2.3 函数的奇偶性-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

a(x2-y1) 所以)--(1+)(+-6 1[例6]解析由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数 f(x)的定义域为(-∞，-1)U(5,+∞).又函数y=x2-4x-5 由于-1<x1<x2<1, 在(5，十○)上单调递增，在（一∞，一1）上单调递减，所以函数 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2一1<0， f(x)=lg(x2一4x一5)在（5，+o)上单调递增，所以a≥5.故 故当a>0时，f(x1)一f(x2)>0, 选D. 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在（一1,1）上单调递减； 答案D 当a0时，f(x1)-f(x2)<0, !跟踪训练2(I)BD[由1f)+2f(x2)>1f(x2)+x2f(x1), 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 得(x1一x2)[f八1)-f(x2门>0，因此f(x)是增函数，A错误： 方法二导数法 由-5<0<1，得f(-5)<f(0)<f(1),B正确：不一定有f(0)= (x）=ax)'(x-1)-ax(x-1Dy'=a(z-1)-ax a 0,如f(x)=2在R上为增函数，f(0)=1,C错误：由f(2x一1) (x-1)2 (x-1)2 (x-1)2 故当a>0时，f(x)<0,函数f(x)在（一1,1)上单调递减： <f(3-x),得2x-1<3-x,解得x<3,D正确.] 当a<0时，(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. (201,2》[f(x)=+a3=-1+a-2=1+0-. x一1 x一1 :f()在 跟踪训练1少(-0，） [令2x2-3.x-2>0,解得x>2或1 (a,十∞上单调递增，8二<0→1≤a<2.] (a≥1 <-2,则f八x)的定义城为-oo,- §2.3函数的奇偶性 10g5x在(0，十co)上单调递减，y=22-3x-2在(-©，-之）必备知识·整合 1 f(一x)=f(x)y轴f(一x)=一f(x)原点 上单调递减，在(2，十○)上单调递增，根据复合函数的单调性可！[自主诊断] 知，)的单调递增区间为(-，一专)门 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ !2.C[A中，f(x)=-x2在(0，十∞)上单调递减，A错误；B中， (2)解任取12∈[2，+∞)且1<x2,设f(x)=x+m+2, f(x)=x的定义城为[0，十∞)，定义城不关于原，点对称，不是偶 函数，B错误；C中，f(x)=x|的定义域为R,又f(一x)=|一x 期)-)-（+g+）-（+要+2）--) =|x=f(x),故f(x)=|x为偶函数，当x>0时，f(x)=|x|= x在(0，十o)上单调递增，满足要求，C正确：D中，f(x)=2x的 1-">0,因为2-4>0,12>0，所以2122-m>0,即m 定义域为R,且f(一x)=2x≠2，故f(一x)≠f(x),f(x)=2 T172 不是偶函数，D错误.故选C.] <x1x2.因为x2>x1≥2，所以x1x2>4,所以m≤4，即实数m的3.ABC[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)+f(-x) 取值范围为（一。，4. =0,且f(0)=0,A,B正确：因为f(一x)=一f(x),所以f(x)· [例3]解析因为f(x)的图象关于直线x=1对称.由此可得 f(-x)=-[f(x)]2≤0，当x=0时，等号成立，C正确；当x=0 -）=(引当>>1时，[x)-fx]- 时，f(-x)=0,此时f)无意义，D错误.] f(-x) 1)<0恒成立，可知f(x)在(1，十)上单调递减.因为1<2<4.[0，+∞)[令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0, 吾<c,所以K2>f(）>e)所以6>a 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)一2.x2, 又函数f(x)为偶函数，所以f(z)=f代一x), 答案D 所以0=2f(x)一2x2,即f(x)=x2, [例4幻解析x∈(-o,1]时，f(x)=e-1单调递增，f(x)f1) 则f(x)的值域为[0，十∞).] =e1=1z1,+o)时，)=是-z+1单调递减)< 关键能力·突破 一1十1=1.所以f(x)的最大值为1. [例1门解1)由3之0得2=3，解得x=士5. {x2-3≥0， 答案1 即函数f(x)的定义域为{-√3，W3, 【微拓展】解析对于A,(配方法)y=x2一2x十3=(x一1)2十2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象（如图①所示），可得函数的值战 从而f(x)=√3-x2+√x2-3=0. 因此f(一x)=一f(x)且f(一x)=f(x), 为[2,6). 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)函戴了)=1+人√层的定义战满足≥0，则 1+x =x2-2r+3 y=2+1)-1 (1+x)(1-x)≥0今-1<≤1， x≠一1 由于定义城不关于原，点对称，所以f(x)为非奇非偶函数. (3)显然函数f(x)的定义域为（一o,0)U(0,十∞），关于原，点 对称 01234x 01234i 当x<0时，-x>0,则f-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-fx); D 2 当x>0时，一x<0, 对于B(分房含数法y=-2一别士=2+品显然 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). x一3 x-3 ≠0，.y≠2 综上可知，对于定义战内的任意x,总有f(一x)=一f(x)成立，所 故函数的值域为(-0∞，2)U(2,十o∞)， 以函数f(x)为奇函数. 对于C,(换元法)设t=wx一1，则x=十1，且t≥0，∴.y=2(P十1)1 (4)显然函数f(x)的定义战为R,f(一x)=log[-x+√一x)2+1] =log(√2+1-x)=log2(√+1+x)-1=-log2(√2+1+x)= -f(x),故f(x)为奇函数. 由t≥0，再结合函数的图象（如图②所示），可得函数的值战为[例2]解析对于B,因为f(x十y十1)=f(x)十f(y),令x=y= [9+ -1,可得f(-1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0.令y -2-x,则f(-1)=f(x)+f(-2-x)=0,故f(x)的图象关于 对于D,函数的定义域为[1，十∞)， 点（一1,0）对称，则f(x一1)的图象关于点(0,0)对称，即f(x一1) 是奇函数，故B正确；对于C, .y=√x+1与y=W√x一1在[1，十o)上均单调递增，.y= √x+I十√x一I在[1，十o)上为增函数， 方法一 令x=y=0,可得f1)=f0)+0),则f0)=号f),当 当x=1时，ymin=√2，即函数的值战为[√2，十co). f(1)≠2时，f(0)一1≠0，此时f(x)一1不可能是奇函数，由于无 答案ACD 法确定f(1)的值，故f(x)一1不一定是奇函数 [例5]解析因为函数f(x)=lnx十2在定义战(0，十o∞)上单 方法二 取f(x)=-x-1,满足f(x十y+1)=f(x)+f(y),但 调递增，且f(1)=ln1+2=2,所以由f(z2-4)<2,得f(x2- f(x)一1=一x一2，不是奇函数，故C错误； 4)<f1),所以0<x2-4<1,解得-√5<x<-2或2<x<5. 对于A,D,取f(x)=x+1,满足f(x十y十1)=f(x)+f(y),但 f(x)+1=x十2与f(x十1)=x十2都不是奇函数，故A,D错误. 答案（一√5，-2）U(2,√5) 答案B 397 [例3]解析设g(x)=f(x)+5=x+ln(√x2+1-x), 为y=x3与y=2.x在定义域[一5,5]上单调递增，所以f(x)在定 则g(x)的定义城为[-2026,2026]， 义城[-5,5]上单调递增，则不等式f(2x+1)+f(a+b+c)>0,即 则g(x)+g(-x)=x+ln(√x2+1-x)-x+ln(√/2+I+x) f(2x+1)+f(4)>0,等价于f(2x+1)>f(-4),所以 (2x+1>-4, =ln[(Wx2+1-x)(Wx2+1+x)]=ln1=0, {+1,解得-号<≤2，即不等式的解集为(-吾， ·g(一x)=一g(x),即g(x)是奇函数， 因此g(x)min十g(x）max=0. 2.故选C.] 又g(.x）min=f(x)min+5=m+5, (2)ABD[由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0,故A g(z)max=f(z)max+5=M+5, 正确： g(z)min+g(z)max=m+5+M+5-0, 令x<0,则-x>0,f(-x)=(x2-3)ex+2,又f-x)=-fx),所以 即M+m=-10. 答案一10 fx)=-(x2-3)e-2,则x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2,故 B正确； f(1)+f(0) 跟踪训练1（1)ABD[令x=1=0,则f)=0,即1= f(一1)=2(e一1)>2，故C错误： =0心f0)=0,A正确：令x=y=1,则f(2)=fI)+f0 1+f0) 当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2, 1-1 求导得f=2-2z-3-x+1D(z-3到 无意义，即f(x)的定义域不为R,C错误；由f(x十y)= e 当x∈(-∞，一1)时，f(x)>0,f(x)单调递增， )f可知f(x)f(y)≠1，令y==x,则f(0) 当x∈(-1,0)时，(x)<0,f(x)单调递减， f(x)+f(一x) ∴.x=一1是f(x)的极大值点，故D正确. 1-f(x)f(-x) =0,即f(x)+f(-x)=0,故f(-x)=-f(x), 故选ABD.] B正确：f(x+1)=x)+ 1-f(x,f(x+2)=fx+1)+】 §2.4函数的周期性和对称性 1-f(x+1) +1 必备知识·整合 1.(1)f(x十T)=f(x)(2)最小最小正数 1思 fD正确.] 2.(2)(a,0)(3)x=a(a,0) 3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 (2)奇[由题意得函数f(x)的定义城为R,定义域关于原，点对·[自主诊断] 称，令x=y=0,则f(0)=f(0)十f(0)十2，故f(0)=一2.令y= ·1.(1)/(2)/(3)×(4)/ 一x,则f(0)=f(x)+f(-x)十2，故f(x)+2=-f(-x)-2=2.B[由f(x十2)=-f(x),可得f(x+4)=-f(.x+2)=f(x), 一f(一x)+2.故f(x)十2为奇函数. 所以f(x)是周期为4的周期函数，f(23)=f(23一4×6)=f(-1).因 [例4](1)解析由函数f(x)是R上的奇函数，得f(0)=0,而当： x0时，一x0, 为f(-1+2)=-f(-1D.且当x∈[01]时，f(x)=2z所以 所以f(x)= -f(一x) 1 2 f(-1)=-f1)=4-2X灯=-7，故选B] (-x)2-2X(-x)+2 22+2x+2 3.C[记f(x)=e,则关于直线x=1对称的是f(2-x)=e2-r, ,x0, 即y=e2,] x2+2x+2 :4.4[方法一由y=f(x十2)-3是奇函数，f(-x十2)一3= 综上所述，f(x) 0,x=0, -f(x+2)+3,令x=2,f(0)-3=-f(4)+3,得f0)=4. 方法二由y=f(x+2)一3是奇函数，得f(x)关于(2,3)对称 z2-2x+2x>0. 故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4.] 22+2z+2x<0, 关键能力·突破 例1](1)解析 由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数得， 答案 0,x=0, 2 )=()=+)=() x2-2x+22>0 又当2≤x≤3时，f(x)=5-2x, (2)解析设f(x)=(2-m·2x)x5, 则该函数为R上的偶函数， 则(-)=()=5-2×4=2 则对任意的x∈R,f(一x)=f(x), 故选A. 即(2x-m·2r)·(-x)5=(2r-m·2)·x5, 答案A 整理可得2x+2x一m(2r+2x)=(1-m)(2+2x)=0, (2)解析根据题意，设x∈[2,4]，则x一4∈[一2,0]，则有 所以1一=0，解得m=1. 4-x∈[0,2]，又x∈[0,2]时，f(x)=log2(x+1),则f(4-x)= 答案1 log2[(4一x)十1]=log2(5一x),又f(x)为周期为4的偶函数，所 [例5]解析f(x)=ln(x2十1)一 以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),x∈[2,4]，则有 f(x)=log2(5-x),x∈[2,4]. 则f(x)的定义域为{xx≠0， 答案f(x)=log2(5一x),x∈[2,4] 又f(x)=f(一x),故f(x)为偶函数， 跟踪训练1ACD因为f(x一3)=一f(x),所以f(x)=一f(x十 当x>0时，fx)=ln(r+1)-子 3),则f(x一3)=f(x+3),所以f(x+6)=f(x),故A正确；当 x∈[0,3]时，f(x)=x2-3x,则当x∈[-6，一3]时，x+6∈[0， 又=ln(x2+1D,2=-上在(0，十eo)上都单调递增，故f(x) 3],f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(.x+6)=x2+9x+18,故B不 在(0，十∞)上单调递增，在（一○，0）上单调递减， 正确：由f(x+6)=f(x),得函数f(x)的一个周期为6，得 1x≠0， f(2023)=f(1+337×6)=f(1)=-2,f(2025)=f(3+337× 因为f(.x)>f(2x+1),所以2x+1≠0， 6)=f(3)=0,f2024)=f(2+337×6)=f(2)=-2,所以f(2023 (x>12x+1, +f(2025)=f(2024),故C正确：由A选项知，f(x)=一f(x+ 且x≠- 3),又f(x)=一f(一x),则f(x十3)=f(一x),所以函数f(x)的 所以一1<x 3 2· 3 一条对称轴为直线x=号，故D正确.] 故x的取值范图为(-1，-2）U(-2,-3） [例2解析因为f(2十x)=f(2一x),所以f(x)的图象关于直 线x=2对称，故A正确，B错误；因为函数f(x)的图象关于直线 答案 (-1.-)(-3) x=2对称，所以f(一x)=f(x十4)，又f(一x)=f(x),所以 f(x十4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4，故C正确；因为f(x) 跟踪训练2(1)C[因为函数f(x)=x3十(a一2)x2+2.x十b是定1 的周期为4且为偶函数，所以y=f(x十4)为偶函数，故D正确.] 义在[一2c一1，c+3]上的奇函数，所以一2c一1十c十3=0，解得c1 答案ACD =2,又f(-x)=-f(x),即-x3+(a-2)x2-2x+b=-x3 2)x2x-6,所以2(a-2)2+26=0,解得[例3)证明方法-f2-)=ln2二2+a(2-0)+b1-x)3 2a2)=0解得{a=2:所以f(x)=x3+2x,x∈[-5,5].因 2b=0, b=0. =-In 2-z -ax-b(x-1)3+2a=-f(.x)+2a, 398第二章函数 §2.3函数的奇偶性 【课标要求】1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用 必备知识·整合 夯实基础回归教材>》》 函数的奇偶性 A.f(x)+f(-x)=0 奇偶性 定义 图象特点 B.f(0)=0 C.f(x)·f(-x)≤0 般地，设函数f(x)的定义域 为D,如果Hx∈D,都有-x∈ 关于 D.) f(-x) =-1 偶函数 D,且 ,那么 对称 4.(2026·浙江绍兴二模)已知偶函数f(x)的定义 函数f(x)就叫做偶函数 域为R,且f(x+y)=f(x)+f(y)十2xy,则 -般地，设函数f(x)的定义域 (x)的值域为 为D,如果Hx∈D,都有-x∈ 关于 【微点提醒】 奇函数 D,且 ,那么 对称 1.理解函数奇偶性的常用结论 函数f(x)就叫做奇函数 (1)①如果一个奇函数∫(x)在原点处有定义，即 ∫(0)有意义，那么一定有f(0)=0. 【自主诊断】 ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x). 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调 “X”) 性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单 (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0.( 调性 (2)函数y=x2在x∈(0，十∞)上是偶函数. :2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 ) (1)若f(x)为奇函数，则f(x)十f(-x)=0.特 (3)对于函数y=f(x),若存在x,使f(一x)= 别地，若f(x)存在最值，则f(x)min十f(x)mx 一f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.( =0. (4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则∫(x)· (2)若F(x)=∫(x)+c,f(x)为奇函数，则 g(x)是奇函数. F(一x)十F(.x)=2c.特别地，若F(x)存在最值， 2.(2026·南充诊断)下列函数是偶函数，且在(0， 则F(x)min十F(x)mx=2c. 十∞)上单调递增的是 ( )3.谨防两个易误点 A.f(x)=-x2 (1)求奇函数的解析式时，忽略x=0会造成解析 B.f(x)=x 式缺失，特别地，奇函数要么在x=0处没有定 C.f(x)=lx 义，要么在x=0处的函数值为0，即f(0)=0. D.f(x)=2 (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时， 3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则 不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含 下列结论正确的是 条件 25 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一函数奇偶性的判断 [听课记录] 命题点1常见函数奇偶性的判断 [例1]判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=√3-x2+√x2-3: (2)f(x)=(1+x) 1一x +/思维升华/++++++++++++++ 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 x2十x,x0, (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非 (3)f(x) x2+x,x>0; 偶函数 (4)f(x)=l1og2(.x+√Jx2+1). (2)判断f(x)与f(一x)是否具有等量关系， 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇 [听课记录] 偶性的等价等量关系式(f(x)+f(一x)=0 (奇函数)或f(.x)一f(一x)=0(偶函数)是 否成立. 跟踪训练1(1)（多选）(2026·郑州模拟)已知 函数f(x)满足f(1)=1,f(x十y)= (x)十》，则下列结论正确的是 () 1-f(.x)f(y) 命题点2抽象函数奇偶性的判断 A.f(0)=0 [例2](2026·新乡模拟)已知定义在R上的函 B.f(-x)=-f(x) C.f(x)的定义域为R 数∫(x)满足(x十y十1)=f(x)+f(y),则下列 1 D.f(x+2)=- 结论一定正确的是 f(x) A.f(.x)十1是奇函数 (2)已知函数∫(x)对任意x,y∈R,都有f(x十 y)=f(x)十f(y)十2，则函数f(x)十2为 B.f(x一1)是奇函数 函数.（填“奇”“偶”或“非奇非偶”） C.f(x)-1是奇函数 题型二函数的奇偶性的应用 D.f(x十1)是奇函数 命题点1利用奇偶性求值（解析式） [听课记录] [例4](1)(2026·邯郸二模)已知函数f(x)是定 义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= 2-2x+2则f(x)= (2)若函数y=(2r-m·2-x)x5是R上的偶函 数，则实数m 命题点3构造函数的奇偶性 听课记录] [例3]已知函数f(.x)=x十ln(Wx2+1-x)-5 (x∈[-2026,2026])的最大值为M,最小值为 m,则M十m= 精品教辅·智慧人生 26 第二章函数 命题点2利用奇偶性解不等式 跟踪训练2(1)(2026·菏泽调研)已知函数f(x) [例5]设函数f(x)=ln(x2+1) 女可：则满足fx) =x3+(a-2)x2+2x+b是定义在[-2c-1,c+ 3]上的奇函数，则不等式f(2x十1)十f(a十b十 >f(2x十1)的x的取值范围为 c)>0的解集为 ( [听课记录] A.(-2,4] B.(-3,5] c(-22 D.(-2,2] (2)(多选)(2025·全国Ⅱ卷，10,6分，中)已知 +/思维升华/+++++++++++++ ∫(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时， f(x)=(.x2-3)er+2,则 () (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数 ! 的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为 A.f(0)=0 求已知区间上的函数或得到参数的恒等式， B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 利用方程思想求参数的值 C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区 D.x=一1是f(x)的极大值点 间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 温馨提示 请做课时分层检测（九） §2.4函数的周期性和对称性 【课标要求】1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公 式和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》》 1.函数的周期性 (2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=一f(a+十x), (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为 则函数的图象关于点 对称. D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个 (3)若f(x十a)是偶函数，则函数f(x)图象的对 x∈D都有x十T∈D,且 ,那么函数y= 称轴为 ;若f(x十a)是奇函数，则函数 (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函 f(x)图象的对称中心为 数的周期 :3.两个函数图象的对称 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 期中存在一个 的正数，那么这个 对称： 就叫做f(x)的最小正周期. (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于 2.奇函数、偶函数的对称性 对称； (1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=(a十x),则 (3)函数y=f(x)与y=一f(-x)的图象关于 函数的图象关于直线x=a对称； 对称. 27 精品教辅·智慧人生