课时9 函数的周期性与对称性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0,故f(4x)+ f(2x)>f(x)+f(2x), 故一2x>一x即x0,矛盾，故①错误； 1 对于②，取f()=一3x,该函数为R上的减函数且 f(x)+f(2x)=-x, 故该函数符合，故②正确； 对于®，取f)=合asx十m,m∈R, 此时f(x)十f(-x)=cosx,由m∈R可得f(x)有无穷 多个，故③正确； 对于④，若存在f(x),使得f(x)一f(一x)=cosx,用 -x代换x,得f(-x)-f(x)=c0sx, 由上可得20sx=0恒成立，显然不正确，故满足f(x)一 f(一x)=c0sx的函数不存在，故④错误. 答案：②③ 11.解：(1)当x>0时，则一x0. 由题意可得：f(x)=f(一x)=一（一x)2十4（一x)一3= -x2-4x-3, 所以函数f(x)的解析式为f(x) -{网 (2)因为y=一x2十4x-3的开口向下，对称轴为x=2, 可知函数∫(x)在（一o∞，0]内单调递增， 且函数f(x)是R上的偶函数，可知函数f(x)在[0，十oo) 内单调递减， 若f(2m-1)<f(m十1)，则12m-1>m+1, 整理可得m2-2m>0,解得m>2或m<0, 所以实数m的取值范围为(-∞，0)U(2,十∞). 12.解：(1)因为对任意x,y∈R且x≠y,都满足∫(x十 y)+f(x-y)=f(x2-y2), 令x=1,y=0,得f(1)十f(1)=f(1),∴.f(1)=0, 令x=-1,y=0,得f(-1)十f(-1)=f(1)=0, ∴.f(-1)=0. （②)对任意非索实数a,6令x=空y=, 可得f(a)十f(b)=f(ab). 在上式中，令b=-1,得f(a)十f(-1)=f(-a), 即对任意非零实数a都有f(a)=f(-a), ∴f(x)是偶函数. (3)对任意x1x∈(0，十∞)且1<x,有2>1， f(侵)>0. 由(2)知f)=f(×） =f(停)十f>f f(x)在区间(0，十∞)上单调递增。 f(2)=1,.2=1+1=f(2)+f(2)=f(4). f(x十2)-f(x-1)<2, ∴.fx十2)<f(x-1)+2=f(x-1)+f(4)=f(4x-4), ,f(x)是定义域为(-∞，0)U(0,十∞)的偶函数，且 在区间(0，十∞)上单调递增， ∴.原不等式转化为0<x十2<4x-4, 解得x<-2或-2<x<号或x>2, “原不等式的解集为(-0，-2U(-2,号)U2,+∞) ·41 参考答案 13.C[因为f(-x)=-fx),g(-x)=g(x), 由f(x)-g(x)=-a.x2十3x-1,用-x代替x得f(-x) -g(-x)=-a2-3x-1即-f(x)-g(x)=-a.x2-3z -1, 所以g(x)=a.x2十1. 由）-g>-4,1<西<，<2得g()-g()< x1一x2 -4(-22)→g()十4<g(2)十4x2· 设h(x)=g(x)十4x=ax2十4x十1，则h(x)在(1,2)上 单调递增. a<o a>0 所以 ≥2或a=0或 2a ≤1即-1长a<0或a 2a =0或a>0,所以a≥-1.] 14.ABD f()g(y)-f(y)g(z)=f(x-y)f(y)g(z) -f(x)g(y)=f(y-x), 所以f(y一x)=一f(x-y),故f(x)是奇函数，所以A 正确： 由g(x)g(y)-f(x)f(y)=g(x-y)得g(y)g(x) f(y)f(z)=g(y-x), 所以g(y一x)=g(x一y),故g(x)是偶函数，所以B 正确； 由题意得f(x-y)-g(x-y)=f(x)g(y)一f(y)g(x) -g(x)g(y)+f(x)f(y)=[f(y)+g(y)]·[f(x) g(x)],令y=1得f(x-1)-g(x-1)=[f(1)十g(1)] [f(x)-g(x)], 由f(x)是奇函数得f(0)=0, 且[g(0)]-[f(0)]2=g(0),g(0)≠0，解得g(0)=1, 当f(1)十g(1)=1时，f(100)-g(100)=f(0)-g(0) =一1，所以C错误. 由题意得f(x-y)十g(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x) 十g(x)g(y)-f(x)f(y)=[g(y)-f(y]·[f(x)+ g(x)],令y=1得f(x-1)十g(x-1)=[g(1)-f(1)] [f(x)十g(x)]=-[f(x)十g(x)] 当f(1)-g(1)=1时，f(100)+g(100)= (-1)[f(0)十g(0)]=1,所以D正确.] 课时冲关9函数的周期性与对称性 1.C[画出草图，根据图象即可判断出函数图象关于原点 对称.] y=e y=-e 2.A[函数y=f(x)与y=一f(-x)的图象关于原点对 称，又y=f(x)的图象经过点P(1,一2)，则函数y= 一f(-x)的图象必过点(-1,2).] 3.A[因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(-1) =1, 所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),所以f(1)=-1, 又f(x)=f(x十5)，所以函数f(x)是周期为5的周期 函数， 则f(2025)+f(2026)=f(405×5)+f(405×5+1)= f(0)十f(1)=-1.] 5 高考总复习数学 4.C[f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x),又f(1十x)= f(-x), 所以f(x十1)=-f(x),所以f(x十2)=-f(x+1) =f(x), f(x)是周期为2的周期函数， f(2g2）=f(2+1)(）÷] 5.B[因为f(x)-1为奇函数，则f(0)=1,且函数f(x) 的图象关于(0,1)中心对称，即f(x)十f(-x)=2, 因为f(x十2)为偶函数，所以f(x十2)=f(2-x),则f(x十 4)=f(-x), 所以f(x)十f(x十4)=2，f(x十4)十f(x十8)=2，所以 f(x)=f(x十8)，故f(x)的周期为8， 因为f(1)十f5)=2,f(2)十f(6)=2,f(3)十f(7)=2, f(4)十f(8)=2, 所以f(1)十f(2)十…十f(16)=2f(1)十f(2)十·十f(8)] =16.] 6.B[因为函数f(x)的定义域为R,且f(1十x)=f(1 x)十f(x), 令-x代x,可得f1-x)=f(1十x)十f(-x), 联及到，得)=- 所以f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0, 由f(1十x)=f(1-x)+f(x),令x十1代x, 可得f(x十2)=f(-x)十f(x十1)=f(-x)+f(1-x) 十f(x), 因为f(-x)=-f(x),所以fx十2)=f(1一x), 令x十1代x,则f(x十3)=f(一x)=-f(x), 令x十3代x,则f(x十6)=-f(x十3)=f(x), 所以函数f(x)是周期为6的周期函，数. 由f(1十x)=f(1一x)十f(x), 令x=1,可得f(2)=f(0)十f(1)=f1), 令x=2,可得f(3)=f(-1)+f(2)=f(2)-f(1)=0, 令x=3,可得f(4)=f(-2)十f(3)=-f(2)=-f(1), 所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=f(1), f(2026)=f(337×6+4)=f(4)=-f(1), 所以f(2024)+f(2026)=f(1)-f(1)=0.] 7.AC[因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x), 因为f(4一x)十f(x)=0, 所以f(4一x)=一f(x)=f(一x),所以f(x)=f(x十 4),所以f(-2)=f(2). 因为f(4一x)十f(x)=0,所以f(4-2)十f(2)=0, 所以f(2)=0,即f(一2)=0，则A正确. 令x=1,得f(3)十f(1)=0.因为f(1)=3,所以f(3)= 一3，所以f(7)=f(3)=一3，则B错误」 因为f(x)=f(x十4)，所以f(9)=f(5)=f(1)=3,所以 f(3)十f(9)=0,则C正确. 因为f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，则 D错误.门 8.ACD[对于A,B,因为g(2x)=-g(2-2x),则g(x)= 一g(2-x),则g(1十x)=一g(1一x), 可知g(x)的图象关于(1,0)中心对称，知g(2x)的图象 1 关于(20）中心对称，B错误： 因为f(2x)十f(-2-2x)=0, 则f(x)=一f(一2-x), 两边求导数可得f(x)=f(-2-x), 即得g(x)=g(-2-x), 所以g(2-x)=一g(-2-x), 即得g(2十x)=-g(-2十x), ·41 所以g(4十x)=-g(x),g(8十x)=-g(x十4)=g(x), 所以函数g(x)的周期为8，A正确； 对于C,因为f(2x)十f(一2一2x)=0, 则f(x)=一f(一2一x), 所以f(-1-x)=-f(-1十x),函数f(x)关于(-1,0) 对称，C正确； 对于D,因为g(x)的图象关于(1,0)中心对称，所以f(x) 关于x=1对称，所以f(1-x)=f(1十x), 又f(x)=-f(-2-x),所以f(1十x)=-f(-3-x) =f(1-x),可得-f(-3十x)=f(1十x), 所以f(x十8)=-f(x十4)=-(-f(x)=f(x),所以 函数f(x)周期为8， 因为f(1十x)十f(-3十x)=0,所以f(1十x)十f(5十 x)=0, 所以f(1)十f(5)=0,f(2)+f(6)=0,f(3)十f(7)=0, f(4)+f(8)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2024)=253 [f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(8)] =253[f(1)+f(5)+f(2)+f(6)十f(3)+f(7)+f(4) 十f(8)]=0,D正确.] 9.解析：因为f(x十2)十f(x)=0,所以f(x十2)=-f(x), 所以f(x十4)=-f(x十2)=f(x), 4为f(x)的一个周期，则f(2027)=f(507×4-1)= f(-1)=-3. 答案：一3 10.解析：因为函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，所 以f(-x)=f(2十x), 因为函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称， 所以f(一x)=一f(4十x), 所以f(x+十2)十f(x十4)=0， 所以f(x)一f(x十4)=0，即f(x)=f(x十4)， 所以函数f(x)的周期为4， 由f(-x)=-f(4+x)得f(1)=-f(3), 即f(3)=-f1), 又因为当x∈[0,1]时，f(x)=2024' 所以f(1)=2024 所以f(2027)=f(4×506+3)=-f1)=一2024 1 1 答案：一2024 11.解：(1)由函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称， 所以f(x十2)=f2-x),即有f(-x)=f(x十4)， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，有f(-x)=f(x), 所以f(x十4)=f(-x)=f(x), 即f(x)是周期为4的周期函数； (2)当x∈[-2,2]时，f(x)=-x2+1, 又f(x)是周期为4的周期函数， 当x∈[2,6]，则x-4∈[-2,2]， 所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1, 所以f(x)=-(x-4)2十1，x∈[2,6]. 12.解：(1)，f(x)=m.x5十n.x3+3, ∴.f(-x)=-m.x5-nx3+3, 函数y=.x5十n.x3为奇函数，.函数f(x)=mx5十 nx3十3的图象关于点(0,3)对称， .f(x)十f(-x)=6,∴.f(5)十f(-5)=6, .f(-5)=4; $$\left( 2 \right) \because g \left( x \right) = \frac { 3 x ^ { 2 } - 1 1 x + 1 3 } { x ^ { 2 } - 4 x + 5 } = \frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 4 x + 5 } + 3 = \frac { x - 2 } { \left( x - 2 \right) ^ { 2 } + 1 }$$ +3， 令 $$F \left( x \right) = g \left( x + 2 \right) - 3 = \frac { x } { x ^ { 2 } + 1 } ，$$ 则 g(x)=F(x-2)+3 ∵x∈R， ，定义域关于原点对称， ，F(x)=-F(-x)， ∴F(x) 为奇函数. 函数 $$g \left( x \right) = \frac { 3 x ^ { 2 } - 1 1 x + 1 3 } { x ^ { 2 } - 4 x + 5 }$$ 图象的对称中心为(2，3) (3)假设函数 $$h \left( x \right) = x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 }$$ 图象有对称中心且对称 中心为 (a，b)， 则 $$h \left( a + x \right) + h \left( a - x \right) = 2 b ， \therefore \left( a + x \right) ^ { 3 } - 3 \left( a + x \right) ^ { 2 } + \left( a$$ $$\left. { - x } \right) ^ { 3 } - 3 \left( a - x \right) ^ { 2 } = 2 b ，$$ $$\therefore \left( 6 a - 6 \right) x ^ { 2 } + 2 a ^ { 3 } - 6 a ^ { 2 } = 2 b ，$$ 6a-6=0， 2a-6a=2b， $$2 a ^ { 3 } - 6 a ^ { 2 } = 2 b ， \therefore a = 1 ， b = - 2 ，$$ ∴ 函数 $$h \left( x \right) = x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 }$$ 有对称中心 G(1，-2)，∴h(1+ x)+h(1-x)=-4， 令 S=h(-7)+h(-6)+h(-5)+⋯+h(8)+h(9) S=h(9)+h(8)+h(7)+⋯+h(-6)+h(-7)， 相加得 2S=[h(-7)+h(9)]+[h(-6)+h(8)]+⋯ · [h(9)+h(-7)]=17×(-4)， ∴h(-7)+h(-6)+h(-5)+⋯+h(8)+h(9)= -34. 13.ACD [函数 f(x) 的定义域为R，由 f(3x+1) 为偶函 数，得 f(-3x+1)=f(3x+1)， ，则 f(2-x)=f(x)， 由 f(x+2)-2 为奇函数，得 f(-x+2)-2=-[f(x\right. \left.{+2})-2]， ，则 f(2-x)+f(x+2)=4， 于是 f(x)+f(x+2)=4， ，即 f(x+2)=-f(x)+4， 对于 A，f(x+4)=-f(x+2)+4=-[-f(x)+4]-4 =f(x)，f(x) 是周期为 4 的周期函数， A 正确； 对于B，由 f(2-x)+f(x+2)=4， ，得 f(x) 的图象关于 点(2，2)对称，B错误； 对于 C，f(-2)=f(2)=2， ，由 f(x)+f(x+2)=4， ，得 f(-3)+f(-1)=4=2f(-2)， 因此 f(-3)，f(-2)，f(-1) 成等差数列，C正确； 对于 D，f(1)+f(3)=4，f(2)+f(4)=4， ，因此 f(1)+ f(2)+f(3)+⋯+f(9) =2[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=16，D 正确.] 14.ABD [对于A， 因为函数 f(x) 的定义域为 R ，且函数 f(x) )图象关于(1，0)中心对称， 所以 f(2-x)+f(x)=0， 又 f(2-x)+f(x-1)=-1， 所以 f(x)-f(x-1)=1， 取 x=1 可得 f(1)-f(0)=1， 又 f(1)=0， 所以 f(0)=-1， ，故A正确； 对于 由 f(x)-f(x-1)=1 可得 f(2026)-f(2025)= 1，f(2025)-f(2024)=1，⋯ 累加之后可得f(2026 025，故B正确； 对于C，由 f(0)=-1 和 f(2026)=2025 可得周期不 是2026，故C错误； 对于D，由函数 f(x) 图象关于(1，0)中心对称，且f(0) =-1，f(2-0)+f(0)=0→f(2)=1， 所以 f(i)=f(-2026)+f(-2025)+⋯+ -20 f(2025)+f(2026)=-2027-2026- ......- -1+0+1 ⋯+2024+2025=-4053， ，故D正确，] 4 参考答案 课时冲关10二次函数与幂函数 1.C[由于画教y=(m2-3m+3)x2+2m-4为幂函教， 所以m-3m十3=1，解得m=1或m=2, 当m=1时y==子，在(0，十0)上单调递减，符合 题意 当m=2时，y=x,在(0，十∞)上单调递增，不符合 题意.] 2.C[令f)=,则4=2a=2fx)=t.] 3.B[0.4°8<0.6°.6<0.6°4， 又y=f(x)=x1在(0，十∞)上单调递减， ∴.b<a<c.] 4,B[由已知得f(x)=(m-2)x十n-8,又对任意的x∈ [2,2]fo 所以（）0m-2+-8≤0. (f'(2)0, (2(m-2)十n-8≤0②， 由②得m≤2(12-n). ma12-m(g）=18. 当且仅当m=3,n=6时取得最大值， 经检验m=3,n=6满足①和② 所以(mn)nx=18.] 5.B[结合题意：函数y=x2-3x-4 所以图象是开口向上的抛物线，其 对称轴方程为x=立， 3 25 所以f()=-空易知：(-1D =f(4)=0, 由图可知，要使函数y=x一3x一4的定义域是 [-1m,值线为[一要小 菊m的取值花周是[受4小门 6.D[二次函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,其图象的 对称轴方程为x=1, 而(1-m)十(1十m)=2,所以f(1-m)=f(1十m), 即y1=y· 当x>1时，f(x)是单调增函数， 因为m>1,所以十1>m>1,所以f(m十1)>f(m), 即y<y, 综上，y<y1=y.] 7.ABC[因y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，则y =f(x)的图象关于直线x=0对称，故f(x)是偶函数，A 正确：令x=-是，则（是+3）-f(是) 2f()即f(8)f(-)=2f(2)因fx)是 偶画载，则-f(受)=f(受)则f(侵)=0，故B正 骑：因f(）=0,则fx十3)=f(x),故3是(x)的- 个周期，故f(2026)=f(675×3+1)=f(1), 7A 第二章函数 课时冲关9 函数的周期性与对称性 [基础巩固练] 三、填空题 一、单选题 9.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2) 1.函数y=-e与y=er的图象 +f(x)=0,且f(-1)=-3,则f(2027) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 10.已知函数y=f(x)的图象既关于直线 D.关于直线y=x对称 =1对称，又关于点(2,0)对称，且当x∈ 2.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,一2)， 则函数y=一f(一x)的图象必过点( [0,1]时，fx)=202,则f2027)- A.（-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 四、解答题 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数， 11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)=f(x+5),且f(-1)=1,则 f(2025)+f(2026)= 且y=f(x)的图象关于直线x=2对称. A.-1 B.0 C.1 D.2 (1)证明：f(x)是周期函数. 4.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1十x) =-知果f》那么27 ( A.- 2 D.立 5.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)一1为 奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+ f(2)+…+f(16)= () A.0 B.16 C.22 D.32 6.已知函数f(x)的定义域为R,f(1十x)= f(1-x)+f(x),则f(2024)+f(2026) = ( A.-1 B.0 C.1 D.2 二、多选题 (2)若当x∈[-2,2]时，f(x)=-x2+1, 7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 求当x∈[2,6]时，f(x)的解析式 f(4-x)+f(x)=0,f(1)=3,则() A.f(-2)=0 B.f(7)=3 C.f(3)+f(9)=0 D.f(x)的图象关于y轴对称 8.定义在R上的函数f(x)的导函数为g(x), 且满足下列条件：f(2x)十f(一2一2x)= 0,g(2x)=-g(2-2x),且f(1)=1.则下 列正确的是 ) A.y=g(x)周期为8 B.y=g(2x)图象关于(1,0)对称 C.y=f(x)关于(-1,0)对称 D.登f)=0 =1 ·249· 高考总复习数学 [答题栏]12.经研究，函数y=f(x)为奇函数的充要条 (3)已知函数h(x)=x3-3x2,求h(-7) 1 件是函数y=f(x一a)十b图象的对称中 +h(-6)+h(-5)+…+h(8)+h(9) 心为点(a,b),函数y=f(x)的图象关于 的值 2 点(a,b)成中心对称图形的充要条件是函 3 数F(x)=f(x十a)一b为奇函数，由 4 F(x)+F(-x)=0得函数y=f(x)关于 -5 点(a,b)成中心对称图形的充要条件是 f(a+x)+f(a-x)=26. --.6 (1)已知函数f(x)=mx5+n,x3十3，且 f(5)=2,求f(-5)的值； ----8 -13 -.-14 (2)证明函数g(x)=31十13图象 [能力提升练] x2-4x+5 13.[多选]已知函数f(x)的定义域为R,若 的对称中心为(2,3)； f(3x+1)为偶函数，f(x+2)一2为奇函 数，且f(1)=0,则 () A.f(x)为周期函数 B.f(x)的图象关于点(2,1)对称 C.f(一3)，f(-2),f(-1)成等差数列 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)=16 14.[多选]已知函数f(x)的定义域为R,若满 足f(2-x)+f(x-1)=-1,且函数f(x)图 象关于(1,0)中心对称，则 () A.f(0)=-1 B.f(2026)=2025 C.f(x+2026)=f(x) D.登f)=-4053 =-20261 ·250·