2.9 对数函数-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 ⑤正弦函数f(x)=sinx,对应f(x十y)f(x一y)=:[典例]（多选）已知函数∫(x)的定义域为R,且 [f(x)]2-[f(y)]2,来源于sin2a-sin2B=sin(af(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)>0,且 +B)·sin(a-B); 满足f(2)=1,则下列说法正确的是 () ⑥余弦函数f(x)=cosx,对应∫(x)十f(y)=: A.f(x)为奇函数 B.f(-2)=-1 2f(2)f(2'),来源于o8a+co8B= C.不等式f(2x)-f(x-3)>-2的解集为(-5， 2cosa2.cos0里， 十∞) 2 2 D.f(-2025)+f(-2024)++f(0)+…+ ⑦正切函数f(x)=tanx,对应f(x土y)= f(2024)+f(2025)=2024 f()土f以，来源于tan(a士B》= tana士tanB 温馨提示 请做课时分层检测（十四） 1干f(.x)f(y) 1干tan atan B §2.9 对数函数 【课标要求】1.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊 点.2.了解指数函数y=a'(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数， 口必备知识·整合 夯实基础回归教材> 1.对数函数的图象与性质 (2)函数y=ln y=In(1+x)-In(1-x) 1-x a>1 0<a<1 的定义域相同， ( 14 (3)当x>1时，若logar>logx,则a<b.() 图 y=logx 象 (1,0) (4)函数y=log2x与y=logx的图象关于x轴 (1.0) 对称 y=log x 2.(苏教必修一P158T6改编)若函数f(x)= 定义域 log2(x+1)的定义域为[0,1]，则函数f(x)的值 值域 域为 () A.[0,1] B.(0,1) 过定点 ,即x=1时，y=0 C.(-∞，1] D.[1,+o∞) 当x>1时， 当x>1时， 3.(2025·衡水联考)已知lga十lgb=0(a>0且a 性质 ≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)=a2与g(x) 当0<x<1时， 当0<x<1时， logx的图象可能是 函数 函数 2.反函数 指数函数y=ar(a>0,且a≠1)与对数函数y= 4.(2026·哈尔滨质检)若函数y=f(x)与y=5 logar(a>0,且a≠1)互为反函数，它们的图象关 互为反函数，则y=f(x2一2x)的单调递减区间 于直线 对称 是 【自主诊断】 【微点提醒】 1,判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或：1.掌握三个对数函数图象的特点 “X”) (1)不论a>1还是0<a<1,对数函数y= (1)函数y=log。2x(a>0,且a≠1)是对数函数. logx(a>0,且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但 不会与y轴相交 精品教辅·智慧人生 42 第二章函数 (2)不论a>1还是0<a<1,对数函数y=logax 底数 (a>0,且a≠1)的图象都经过点(，-1(1， 0),(a,1),且图象都在y轴右侧，据此可以快速 画出对数函数y=logar(a>0,且a≠1)的大致 C 图象 2.谨防两个失误点 (3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所 (1)凡涉及对数型函数，其真数与底数的取值范 示，其中图象(C1,C2,C3,C4对应的底数依次为 围一定不能忽略 a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c (2)在解决对数型复合函数时，当底数a的范围没 <d<1<a<b. 有明确时，必须分0<a<1和a>1两种情况讨论. 巴关键能力·突破 分类讲练以例求法>》 题型一对数函数的概念与图象 /思维升华/++++ [例1](1)（多选）下列选项正确的是 对数函数图象的识别及应用方法 A.若函数f(x)=log。-1x十a2-5a十6是对数函 ; (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函 数，则a=3或a=2 数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴 B.函数f(x)=1+1n(3十x)的定义域为(-3， 的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求 的选项。 0)U(0,+∞) (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相 C.函数f(x)=log。(4x-3)(a>0,且a≠1)的图 应的函数图象问题，利用数形结合法求解 象过定点(1,0) D.f(x)=log2(.x2-2x)的单调递增区间是(1， 跟踪训练1(1)（多选）函数f(x)=logax(a>0 且a≠1)，下列说法正确的是 () 十∞) A.当0<a<1时，函数在其定义域上是减函数 (2)(2026·深圳模拟)已知a>0,且a≠1，则函 B.f(x)的反函数为g(x)=a 数y=log+）的图象一定经过 C.当0<a<1且x>1时，f(x)>0 A.一、二象限 B.一、三象限 D.若点(2,1)在f(x)的图象上，则f()=-2 C.二、四象限 D.三、四象限 (2)(2026·柳州质测)已知函数 [听课记录] f(x)=log (2*+6-1)(a>0 a≠1)的图象如图所示，则a,b满 足的关系是 ( A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 题型二对数函数的性质及应用 命题点1比较对数式的大小 [例2](1)(2025·全国I卷，8,5分，中)已知2+ log2x=3+log3y=5+log52,则x,y,x的大小关 系不可能为 () 43 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 A.>y> B.r>>y C.f(og2)) C.y>x>x D.y>>t (2)(多选)(2025·黑龙江龙东联盟联考)已知 D.f9a.1-2)>f(3o18-2) 2a=3b=6,则a,b满足 ( (2)(多选)(2026·岳阳模拟)关于函数∫(x)= A.a=log26 B.a<b log2x+log2(4一x),下列说法正确的是() c+< D.a+6>4 A.f(x)的最大值为1 [听课记录] B.f(x)在区间(0,2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 听课记录] 命题点2解简单的对数方程或不等式 [例3](1)(2026·济南模拟)已知函数∫(x)是定 义在R上的偶函数，且在[0，十∞)上单调递增， 若正实数a满足fog2a)+f1og2a)≤2f(1), +/思维升华/++++++++++++++ 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的 则a的取值范围是 ) 函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄 A.[1,2] B(0,] 清三方面的问题：一是定义域，所有问题都 c22] 必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小 D.(0,2] 关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些 (2)(2026·中山模拟)设实数a>0,则“24>2”是 基本初等函数复合而成的.另外，解题时要 “loga(a+2）>0"的 注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想 A.充分不必要条件 的应用. B.必要不充分条件 跟踪训练2(1)(2026·衡阳质检)已知a= C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1og1.86=1og3.6c=7则 ( [听课记录] A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a (2)(多选)(2026·辽宁教研联盟模拟)关于函数 x)=8(产。一)，下列说法正确的有（) 命题点3对数函数性质的综合应用 A.f(x)的定义域为(-1,1) [例4](1)（多选）(2026·泉州模拟)已知函数 B.f(x)的图象关于y轴对称 )=g(r2-x+)则 C.∫(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增 A.f(x)的最小值为1 B.3x∈R,f(1)+f(x)=2 温馨提示 请做课时分层检测（十五） 精品教辅·智慧人生 44所以m≥+2，x∈[1,2]， 令t=2r,t∈[2,4]， 由于y=1计在[2，幻上单调递增， 所以m≥4+日-平。 4 图1 图2 即实数m的取值龙国足[兴，十∞） 则当>1时，如图2，函数图象过一、三、四象限.所以函数y= 【微拓展】解析对于A,令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0)= 10g(十）的图象一定经过三，四象限，故选D 2f(0),所以f(0)=0, 答案D 令y=-x,得到f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f八-x)=一f(x),跟踪训练1(1)ABD[对于A,当0<a<1时，f(x)=logx在其 所以f(x)为奇函数，故A正确： 定义域上是减函数，故A正确：易知B正确：对于C,当0<a< 对于B,因为f(x)为奇函数， 1时，f(x)=logx在其定义域上是减函数，所以当x>1时，f(x) 所以f(一2)=一f(2)=-1,故B正确： =logx<loga1=0,故C错误：对于D,因为点(2,1)在f(x)的图 对于C,设x1>x2,x=x1,y=一x2, 可得f(1一x2）=f(西1)+f(一x2), 象上，所以og2=1,则a=2,所以f(x)=log影，则f(） 所以f(1)-f(x2)=f(x1)+f(-22)=f(1-x2), 又因为1>x2,所以x1一2>0， l1og2车=log222=-2,故D正确.] 所以f(x1-x2)>0,即f(x1)>f(x2), (2)A[由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y 所以f(x)在R上单调递增，因为f(2)=一1， 轴的交点坐标为(0，logb),由函数图象可知一1<logb<0,解得 所以f(-4)=f(-2-2)=2f(-2)=-2, 1 -<b<1.综上，0<a1<b<1.] 由f(2x)-f(x-3)>-2, 可得f(2x)>f(x-3)+f(一4)， 所以f(2.x)>f(x-3-4)=f(x-7), [例2习1)解析方法一由题意可得，2+品号=3+品等5十 所以2x>x一7，得到x>一7， 所以f(2x)-f(x-3)>-2的解集为(-7，十o∞)， 影则影-1=；=2+品影 故C错误； 令=n6=n=n,剥合2一1=品。=2+品 3 对于D,因为f(x)为奇函数，所以f(一x)十f(x)=0, 1 所以f(-2025)+f(2025)=f(-2024)+f(2024)》 1 =…=f(-1)+f(1)=0, “n2≈1.4n3≈1n5≈0.6， 又f(0)=0,故f(-2025)+f(-2024)+…+f(0)+…: .可令y1=1,4t-1,y2=ty3=2+0.6t, 如图 +f(2024)+f(2025)=0,故D错误. 答案AB y=1.4-1 10 82.9对数函数 6 =2+0.6 必备知识·整合 1.(0,+o)R(1,0)y0y0y<0 y>0增减 3 2.① 2.y=x -3-20平123456781 [自主诊断] 2 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ ①此时t1>t2>t3,即lnx>lny>ln,即x>y>z 2.A[根据复合函数单调性的同增异减原则可知f(x)在[0,1]上 ②此时t2>t1>t,即lny>lnx>ln之，即y>x>; 单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x十1≤2，则log21≤log2(x十 ③此时t2>t3>t,即lny>ln>lnx,即y>>x; 1)log22,即f(x)∈L0,1].] ④此时t3>t2>t1,即ln>ny>lnx,即>y>x. 3.B[因为lga十lgb=0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，所以ab=1, 综上，选项B不可能.故选B. 所以a=方，所以g)=logx=logx,画数f八x)=a与函数g 方法二令2+log2x=3+log3y=5+log5×=t, (x)=logx互为反函数，所以函数f(x)=a与g(x)=logx的 当1=3时，2=2y=1之一2方，则>y>,选项A成立： 图象关于直线y=x对称，且具有相同的单调性，故选B.] 当t=5时，x=8,y=9,x=1,则y>x>心，选项C成立； 4.（一o,0)[因为y=f(x)与y=5互为反函数，所以f(x)= 当t=8时，x=64,y=243,之=125，则y>>x,选项D成立. log5x,则f(x2-2x)=log5(x2-2x).设u=x2-2z,则f()= 故选B. 答案B log5,由x2-2x>0,解得x<0或x>2.因为f(r)=logr在其 (2)解析A选项，由2=6，得a=log26,故A正确： 定义域上单调递增，又以=x2-2x在(-∞，0)上单调递减，在(2， B选项，由3b=6,得b=log6,a=log26>2,b=log36<2, 十©o)上单调递增，所以y=f(x2一2x)的单调递减区间是（一∞， .a>b,故B错误； 0). 1 1 1 关键能力·突破 选项，：1十万=0g26T0g6=log62+log3=1,故C4 a a2-5a+6=0, D选项，a≠b且a>0,b>0,∴.由基本不等式得a十b=(a十b) 例1](1)解析对于A,a-1>0, (a-1≠1， (+)=2++号>4，故D正确 a 解得a=3,A错误； 答案AD 对于B,夫0、。解得x>一3且≠0，B正确： [例3](1)解析因为loga=一log2a,又f(x)是定义在R上的 偶函数，所以f(log2a)+f(loga)=f(log2a)十f(-log2a)= 对于C,令4x-3=1,解得x=1,则f(1)=logn1=0,C正确； 2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤ 对于D,x2-2x>0→x∈(-∞，0)U(2,十o),可知当x>2时，y f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，十co)上单调 =x2一2x单调递增，结合复合函数的单调性可知∫(x)的单调递！ 增区间为(2，十©o),D错误. 递增，所以loga1,即-1≤og影a≤1，解得2≤a≤2.故选C 答案BC 答案C 2)解折当=0时y=og合-=-1，则当0<a<1时，如周 (2)解析由2a>2,可得a>1. 1,函数图象过二、三、四象限； 由lg(a+2）>0, 404 可得1og(a+)>lgl, [例3】解析取特殊值，令a=4,6=2c=子， 0<a<1, 则a=4,b=2,d>b,故A错误； +2> 或」 +<1, a ab=4X2*=2÷,ba°=2X4t=2音， 解得a>1或0<a< ∴.af>ba,故B错误； 1ogc=l0g=-1,logs=lg影↓=-2， 因此2>2”是“1g(+2）>0“的充分不必要条件. alogoc=-8,blogac=-2, 答案A ∴alog6c<blog.c,logac>log6c,故C正确，D错误. 答案C [例4)(1)解析由题可得，f(x)= [(一号)+10]≥lg10=1.跟踪训练11)D[因为6=og,6=1og6)2=1og:后，且c= 当且仅当x= 分时，x)取得最小值1，A正扇；因为当且仅当x 2=log3B,又B<2<6,函数y=1ogx在(0，十o∞)上单调递 =之时，)取得最小镜1，所以f1>1,所以)+> 增，则log√3<log32<log3√6，所以c<a<b.] (2)C[依题意，a=log2r>log22=1,b=log÷π<log÷1=0,0<c 2B错误：国为0<e2-器贵器言所以l6g2-号 =x2<x0=1,所以a>c>b.] ）+10,则[例4]解析1 为1og5-l6s7-长等-贵等-llg Ig 7Ig 9 8x)的因象关于直线x=言对称，gg2)>g(号）>0，又y= 又因为g5g9<(5告出)=()<()- gx在定义城上是增函教，所以2)>（号），C正确：因为 (1g7)2, 所以log75-log97<0,即a<b. 90.1=30.2>30.18>1,所以90.1- 7>30->，又f) 因为1og7-log19-贤gg9=g71g1-g92 1g91g Ig 1llg 9 在（合+）上单增，所以f901-)>(30-） 又周为gg1<(s山)-()°<(）° D正确. (lg9)2,所以log97-log119<0,即b<c,所以a<b<c. 答案ACD 答案A (2)解析函数f()=1og2x十log影(4-x)=1og影(4红-2)=[例5]解析由m=4,得m=4广=2<厄，由=9，得n=g六 1og2[-(x-2)2+4](0<x<4), =3T, 当x=2时，4.z一x2取到最大值4， 故此时f(x)=log2x十log2(4-x)取到最大值log24=2,A错误；； 因此，”=2 ()-()-() 2×201 >1,即√2> f(x)=l0g2(4.x-x2)(0<x<4)可以看作是由函数y=log2u,u= n 一zx2十4x(0<x<4)复合而成，而y=log2u是定义域上的增函 m>n, 数，u=一x2十4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调1 由0.92=0.8，得p=log0.90.8>log0.90.81=2,所以p>m>m. 递减，故f(x)在区间(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，B正 答案A 确； [例6]解析因为53=125>(3)3=81，所以5>3， 因为函数f(4一x)=log2(4一x)+log2x=f(x),故f(x)的图象· 关于直线x=2对称，C正确： 所以log,5>log3立=专，即a>c 因为f(4一x)十f(x)=2f(x)=0不恒成立，故f(x)的图象不关 因为73=343<(57)3=625，所以7<5， 于点(2,0)对称，D错误. 答案BC 所以1og7<l0g5=专，即c 跟踪训练2(1)C[由z=log2E<log2l.8=log2V3.24< 所以a>c>b. 答案D log2√3.6=log13.6,可得c<a<b.] 跟踪训练2(1)D[,2024a=2025,2025b=2024,e=2, 2ACD[因为f)=s(已三-=g告则令0，屏 .a=log20242025>1,b=log202s2024<1,c=ln2<1,∴.a>1, 0<b1,0<c<1,∴.logc<0,log6c>0,.log。c<logc,故A错 得一1x1, 所以f(x)的定义域为（一1,1），故A正确； 误；0<c<1,a>b,∴.loga<logb,a>f,<cb,故B,C错误， D正确.] 因为代-)=lg卡一)，所以f)为寺西数， 所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确； @Aa=年=-2（间-(9）-是b=1s7= 2-1在(0,1)上单调递增，y=lgx在(0，十∞)上单 因为y一1一x 1-1ogw2=1-品c=1og6=1-bgu2=1-b最·周为 调递增， 4og42=log42=1og1416>1,则1og42>,所以1-log42< 所以八)=1e(产)在01上举词递增，故D正确，门 1-}-是即6<a:两1a2>0,n14>1h12>0,所以品 §2.10指、对、幂的大小比较 -1.1 [例】解析由子a=(合）=21>26=6=2>21= 品所以1-品≥1-品即6>蝶上>6 §2.11函数的图象 a>2,c=log38<log39=2,所以c<a<b. 答案C :必备知识·整合 ·1.列表描点连线 [例2习解析由题意知，=31=子×3=号6=1g2<2+)x)e)-大 1og:5=分a=1g2>1g5=分又20<3，则2<8，a= (2)①-f(x)②f(-x)③-f(-x) ④logax(a>0,且a≠1)(3)①f(a.x) ag,2<lg3时=号所以a<c ②af(x)(4)①lf(x川②f|x) :[自主诊断] 答案B 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 405