 题型一用函数图象刻画变化过程 (2)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的 命题点1函数的增长差异 总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物 [例1]设f(x)=x2,g(x)=2r,h(x)=log2x,当 的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓 x∈(4，十∞)时，对这三个函数的增长速度进行 度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体 比较，下列结论正确的是 ( 内血药浓度及相关信息如图所示： A.f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢 t血药浓度(mgmL) 最低中毒浓度MTC) B.g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢 峰浓度 安全范围 C.g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢 --最低有效浓度MEC) D.f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢 01234567891011121小时 持续期 →残留期 听课记录 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物 的说法中，正确的是 A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发 挥治疗作用 命题点2用函数图象刻画变化过程 B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2 [例2](1)(2026·商丘模拟)高 小时时，一定会产生药物中毒 为H,满缸水量为V的鱼缸的轴 C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次 截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为， 服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗 则函数v=f(h)的大致图象是( 作用 D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1 单位该药物，不会发生药物中毒 [听课记录] H 精品教辅·智慧人生 56 第二章函数 +/思维升华/+++++++++++++叶 题型二已知函数模型的实际问题 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合 [例3](1)(2026·张家口、保定模拟)住房的许多 的两种方法 建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函 性气味的气体，对人体健康有着极大的危害，新房 数模型时，先建立函数模型，再结合模型选 入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08mg/m3, 择函数图象. 否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住 (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化 房自装修完成后，通风x(x=1,2,3,…,50)周与 快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验 室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函 证是否吻合，从中排除不符合实际的情况， 选择出符合实际情况的答案. 数关系式y=0.48-0.1f(x)(x∈N*),其中 f(x)=loga[k(x2+2x+1)](k>0,x=1,2,3, 跟踪训练1(1)(2026·泗水调研)已知正方形 …,50),且f(2)=2,f(8)=3,则该住房装修完 ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线 成后要达到安全入住的标准，至少需要通风 BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x, ( △ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是 A.17周 B.24周 ( C.28周 D.26周 S (2)在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速 度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭（除燃料 O4812x O4812x 外)的质量m(kg)的函数关系是y=4[ln(m十x) 一ln(√2m)门十2ln2,要使火箭的最大速度达到 +S ↑S 8 8 12km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是 04812x [听课记录] 4812 D (2)为了能在规定时间T内完成预期的运输量 Q。,某运输公司提出了四种运输方案，每种方案 的运输量Q与时间1的关系如图（四个选项）所 示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提 高的选项是 ( +/思维升华/++++++++++++++ 己知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定 B 系数。 Q to (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中 的待定系数. (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数 等求解实际问题，并进行检验， 57 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 跟踪训练2(1)(2026·本溪模拟)我国量子计 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子 时间 to t1=0.8st2=0.2s ts 比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有 2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态， 距离 d。=30m d dz d= 20 m 3个超导量子比特共有8种叠加态，…，每增加1 (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位： 个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍. m/s)之间的表达式； 若N=a×10(1≤a<10,k∈N),则称N为k+1 (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报 位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种 警距离均小于90m,则汽车的行驶速度应限制在 数是一个m位的数，则m等于（参考数据：lg2≈ 多少以下？ 0.301) A.308 B.309 [听课记录] C.1023 D.1024 (2)(2026·四川成都第二次诊段性检测)在天文 学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描 述.以织女星的亮度I。为标准，天体的星等与 亮度1满足m=一 石已知北极星的星等为 5 2,牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮 度之比为 A.10 B.10- /思维升华/++++ C.10号 D.10-器 构建函数模型解决实际问题的步骤 题型三构造函数模型的实际问题 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型. [例4]汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其 (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或 自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前 数学运算，得到问题在数学意义上的解. 方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离 (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入 时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹 讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实 车.某种算法将报警时间分为4段（如图所 际问题中去，得到实际问题的解 示)，分别为准备时间o、人的反应时间1、系 跟踪训练3(2026·杭州模拟)某公司为激励创 统反应时间2、制动时间3，相应的距离分别 新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2023 为do,d山1，d2,d3,当车速为v(单位：m/s),且 年全年投入研发资金160万元，在此基础上，每 0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到如表 年投人的研发资金比上一年增长10%，则该公司 (其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变 全年投人的研发资金开始超过200万元的年份 化，且0.5≤k≤0.9). 是（参考数据：lg1.1≈0.04，lg2≈0.30）() 报警距离d 危险距离 A.2024年 B.2025年 d C.2026年 D.2027年 温馨提示 请做课时分层检测（二十） 精品教辅·智慧人生 58