第08讲：圆的方程讲义【八大题型+知识归纳+高分演练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第08讲：圆的方程 题型一、求圆的标准方程 2 题型二：求圆的一般方程 3 题型三：二元二次方程表示圆的参数问题 4 题型四：圆的定点问题 5 题型五：轨迹方程问题 7 题型六：点和圆的位置关系 9 题型七：点和圆的最值问题 10 题型八：圆的方程综合问题 12 知识点一　圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点三　点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 题型一、求圆的标准方程 【例1】．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【详解】（1）由条件可知，所以圆的标准方程为. （2），所以半径，圆心为，所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为，所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 【变式1】．（26-27高二上·云南昆明·阶段检测）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)圆心在直线：上，且过和点． 【详解】（1）因为圆心在，且过点， 可得，圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心为，半径为，圆的标准方程为. 因为圆心在直线：上，所以， 又因为圆过点和点，所以，即， 两边平方可得，，整理得，，联立方程，，解得， 则，综上所述，圆的标准方程为. 【变式2】．（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 【详解】（1）由条件可知半径，圆心为， 所以圆的标准方程为. （2）由题意得，所以半径， 由中点坐标公式得圆心为， 所以圆的标准方程为. 题型二：求圆的一般方程 【例2】．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 【变式1】．（24-25高二上·天津滨海新区·期中）已知点外接圆的方程是__________ 【答案】 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组，解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 【变式2】．（23-24高三下·河南郑州·阶段检测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为______． 【答案】 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入三点坐标，可得，解得， 即，化简可得圆的标准方程为． 故答案为： 题型三：二元二次方程表示圆的参数问题 【例3】．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 【变式1】．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 【变式2】．（25-26高二上·河北唐山·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】对于方程，若表示圆， 则需满足（其中，，）. 代入得， 化简为， 即， 因式分解得， 解得. 故选：B 题型四：圆的定点问题 【例4】．（19-20高二上·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】方程可化为. 曲线恒过定点，，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：. 【变式1】．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【答案】， 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 题型五：轨迹方程问题 【例5】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设，由题意可知：，即，则，整理可得，所以动点的轨迹方程为； （2）设，因为点为线段的中点，且，则，又因为点在圆上运动，则，可得， 所以点的轨迹方程为. 【变式1】．（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线段的中点，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （2）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （3）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 【变式2】．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：，即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 题型六：点和圆的位置关系 【例6】．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 【变式1】．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 【变式2】．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 题型七：点和圆的最值问题 【例7】．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 【变式1】．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 【变式2】．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【详解】设中点为 ，则 ，所以 . 得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离， 因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ， 设点 到直线 的距离为 ， 则：， 所以 . 又因为 ，所以 . 综上， 的最小值为 . 题型八：圆的方程综合问题 【例8】．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． （3）由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 【变式1】．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 【变式2】．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【详解】（1）设，则，化简得，， 即. （2）由知，圆心为，半径，因为，所以点在圆外， ，所以. （3）因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 一、单选题 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意求出圆的标准式，从而再求出一般式. 【详解】由已知得圆的半径为，故圆的方程为， 即． 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知方程表示圆，则其圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程的特征，求解圆心坐标. 【详解】由圆的一般方程，其圆心坐标为. 可得圆方程，对应，， 代入公式计算可得：圆心横坐标为，纵坐标为， 因此圆心坐标为. 3．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为圆方程为，所以圆心为， 又因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即. 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 5．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 6．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 7．（2026·湖北武汉·模拟预测）某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆可知圆心，半径， 令，则，因为，， 所以， 所以， 因为在上单调递增， 所以当时，. 二、多选题 8．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）在中，，的内心，下列说法正确的有（ ） A．的内切圆的半径为10 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为， 故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 9．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 【答案】AC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 10．（2026·山西忻州·模拟预测）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 【答案】ABD 【分析】利用点到直线的距离公式、圆的定义结合基本不等式判定各选项即可. 【详解】设，则. 点到直线的距离为，点到直线的距离为. 对于A，.故A正确. 对于B，由于，且， 所以. 因此.当且仅当时取等，故B正确. 对于C，若，则. 平方得，化简得. 单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误. 对于D，由，得.故D正确. 11．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项；通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项；点与圆的位置关系可判断C选项；利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项. 【详解】把转化为标准方程, 则，如图所示，作出符合题意的图形， 对于A：圆心的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B正确； 对于C：因为，所以点在圆外，故C错误； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 三、填空题 12．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）求以直线和的交点为圆心，半径为4的圆的标准方程______ 【答案】 【分析】先求直线和的交点，进而求圆的标准方程. 【详解】由题意有：， 所以圆的圆心为，半径为4， 所以圆的标准方程为： . 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 14．（25-26高一下·江苏无锡·期中）复数满足，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设， 由得， 所以， 即点是圆心为，半径为1的圆上的动点， ，表示的是点与点的距离，而在圆外 所以的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即的最小值为. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 【答案】 【详解】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 四、解答题 16．（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. 17．（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知倾斜角为的直线过点，圆的圆心在直线上，且圆过点和点． (1)求直线的一般式方程和圆的标准方程； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意可知，直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，即直线的一般式方程为，   因为圆心在直线上，所以可设圆心， 因为A，B是圆上的两点， 所以，则，解得，               所以圆心，圆的半径为，        故所求的圆的标准方程是． （2）直线AB的方程为，             圆心到直线AB的距离为，                    所以的面积为． 18．（25-26高二上·福建·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 【详解】（1）由题可设，由得，解得. 所以圆心，半径. 所以圆的方程为. (2)设，则. . 即为定值. 19．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. (1)求； (2)过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为，由题有，解得，所以的值为. （2）（i）由（1）知，所以，又在直线上，所以，得到，则直线的斜率为，所以的方程为，其一般式方程为. （ii）由（1）知圆，圆心为，半径为， 所以的最大值为，即的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲：圆的方程 题型一、求圆的标准方程 2 题型二：求圆的一般方程 2 题型三：二元二次方程表示圆的参数问题 3 题型四：圆的定点问题 3 题型五：轨迹方程问题 3 题型六：点和圆的位置关系 4 题型七：点和圆的最值问题 4 题型八：圆的方程综合问题 5 知识点一　圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点三　点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 题型一、求圆的标准方程 【例1】．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【变式1】．（26-27高二上·云南昆明·阶段检测）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)圆心在直线：上，且过和点． 【变式2】．（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 题型二：求圆的一般方程 【例2】．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【变式1】．（24-25高二上·天津滨海新区·期中）已知点外接圆的方程是__________ 【变式2】．（23-24高三下·河南郑州·阶段检测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为______． 题型三：二元二次方程表示圆的参数问题 【例3】．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·河北唐山·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 题型四：圆的定点问题 【例4】．（19-20高二上·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 题型五：轨迹方程问题 【例5】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【变式1】．（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 【变式2】．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 题型六：点和圆的位置关系 【例6】．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【变式1】．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 题型七：点和圆的最值问题 【例7】．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【变式1】．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【变式2】．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 题型八：圆的方程综合问题 【例8】．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 【变式1】．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【变式2】．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 一、单选题 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知方程表示圆，则其圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 6．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北武汉·模拟预测）某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）在中，，的内心，下列说法正确的有（ ） A．的内切圆的半径为10 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 9．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 10．（2026·山西忻州·模拟预测）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 11．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 三、填空题 12．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）求以直线和的交点为圆心，半径为4的圆的标准方程______ 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 14．（25-26高一下·江苏无锡·期中）复数满足，则的最小值为________． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 四、解答题 16．（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 17．（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知倾斜角为的直线过点，圆的圆心在直线上，且圆过点和点． (1)求直线的一般式方程和圆的标准方程； (2)求的面积． 18．（25-26高二上·福建·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 19．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. (1)求； (2)过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $