2.12 函数的零点与方程的解-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 §2.12 函数的零点与方程的解 【课标要求】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数季点存在定理，并能简单应用.3.了解用 二分法求方程的近似解。 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材>> 1.函数的零点与方程的解 :2.(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编) (1)函数零点的概念 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分 对于一般函数y=f(.x),我们把使 的实 法求图中函数零点的是 数x叫做函数y=f(x)的零点 (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应 方程的根的关系： 函数y=fx)有零点 y 函数y=fx)的图象 方程 与 有公共点 有实数解 提醒：函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程 3.（北师大必修第一册P132T3(2)改编)函数(x)= f(x)=0的实根. l1og2x十x一2的零点所在的区间为 () 2.二分法 A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4) 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 4.设f(x)=x2-2x|,则函数y=f(x)-2026的 的函数y=∫(x),通过不断地把它的零 所有零点之和为 点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐【微点提醒】 步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫：1.谨记三个相关性质 做二分法。 (1)若连续不断的函数∫(x)在定义域上是单调 【自主诊断】 函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或： 一个“点”，而是方程f(x)=0的实数解。 “X”) (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间 的所有函数值保持同号： (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可 ( 能变号，也可能不变号. (2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则 2.谨防两个易错易混 f(a)f(b)<0. ( (1)连续函数f(x)在区间[a,b]上，若满足 (3)连续函数y=f(x)满足f(a)∫(b)>0,则 f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零 f(x)在区间(a,b)上没有零点， ( ) 点，反之不一定 (4)求函数零点的近似值都可以用二分法。 (2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对 ( 二次项系数的讨论， 精品教辅·智慧人生 50 第二章函数 巴关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一函数零点所在区间的判定 A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近 [例1](1)(2026·东北师大附中模拟)方程1og3x 似值 十x=2的根所在区间是 B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近 A.(0,1) B.(1,2) 似值 C.(2,3) D.(3,4) C.没有达到精确度的要求，应该接着计算 (2)在用二分法求方程x2=3的正实数根的近似： f(1.1875) 值（精确度为0.001）时，若我们选取的初始区间 D.没有达到精确度的要求，应该接着计算 是[1.7,1.8]，为达到精确度要求至少需要计算 f(1.0625) 的次数是 题型二 函数零点个数的判定 [听课记录] [例2](1)(2026·北京海淀区模拟)已知函数 In xl,x>0, f(x)= 则关于x的函数y= x2-3.x,x≤0， 4f2(x)-13f(x)+9的零点个数为 A.8 B.7 +/思维升华/+++++++++ C.5 D.2 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y= (2)函数f(x)=sin -|log3x|的零点个数为 f(x)在区间[a,b们上的图象是否连续；再看 ( 是否有f(a)·f(b)<0,若有，则函数y= A.1 B.2 f(x)在区间(a,b)内必有零点. C.3 D.4 (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象 与x轴在给定区间上是否有交点来判断 [听课记录] ++++…++…++m+++…++++++++++++ 跟踪训练1(1)根据表格中的数据可以判定方 程lnx-x十2=0的一个根所在的区间为 ( 。。。。。 /思维升华/+++++ 1 2 3 4 5 求解函数零点个数的基本方法 In x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 (1)直接法：令f(x)=0,方程有多少个不同 x-2 一1 0 1 2 的实数根，则f(x)有多少个零点. A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往 (2)用二分法求函数f(x)=ex一x一2的一个正 还要结合函数的单调性、奇偶性等， 零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到 (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单 如下数据：f(1)≈-0.28，f(1.5)≈0.98， 函数，依据两函数图象的交点个数得出函数 f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈-0.04，关于下一步 的说法正确的是 的零点个数 ) 51 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 跟踪训练2(1)(2026·烟台调研)已知定义在： (2)(2026·阜阳模拟)已知关于x的方程2x2 R上的奇函数∫(x)满足∫(2一x)=f(x),当 mx十1=0在[2，上存在两个不同的实数根， x∈[0,1]时，f(x)=2x-1,则方程f(x)= 则实数m的取值范围为 |logsx的实根的个数为 A.3 B.4 A.(2,3] B(2E,8] C.5 D.6 c[3,8] D.(22,3] (2)函数f(x)=√36-x2·cosx的零点个数为 听课记录] 题型三函数零点的应用 命题点1根据函数零点个数求参数 [例3](2026·北京朝阳区质检)设函数∫(x)= x+2m∈R).则“-3<m≤0是“f)在区 +/思维升华++++++++++++++ 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 间（一1,2）内有且仅有一个零点”的 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参 A,充分不必要条件 数的不等式（组），再通过解不等式确定参数 B.必要不充分条件 (范围) C.充要条件 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函 D.既不充分也不必要条件 数值域确定参数范围】 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平 [听课记录] 面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用 数形结合法求解 +++++++++ 十++4 跟踪训练3(1)(2026·榆林模拟)已知函数 f(x)=(x2-4.x+m)(4-m-1)恰有3个零 点，则整数m的取值个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(多选)(2026·柳州模拟)已知函数f(x)= 命题点2根据函数零点的范围求参数 z2+2.x-3,x≤0， 令h(x)=f(x)一k,则下列说 [例4](1)已知函数f(r)=3-1+a.若存在 -2+lnx,x>0, 法正确的是 xo∈(-∞，-1)，使得f(xo)=0,则实数a的取 A.函数f(x)的单调递增区间为(0，十∞) 值范围是 B.当h(x)有3个零点时，k∈(-4，-3] A.(-∞， B(0) C.当k=一2时，h(x)的所有零点之和为一1 D.当k∈(-∞，一4)时，h(x)有1个零点 C.(-∞，0) D(停+) 温馨提示 请做课时分层检测（十八） 精品教辅·智慧人生 522.C[方法一当0<x<1时，y<0,故B,D不正确；当0<x<11跟踪训练2(1)B[因为g(x)=f(一x),所以 时y=<0,且y=-1单调递增，所以y=己单调递 g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，由 f(x)的解析式，作出f(x)的图象如图，从而可得 减，故A不正确，故选C g(x)的图象为B选项.故选B. 方法=画数)一-的定义城为{xz∈R,且x≠士1.了= (2)A[f(x)的定义域为R, 一sinx 又f(-x)= sin(-x) =一f(x), (D,所以当x<-1或-1<x<0时，>0，函数y= -4x3 Igf(-x)2+e]lg(z2 +e) ∴，f(x)为R上的奇函数，其图象关于原点对称 ∴.排除B,C选项； 4在（一∞，-1）和（一1,0）上均单调递增：当0<2<1或】 当0<x<x时，sinx>0,lg(x2十e)>0,则f(x)>0,∴.排除D选 项.故选A.门 1时y<0,函数)y=在(01)和(1，+©∞)上均单调递减.故[例解析fx十2)=lg(x+1)为偶函数，A 选C. 正确，B错误.作出f(x)的图象如图所示，可知 一则f0)=-1,排除B,D;当x=0.01 f(x)在（一co,2)上单调递减，在(2，十©∞）上单调 方法三记f(x)= 递增，由图象可知函数存在最小值0，C正确，D 0.011-<-1=f0),排除A,选C] 1 错误.故选AC 时，f(0.01) 案AC 3.D,[要使西数代)有意义，即2+1≠1，所以x≠0，故fx)的[例 解析根据奇函数的图象特征， 定义战为（一∞，0）U(0,+∞)，关于原点对称.因为f(-x)= 作出f(x)在（一○，0）上的图象，如图 所示， ln(.x2+1) =一f(x),所以f(x)为奇函数，排除选项B,C;当x>0 由x2f(x)>2f(x),得(x2一2)f(x) >0, 时，一x0,ln(x2+1)>ln1=0,所以f(x)<0,排除选项A.] 4.ex+1[由题意可知f(x)=e1,把y=f(x)的图象向右平移1 则{220或2-2<0， 个单位长度后得到g(x)=e(x-1)=ex+1的图象.了 \f(x)>0 1f(x)0, 关键能力·突破 解得x<-2或2<x<2或-√2<x<0, 故不等式的解集为（一©©，一2）U(一√2,0)U(2,2) [例1]解(1)先作出y= 11 的图象，保留y= 图象 答案C 中x≥0的部分， [例5] 解析作出函数f(x)的大致图象如图所示. 因为a,b,c,d互不相同，不妨设 Y 再作出y=（ 的图象中x>0部分关于y轴的对称部分， a<b<c<d,且f(a)=f(b)= f(c)=f(d),则有-log4a= 1 x 即得y=（】 的图象，如图①实线部分， log4b,即log4a+log1b=0,可得 ab=1,则abcd=cd.由c十d 10,且c<d,可得cd< c+d 2 -1o1x 0外1 =25,且cd=c(10-c)=-(c-5)2+25,当c=4时，d=6,此时 cd=24,但c取不到4，故abcd的取值范围是(24,25). ① 答案(24,25) (2)将函数y=log2x的图象向左平移一 跟踪训练3(1)B[因为f(x)十x2是奇函数，f(x)一x是偶函 个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴 +② 翻折上去，即可得到函数y=log2(x十1) 数，所以{-)士二xf)-x·得f(x)=-2 1f(-x)十x=f(x)-x, 的图象，如图② g(x)=x),x∈[0,1， 12g(x-1),x∈(1，+o), 当x∈(1,2]时，x一1∈(0,1]， 3 (3):y=了x一2x1,x≥0·且函数为有 x2+2x-1,x<0,1 所以g(x)=2g(x一1)=2f(x一1).同理，当x∈(2,3时，g(x)= 函数，先用描点法作出[0，十○)上的图象， 2g(x-1)=4g(x-2)=4f(x一2).以此类推，可以作出g(x)的 再根据对称性作出（一○，0）上的图象， 图象如图所示，结合图象可得，当x日 得图象如图③. (4,5]时，g(x)=16f(x-4),由g(x)≤ 3 跟踪训练1解 (1)y=x2-2x|-3= x2-2x-3,x20:其图 3,得16(x-4)(5-x)≤3，解得x≤ x2+2x-3,x<0, 2 象如图所示 或x>19 .因为对任意的x∈[0，m], 05上 Jy=x2-2x-3 0.250 g()≤3恒成立，所以0<m≤，所以 -101 13 实数m的最大值为平.】] (2)(2,3][作出函数f(x)的图象，如 J= 图，因为存在x1<2<x3使得f(x1)= =九x) (2)y=|log2(x+1)川，其图象可由y=log2x f(x2)=f(x3)=m,所以f(一1)<m≤ 的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴 y=log (x+1) f(0),即2<m≤3.] 上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴 上方得到，如图所示， 82.12函数的零点与方程的解 L例2](1)解析易知函数的定义域为R,因 必备知识·整合 为y一是奇函数y=nx是奇函数 11.(1)f(x)=0(2)x轴f(x)=0 2.f(a)f(b)<0 一分为二零点 所以f(x)是偶函数，排除B,D,当x∈(0，x)时，y -1>0, :L自主诊断] e+1 1.(1)×(2)×(3)×(4)× y=sinx>0,所以f(x)>0,排除C !2.A[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点.] 答案A :3.B[函数f(x)在(0，十o)上单调递增，且f(1)=一1，f(2)=1, (2)解析由题图可知，函数f(x)为偶函数，且定义域不是全体则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2).] 实数，故排除B,C.D中，当x>1时，f(x)= x27'f(x)= ·4.2由一元二次函数的图象和性质可知函数 f(x)=|x2-2x的图象如图所示， 根据图象可知y=f(x)一2026共有2个零点，且 之>0，则)在①，+©)上单调递增，放排除D 2个零点关于直线x=1对称，所以零点之和 答案A 为2. 406 关键能力·突破 x2一2x十m是开口向上的抛物线，其图象关于直线x=1对称.设 [例1](1)解析设f(x)=log3x十x-2,则方程log3x十x=2的 g(x)=x2-2x十m,x∈(-1,2)，要使得函数y=g(x)在区间 根所在的区间即为f(x)零点所在的区间.'y=log3x与y=x一2 (一1,2)上只有一个零点，则满足△=（一2）2一4m=0或 在(0，十)上均单调递增，∴.f(x)在(0，十o)上单调递增，对于 A,,f(1)=log31+1-2=-1,.当x∈(0,1)时，f(x)<-1,A g(1)=3十m>0解得m=1或-3<m<0,即函数)y=fx) 1g(2)=m<0, 错误；对于B,,f(1)=-1<0,f2)=log2+2一2=log2>0,即 在区间(-1,2)上只有一个零点时，m∈(-3,0]U{1},所以 f1)f2)<0,∴.3xo∈(1,2)，使得f(xo)=0,B正确；对于C,D, “一3<m0”是“f(x)在区间（一1,2）内有且仅有一个零，点”的充 当x>2时，f(x)>f(2)>0,.f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零： 分不必要条件 点，C错误，D错误. 答案B 方法二 令f(x)=0,则x十”m 2=0,即m=-x(x-2), (2)解析设至少需要计算n次，则n满足817<0.001，即2> x∈(-1,2).f(x)在(-12)内有且仅有一个零点，即直线y=m 与函数y=一x(x一2)，x∈（一1,2）的图象有且 100,由于2=64,2=128，故要达到精确度要求至少需要计算7次 仅有一个交点画出函数y=一x(x一2)，x∈（一-1,2) 答案7 的大致图象，如图所示.由图象可知，一3<m≤0 跟踪训练1(1)C[设f(x)=lnx-x+2=lnx-(x-2),易知函： 或m=1,所以“一3<m0”是“f(x)在区间 数f(x)在(1，十○)上的图象连续，由表格数据得f(1)>0, (一1,2)内有且仅有一个零点”的充分不必要条 f(2)>0,f(3)=ln3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)= 件.故选A ln4-2=1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)0,即在区间· 答案A (3,4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程lnx一x十2=0的一个 根所在的区间为(3,4).门 [例4幻（①）解析由f(x)=3-1+a匹=0，可得a=3-」 x (2)C[由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，(1， 1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25)，因为|1.125-1.25|=0.125> 令g(x)=3-1,其中x∈(-0，-1)， 01,故没有达到精确度的要求，应该接着计算f /1.125+1.25 由于存在x0∈（一o,一1），使得f(x0)=0, 2 则实数a的取值范围即为函数g(x)在（一c○，一1）上的值域. =f(1.1875)的值. [例2](1)解析根据题意，令4fP(x)-13f八x)+9=0,得f八x)=1或 由于函数y=3,y=一1在区间(-0，-1)上均单调递增， )-号作出)的简图.由园象可得当f)=1或)= 所以函数g(x)在（一∞，一1）上单调递增 当x∈(-0，-1)时， 是时，分别有4个和3个交点，故关于2的画教y=4() g(x)=3-1 <8-10=31+1=专 13f(x)十9的零点的个数为7.故选B. y 又当x(-,-1)助，g)=3-士>0， y=f(x) 所以画数g()在(-0，-D上的值城为(0专） 因地实数口的取位范周是(0，号) 答案B (2)解析 由题意可得，2x2-mx十1=0即m=2x十1在 答案B x[合，时有2个不同的解，设)=2x+士根指对勾函 (2)解析函数)=sim受-lg的零点个数，即函数g)= sin受，x>0与h(x)=logx的交点个教， 数的性质可知，)在[2，]上单调逼减，在[停，4上单调 在同一个坐标平面内画出两个函数的图象，如图所示，则两个图 递增，且f ）=3()=2E,40=，要使m=2z+ 4 象交点的个数为2，即f(x)的零点个数为2. 子在红[合时有2个不同的解，则2万<m≤a,故选D h(x)=ogx 答案D 跟踪训练3(1)B[令f(x)=(x2-4x十 y=h(x) 012345/ g=in受，o0 m)(4专-m-1)=0,得m=-x2+4x或m =4-1.作出g(x)=-x2+4x,h(x)= V=(r 答案B 跟踪训练2(1)C[由奇函数可知f(2一x)=f(x)=一f(一x), 4专一1的图象，如图所示.这两个函数图象 即f(x十2)=一f(x),f(x十4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是 的交点坐标为(0,0)，(3,3)，因为g(x)mx 34 y=-17 周期为4的周期函数 =4,h(x)>一1，所以由图可知m的取值 范围是（一1,0）U(0,3)U(3,4).故整数m=1或2，即整数m的 y=1 y=llog,xl 取值个数为2.门 5 79 2以 (2)BD[函数f)={t十2红-3，≤0， -2+lnx,x>0, 又由f(2-x)=f(x),得f(x)的图象关于直线x=1对称，作出 结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f(x)的图象如图所 函数y=|log9x与函数y=f(x)的大致图象如图所示，结合图象 示，由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为（一1,0）和(0，十○)，A 可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5.] 选项错误；h(x)的零，点即函数y=f(x)的图象和直线y=k交点的横 (2)6[令36一x2≥0，解得-6x≤6，所以f(x)的定义域为· 坐标，由图象可知，当h(x)有3个零点时，k∈（一4，一3]，B选项正确； [-6,6].令f(x)=0得36-x2=0或cosx=0,由36-x2=0得 解方程可知，当=一2时，h(x)有两个零点，一1一√2和1，所有零，点 x=士6，由c0sx=0得x=至十m,k∈么又x∈[-6,6]，所以x的 之和为一√2，C选项错误；当k∈（一○，一4）时，函数y=f(x)的图象 和直线y=k有1个交点，即h(x)有1个零，点，D选项正确.] 取准为一否-受受，受故共有6个本点，] y [例3]解析方法-由函数f()=x十，2(m∈R)的定义城 32-1012345678910x 为（一1,2），显然m=0时，函数在区间（一1,2）内有且仅有一个零： 点，令x)=0,可得x+”2=0,即2-2x十m=0,且曲线y= 407