2.4 函数的周期性和对称性-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

[例3]解析设g(x)=f(x)+5=x+ln(√x2+1-x), 为y=x3与y=2.x在定义域[一5,5]上单调递增，所以f(x)在定 则g(x)的定义城为[-2026,2026]， 义城[-5,5]上单调递增，则不等式f(2x+1)+f(a+b+c)>0,即 则g(x)+g(-x)=x+ln(√x2+1-x)-x+ln(√/2+I+x) f(2x+1)+f(4)>0,等价于f(2x+1)>f(-4),所以 (2x+1>-4, =ln[(Wx2+1-x)(Wx2+1+x)]=ln1=0, {+1,解得-号<≤2，即不等式的解集为(-吾， ·g(一x)=一g(x),即g(x)是奇函数， 因此g(x)min十g(x）max=0. 2.故选C.] 又g(.x）min=f(x)min+5=m+5, (2)ABD[由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0,故A g(z)max=f(z)max+5=M+5, 正确： g(z)min+g(z)max=m+5+M+5-0, 令x<0,则-x>0,f(-x)=(x2-3)ex+2,又f-x)=-fx),所以 即M+m=-10. 答案一10 fx)=-(x2-3)e-2,则x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2,故 B正确； f(1)+f(0) 跟踪训练1（1)ABD[令x=1=0,则f)=0,即1= f(一1)=2(e一1)>2，故C错误： =0心f0)=0,A正确：令x=y=1,则f(2)=fI)+f0 1+f0) 当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2, 1-1 求导得f=2-2z-3-x+1D(z-3到 无意义，即f(x)的定义域不为R,C错误；由f(x十y)= e 当x∈(-∞，一1)时，f(x)>0,f(x)单调递增， )f可知f(x)f(y)≠1，令y==x,则f(0) 当x∈(-1,0)时，(x)<0,f(x)单调递减， f(x)+f(一x) ∴.x=一1是f(x)的极大值点，故D正确. 1-f(x)f(-x) =0,即f(x)+f(-x)=0,故f(-x)=-f(x), 故选ABD.] B正确：f(x+1)=x)+ 1-f(x,f(x+2)=fx+1)+】 §2.4函数的周期性和对称性 1-f(x+1) +1 必备知识·整合 1.(1)f(x十T)=f(x)(2)最小最小正数 1思 fD正确.] 2.(2)(a,0)(3)x=a(a,0) 3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 (2)奇[由题意得函数f(x)的定义城为R,定义域关于原，点对·[自主诊断] 称，令x=y=0,则f(0)=f(0)十f(0)十2，故f(0)=一2.令y= ·1.(1)/(2)/(3)×(4)/ 一x,则f(0)=f(x)+f(-x)十2，故f(x)+2=-f(-x)-2=2.B[由f(x十2)=-f(x),可得f(x+4)=-f(.x+2)=f(x), 一f(一x)+2.故f(x)十2为奇函数. 所以f(x)是周期为4的周期函数，f(23)=f(23一4×6)=f(-1).因 [例4](1)解析由函数f(x)是R上的奇函数，得f(0)=0,而当： x0时，一x0, 为f(-1+2)=-f(-1D.且当x∈[01]时，f(x)=2z所以 所以f(x)= -f(一x) 1 2 f(-1)=-f1)=4-2X灯=-7，故选B] (-x)2-2X(-x)+2 22+2x+2 3.C[记f(x)=e,则关于直线x=1对称的是f(2-x)=e2-r, ,x0, 即y=e2,] x2+2x+2 :4.4[方法一由y=f(x十2)-3是奇函数，f(-x十2)一3= 综上所述，f(x) 0,x=0, -f(x+2)+3,令x=2,f(0)-3=-f(4)+3,得f0)=4. 方法二由y=f(x+2)一3是奇函数，得f(x)关于(2,3)对称 z2-2x+2x>0. 故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4.] 22+2z+2x<0, 关键能力·突破 例1](1)解析 由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数得， 答案 0,x=0, 2 )=()=+)=() x2-2x+22>0 又当2≤x≤3时，f(x)=5-2x, (2)解析设f(x)=(2-m·2x)x5, 则该函数为R上的偶函数， 则(-)=()=5-2×4=2 则对任意的x∈R,f(一x)=f(x), 故选A. 即(2x-m·2r)·(-x)5=(2r-m·2)·x5, 答案A 整理可得2x+2x一m(2r+2x)=(1-m)(2+2x)=0, (2)解析根据题意，设x∈[2,4]，则x一4∈[一2,0]，则有 所以1一=0，解得m=1. 4-x∈[0,2]，又x∈[0,2]时，f(x)=log2(x+1),则f(4-x)= 答案1 log2[(4一x)十1]=log2(5一x),又f(x)为周期为4的偶函数，所 [例5]解析f(x)=ln(x2十1)一 以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),x∈[2,4]，则有 f(x)=log2(5-x),x∈[2,4]. 则f(x)的定义域为{xx≠0， 答案f(x)=log2(5一x),x∈[2,4] 又f(x)=f(一x),故f(x)为偶函数， 跟踪训练1ACD因为f(x一3)=一f(x),所以f(x)=一f(x十 当x>0时，fx)=ln(r+1)-子 3),则f(x一3)=f(x+3),所以f(x+6)=f(x),故A正确；当 x∈[0,3]时，f(x)=x2-3x,则当x∈[-6，一3]时，x+6∈[0， 又=ln(x2+1D,2=-上在(0，十eo)上都单调递增，故f(x) 3],f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(.x+6)=x2+9x+18,故B不 在(0，十∞)上单调递增，在（一○，0）上单调递减， 正确：由f(x+6)=f(x),得函数f(x)的一个周期为6，得 1x≠0， f(2023)=f(1+337×6)=f(1)=-2,f(2025)=f(3+337× 因为f(.x)>f(2x+1),所以2x+1≠0， 6)=f(3)=0,f2024)=f(2+337×6)=f(2)=-2,所以f(2023 (x>12x+1, +f(2025)=f(2024),故C正确：由A选项知，f(x)=一f(x+ 且x≠- 3),又f(x)=一f(一x),则f(x十3)=f(一x),所以函数f(x)的 所以一1<x 3 2· 3 一条对称轴为直线x=号，故D正确.] 故x的取值范图为(-1，-2）U(-2,-3） [例2解析因为f(2十x)=f(2一x),所以f(x)的图象关于直 线x=2对称，故A正确，B错误；因为函数f(x)的图象关于直线 答案 (-1.-)(-3) x=2对称，所以f(一x)=f(x十4)，又f(一x)=f(x),所以 f(x十4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4，故C正确；因为f(x) 跟踪训练2(1)C[因为函数f(x)=x3十(a一2)x2+2.x十b是定1 的周期为4且为偶函数，所以y=f(x十4)为偶函数，故D正确.] 义在[一2c一1，c+3]上的奇函数，所以一2c一1十c十3=0，解得c1 答案ACD =2,又f(-x)=-f(x),即-x3+(a-2)x2-2x+b=-x3 2)x2x-6,所以2(a-2)2+26=0,解得[例3)证明方法-f2-)=ln2二2+a(2-0)+b1-x)3 2a2)=0解得{a=2:所以f(x)=x3+2x,x∈[-5,5].因 2b=0, b=0. =-In 2-z -ax-b(x-1)3+2a=-f(.x)+2a, 398 故曲线y=f(x)关于点(1，a)中心对称 增，所以f(2)<f(一ln2)<f(3),即c<b<a,所以B正确；因为 方法=“fx)=ln2产z+ax+bx-1)3,ze(0,2), f(x)在[1，十co)上单调递增，所以函数f(x)在（一©o,1]上单调 递减，所以函数∫(x)在x=1处取到最小值，所以C正确，D不 .f(x+1)=ln+z+ax+a+bx3,x∈(-1,1) 正确， 1-x (2)(0,1][因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数 令6x)=e+1D-a=n+ar+bmre(-1,》 y=f(x)的图象关于原，点对称，且f(0)=0,当x>0时，f(x) a(x一1)十1=ax十1一a,当x0时，一x>0,则f(一x)=一ax十1一a, 1十x 则f(x)=一f(一x)=ax十a一1，即当x<0时，函数f(x)=ax十 则g()三n1+2-az一br3=-hux一bx3=-gx), a-1, ∴·g(x)是定义域为（一1,1）的奇函数，其图象关于坐标原点O ax+a-1,x<0, 对称. 所以f(x)= 0,x=0, 因为函数y=f(x)是R上的增函数， 又，：f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向 ax十1-a,x>0. 上平移个单位长度得到， a>0, .曲线y=f(x)是中心对称图形 则有1一a≥0，解得0<a≤1，所以实数a的取值范围为(0,1].] [例4们解析设P(xo,%)为y=f(x十2)图象上任意一点，则y (a-10, =f(x0+2)=f(4一(2-x0)), :[例2](1)解析因为f(x十2)是偶函数，所以f(一x+2)=f(x十 所以点Q(2-00)在函数y=(4一x)的图象上： 2),因为f(2x+1)是奇函数，所以f(2x+1)=一f(2x十1)，且由 而点P(xoyo)与点Q(2一x0,yo)关于直线x=1对称， F(x)=f(2x+1)是奇函数，可得F(0)=f(1)=0,所以f(-1)= 所以函数y=f(x十2)与y=f(4一x)的图象关于直线x=1对称. 一f(3)=一f(1)=0,且易知函数f(x)的周期为4，其他几个不 答案A 一定为0.故选B. 跟踪训练2(1)BC[函数y=f(x十1)一2为定义在R上的奇函！ 答案B 数，则有f(一x+1)一2=一f(x+1)+2,即f(一x十1)+f(x+ (2)解析函数f(x)的定义战为R,且f(0)=一2，则f(x)不可能是 1D=4,又-+1)+(+1D-1,号=2，所以函数y=(x)的图 奇函数，故A错误； 2 象关于点(1,2)对称，无法判断是否关于点(2,2)对称，A选项错 定义在R上的画数f(x)满足fx-1)=-∫(+2）·支形可 误：函数g()红2十皓合反比例函数的性质和函数】 x一1 得f)=-f(x-） 图象的平移可知，g(x)的函数图象也关于点(1,2)对称，B选项正 确；f八x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1,2)对称，不妨设x1: 而f(x-是）为奇函数， <x2<…<x2026,则有21十x2026=x2十x2025=…=x1013+ x1014=2,M十y202%=3%十y2025=…=y1013十y1014=4,所以 x1十x2十…十x2026=2026,C选项正确：M1十y2十…十y2026= 则f(-x-)=-f(-) 4052,D选项错误.] (2)1[因为函数y=f(x)与y=3+m的图象关于直线y=x对 则(-)=-f(-)则有-)= 称，所以x=log3y一m,所以f(x)=log3x一m,所以f(3)+f(9) 即函数f(x)为偶函数，故B正确： =1-m十2一m=1,所以m=1.] 已知函教f)满足fx-D=-∫(+)： §2.5函数性质的综合应用 [例1](1)解析根据题意可得函数f(x)在(0，十o)上单调递 即f)=-f(+2) 增，由f(一1)=f(2)=1可得f(1)=f(-2)=一1.由f(x)在 (-,0)止单词递增，得f号）>-2)=-1，故A正痛：由 则有fx+3)=-f(+2)=. 即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确： f(一1)=1，f(1)=-1,得f(-1)>f(1),故B正确；由函数f(x) f(x)是偶函数且周期为3， 在(0，+co)上单调递增，得f(3)>f(2)=1,故C正确；由函数 则f(2025)=f(0)=一2，故D正确 f(x)在(0，+o)上单调递增，得f(2)） <f(1)=一1，故D 答案BCD 跟踪训练2(1)C[因为f(x一2)为奇函数，f(x)的周期为2，所 错误. f(x）-f(x2) 答案ABC 以f(x)为奇函数，因为Hx1,x2∈[0,1)，x1≠x2, (2)解析设x1>x2, 由f)->4m+2), >0,所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为(x)为奇函数，所以f(x) 在（一1,0]上单调递增，所以f(x)在（一1,1）上单调递增，因为 x1一x2 得f(1)-f(.x2)>4(x1十x2)(1-x2)=4(x1-x), f(-2)=f(-2+2×4=f(2)0=4-2x2)= 所以f(x1)-4x>f(x2）一4.x号， 令g(x)=f(.x)-4x2,x∈[0，+co), 0(=(告-2x=()所以1()）>0> 则g(x1)>g(x2), 所以函数g(x)在[0，十○)上单调递增， ()()>>(》 因为f(x)是定义在R上的偶函数， (2)36075[因为f(1+2x)十f(1-2x)=6,令x=0可得，f(1)+ 所以f(-x)=f(x), f(1)=6,所以f(1)=3:函数f(x)为偶函数，则f(x)=f(一x), 所以对任意的xR,g(x)=f(一x)一4(-x)2=f(x)-4x2=! g(x）, 因为f(1+2x)+f(1-2x)=6,所以f(t)+f(2一t)=6,则f(t+2) 所以函数g(x)为R上的偶函数， 十f(一6)=6，又f(t)=f(一t),所以f(t+2)+ft)=6,则有f(t+2》 且g(2)=f(2)-4×22=16-16=0. =f2-t)=ft-2),因此可得f(x+4)=f(x),故函数f(x)是周 期为4的周期函数：在f(1十2x)十f(1一2x)=6中，令x=1可得 由flnm)≤4(nm)2, 可得f(lnm)-4(lnm)20, f(3)+f(-1)=6,又f(-1)=f(1)=3,所以f(3)=3,令x= 即g(lnm)g(2), 可得f(2)+f(0)=6,文f(4)=f(0),所以f(2)+f(4)=6,则 即|lnm≤2，所以-2≤lnm2, f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+6+3=12,所以f(1)+f(2)+ 解得己<n≤c2 f(3)+…+f(2023)+f(2024)+f(2025)=[f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)]×506+f1)=12×506+3=6075.] 所以m的取值范国是己e] [例3]解析因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(一x)= 一f(2+x),又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)=f(一x),所以 答案D f(x十2)=一f(一x)=一f(x),所以f(x+4)=一f(x+2)= 跟踪训练1(1)ABC[由函数y=f(x十1)是R上的偶函数，并且 一[一f(x)]=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)= y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度 f(一1)=f(1)=2-2=0.又f(0)=1,f(2)=一f(0)=-1,所以f(0) 得到的，所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称，所以A正确；因 +f1)+f(2)+·+f(2024)=506×[f(0)+f(1)+f(2)+ a=f(log28)=f(3),b=f(-In 2)=f(2+In 2),c=f(eln2)= f(3)]+f(2024)=506×(1+0-1+0)+f(0)=1. f(2),因为3>ln2+2>2>1且函数f(x)在[1，+)上单调递1 答案D 399第二章函数 命题点2利用奇偶性解不等式 跟踪训练2(1)(2026·菏泽调研)已知函数f(x) [例5]设函数f(x)=ln(x2+1) 女可：则满足fx) =x3+(a-2)x2+2x+b是定义在[-2c-1,c+ 3]上的奇函数，则不等式f(2x十1)十f(a十b十 >f(2x十1)的x的取值范围为 c)>0的解集为 ( [听课记录] A.(-2,4] B.(-3,5] c(-22 D.(-2,2] (2)(多选)(2025·全国Ⅱ卷，10,6分，中)已知 +/思维升华/+++++++++++++ ∫(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时， f(x)=(.x2-3)er+2,则 () (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数 ! 的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为 A.f(0)=0 求已知区间上的函数或得到参数的恒等式， B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 利用方程思想求参数的值 C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区 D.x=一1是f(x)的极大值点 间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 温馨提示 请做课时分层检测（九） §2.4函数的周期性和对称性 【课标要求】1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公 式和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》》 1.函数的周期性 (2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=一f(a+十x), (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为 则函数的图象关于点 对称. D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个 (3)若f(x十a)是偶函数，则函数f(x)图象的对 x∈D都有x十T∈D,且 ,那么函数y= 称轴为 ;若f(x十a)是奇函数，则函数 (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函 f(x)图象的对称中心为 数的周期 :3.两个函数图象的对称 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 期中存在一个 的正数，那么这个 对称： 就叫做f(x)的最小正周期. (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于 2.奇函数、偶函数的对称性 对称； (1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=(a十x),则 (3)函数y=f(x)与y=一f(-x)的图象关于 函数的图象关于直线x=a对称； 对称. 27 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 【自主诊断】 :4.(2026·昆明诊断)已知函数y=∫(x十2)一3是 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 奇函数，且f(4)=2,则f(0)= “X”) 【微点提醒】 (1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈ 1.熟记函数周期性的三个常用结论 N)也是函数f(x)的一个周期 对(x)定义域内任一自变量的值x: (2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x一 1)的图象关于点(1,0)对称. ( (1)若f(x+a)=-f(x)(a≠0)，则T=2a; (3)若函数y=∫(x十1)是偶函数，则函数y= (2)若fx+a)=foa≠0)，则T=2lali f(x)的图象关于直线x=一1对称. 1 (4)若函数f(x)满足f(2十x)=f(2一x),则 (3)若f(x十a)=- fa≠0)，则T=2lal. f(x)的图象关于直线x=2对称. )2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 2.若函数f(x)满足f(x十2)=-f(x),且当x∈ (I)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a [0.1]时，fx)=42z,则f23)= ( 和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2a-bl; A.-1 C.0 D.2 (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和 点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为T=2a一b: 3.下列函数与y=e关于直线x=1对称的是( A.y=c-1 B.y=el- (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)》 C.y=e2-+ D.y=In x 对称，则函数f(x)的周期为T=4a一bl. ☑关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一函数的周期性 /思维升华/+++++ [例1](1)(2025·全国I卷，5,5分，易)已知 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据 ∫(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤ 题目特征及周期定义，求出函数的周期， x≤3时，fx)=5-2x,则f(-) (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的 求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到 A-司 B.- C. 0.2 已知区间上，进而解决问题。 (2)(2025·河北名校联考)设f(x)是定义在R 跟踪训练1（多选）定义在R上的奇函数f(x) 上周期为4的偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)= 1og2(x十1)，则函数f(x)在[2,4]上的解析式为 满足f(x一3)=一f(x),当x∈[0,3]时，f(x)= x2一3x,则下列结论正确的是 () [听课记录] A.f(x+6)=f(x) B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3.x-6 C.f(2023)+f(2025)=f(2024) D.函数)的一条对称轴为直线x=号 精品教辅·智慧人生 28 第二章函数 题型二函数的对称性 [听课记录] 命题点1自对称中的轴对称 [例2]（多选）(2026·榆林质检)已知函数f(x) 的定义域为R,对任意x都有f(2十x)=f(2-x), 且∫（一x)=f(x),则下列结论正确的是( A.f(.x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)的图象关于点(2,0)对称 +/思维升华/+++++++++++++ C.f(x)的周期为4 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 D.y=f(x十4)为偶函数 台f(x)=f(2a-x)台f(a-x)=f(a+x): [听课记录] 若函数y=f(x)满足∫(a十x)=f(一x),则 y=)的图象关于直线=士中对称。 (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称台 命题点2自对称中的中心对称 f(a+x)+f(a-x)=26626-f(x)= [例3](2024·新高考I卷节选)已知函数(x) f(2a-x): 若函数y=f(x)满足f(a十x)十f(b-x)= -1n2x 2乙十a.x+b(x-1)3. 证明：曲线y=f(x)是中心对称图形， c,则y=)的图象关于点（生，）成中 心对称. [听课记录] 跟踪训练2(1)（多选）已知函数y=f(x+1)一2 为定义在R上的奇函数，又函数g)=一且 f(x)与g(x)的函数图象恰好有2026个不同的 交点P1(x1y1),P2(x2,y2),,P2026(x2026 y2026),则下列叙述中正确的是 A.f(x)的图象关于点(2,2)对称 B.g(x)的图象关于点(1,2)对称 命题点3互对称问题 C.x1十x2+…+x2026=2026 [例4]已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则 D.y1+y2+…+y2026=2026 函数y=f(x十2)与y=f(4-x)的图象 ( (2)设函数y=f(x)与y=3r+m的图象关于直线 A.关于直线x=1对称 y=x对称，若f(3)十f(9)=1,则实数m的值为 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 温馨提示 请做课时分层检测（十） 29 精品教辅·智慧人生