2.3 函数的奇偶性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第二章函数 §2.3函数的奇偶性 ★[考试要求] 1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 相反数；奇函数在关于原点对称的区间上 函数的奇偶性 的最值互为相反数，取最值时的自变量的 值也互为相反数， 奇偶性 定义 图象特点 自主诊断查验 一般地，设函数f(x)的定义域 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 关于 为I,如果Vx∈I,都有一x∈ 或“×”) 偶函数 I,且 那么函数f(x) 对称 (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0. 就叫做偶函数 ) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 一般地，设函数f(x)的定义域 关于 为I,如果Hx∈I,都有一x∈ 奇函数 I,且 ,那么函数 (3)对于函数y=f(x),若f(一2)=-f(2), 对称 f(x)就叫做奇函数 则函数y=f(x)是奇函数. () (4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x) 知识拓展用活 g(x)是奇函数， () 函数奇偶性的重要结论 2.下列函数中，既是偶函数又在(0，十∞)上单 (1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义， 调递减的是 () 即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. A.y=-x3 B.y=1 (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) x =f(lx). C.y=lxl (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种， D 3.已知f(x)=a.x2+bx是定义在[a-1,2a] 即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于 上的偶函数，那么a+b的值是 () 原点对称的非空数集， (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单 A日 B号 调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性 (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的 4.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 最大（小）值，取最值时的自变量的值互为 时，f(x)=2x+b,则f(-1)= 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 函数奇偶性的判断 B)-1+22 [角度1]判断函数的奇偶性 C.f(x)=In(x-1)-In(x+1) [例1一1]下列函数为奇函数的是( A.f(x)=x3+x2 D.f(z)=e'te 2 ·23· 高考总复习数学 [角度2]抽象函数奇偶性的判断 [角度2]利用函数的奇偶性求解析式 T例1一2][多选]已知f(x)是定义在R上 [例2一2]已知f(x)为R上的奇函数，当 的函数，下列结论正确的有 ( x>0时，f(x)=x3+2x+1,则x<0时， A.若满足f(x2)=一f(一x2),则f(x)是奇 f(x)的解析式为 函数 A.f(x)=-x3-2x-1(x<0) B.满足2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y), B.f(x)=-x3-2x+1(x<0)》 且f(0)≠0，则y=f(x)为奇函数 C.f(x)=x3+2x-1(x<0) C.若恒有f(x)+f(y)=f(x+y),则f(x) D.f(x)=-x3+2x+1(x<0) 为偶函数 [角度3]利用函数的奇偶性求参数 D.若恒有f(xy)=yf(x)十xf(y),则f(x) 例2一3]已知函数f(x)是定义在R上的 是奇函数 奇函数，且x≤0时，f(x)=2x2一3x十m,则 规律方法 f(1) 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 规律方法 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 偶函数 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为 (2)判断f(x)与f(一x)是否具有等量关 已知区间上的函数值求解 系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为 (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化 判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)十 到已知区间上，再利用奇偶性求出解 f(一x)=0(奇函数)或f(x)一f(一x) 析式. =0(偶函数)是否成立 (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求 :跟踪训练 解，根据f(x)士f(一x)=0得到关于参 1.设函数f(x)= 1一x,则下列函数中为奇函 数的恒等式，由系数的对等性得出参数 1+x 的方程或方程（组），进而得出参数的值. 数的是 ( ) A.f(x-1)-1 B.f(.x-1)+1 跟踪训练 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 1.(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上 2.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x十y) 的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)e 一[f(x)+f(y)门=2024，则下列说法正确 十2，则 () 的是 A.f(0)=0 A.f(x)是偶函数 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 B.f(x)是奇函数 C.f(x)≥2当且仅当x≥3 C.f(x)+2024是奇函数 D.x=一1是f(x)的极大值点 D.f(x)+2024是偶函数 2.已知函数f(x)=a.x3+bx+1,若f(2)=4, 题型2 函数奇偶性的应用 则f(一2)= [角度1] 利用函数的奇偶性求值 A.-4 B.-2 Γ例2-1](2025· 全国一卷)已知f(x)是定 C.0 D.2 义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3 3.设a∈R,函数y=f(x)是奇函数.若f(1) =e-3,f(-1)=1,则a 时，f(x)=5-2x,则 C温馨提西 c D. 学习至此，请完成配套训练课时冲关8 ·24高考总复习数学 [例1-2][解]设-1<x1<x2<1, w=a兕-) 则f(x1)-f(x2)= 由于-1<<x,<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上单调递减： 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增， 跟踪训练 1.ABD[对于A,若对任意，∈1，)》0， x1一x2 显然1卡x2, 当x1<x2时，则有f(x1)<f(x2);当1>x2时，则有 f(x1)>f(x2); 由函数单调性的定义可知y=f(x)在I上是单调递增， 故A正确. 对于B,作出函数y=2x十1 的图象，如图所示， 由图象可知：函数y=2x十1的 y=2lx+10 递减区间是(-∞，一1]，故B 正确； 0 对于C,由判断复合函数的单 调性的方法“同增异减”可得单调递增区间为（一∞，1]， 故C错误； 对于D,y'=2-2sinx≥0，所以y=2x十2cosx是R上 的增函数，故D正确.] 2.解析：令t=2x2-3x-2>0, 1 解得x>2或x<-2' 则fx)的定义战为(-0，-令)U2,+), 由f(t)=log号t在(0，十o∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t=2x一3x一2的 单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定 义城可知，)的单调适增区间为（一6©，一号）】 答案（∞，-）】 题型2 [例2一1][解析]由题意知y=f(x)的图象关于直线 x=1对称，且当x>1时，y=f(x)单调递减， a=f(是)）=f(侵）f2)>f(2)）>f3. 即b>a>c. [答案]D [例2-2][解析]设t=x-1,t≥2， 1 1 则y=与1十x=十 又函最y=1叶上在[，中)上单弱道培， 所以当t=2,即x=3时， 函数y=4十布最小值2叶名-号 5 [答案] [例2一3][解析]函数y=e为增函数，函数y=ex为 减函数， 所以函数f(x)=e一e为增函数， ·31 所以f(x)f(-3.x2十4)曰x<-3x2十4， 即3x2+|x-4<0, (x-1)(3x十4)<0， 得0≤x<1, 解得-1<x1, 所以实数x的取值范围为（一1,1）. [答案]C L例2一4][解析]由题意知，当a>1时，若a'>a,则s >1, 当0<a1时，若a'>a,则s<1,D正确. [答案]D 跟踪训练 1,B[若f(=-20x十3x≤1在R上单调递减， 1(a-4)x+1,x>1 1a≥1， 解得1≤a≤3' .7 则{a一4<0， （1-2a+3≥a-4+1, 所以“a<4”是“f(x)在R上单调递减”的必要不充分 条件.门 2.BD[由x1f(x1)十x2f(x2)>x1f(x2)十x2f(x1),得 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 因此f(x)在R上单调递增，A错误； 由-5<0<1，得f(-5)<f(0)<f(1),B正确； 不一定有f(0)=0,如f(x)=2在R上为增函数， f(0)=1,C错误： 由f(2x-1)<f(3-x),得2x-1<3-x, 解得<号D正确] §2.3函数的奇偶性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)W 2.Dy=-y=都是奇函载，排除A,B y=xy=子都是偶画数=x在0，十0)上单调递 增=子在(0，十0)上单调递减.] 3.B[里然6=0a-1+2a=0.5a=号e+b=子] 4.解析：f(x)是奇函数，则f(0)=b=0,即x≥0时， f(x)=2x,所以f(1)=2,从而f(-1)=-f(1)=-2. 答案：一2 跃升·关键能力题型1 [例1-1][解析]A.因为f(-x)=一x3十x≠-f(x), 所以该函数不是奇函数； 2 B因为∫(x)+f(-)=1时22十1+2 2十2·2=-2·2+22+2·2=0，所以该 2+2-11-2 1-2 函数是奇函数； 、C.由{10>>1，该函数的定义城不关于原底对」 称，所以该函数不是奇函数； D.因为f(-x)=ee=f(x),所以该函教是偶函 2 数，不符合题意。 [答案]B [例1一2][解析]对于A,若廿t∈R,当t>0时，令t= x2,因为f(x2)=-f(-x), 所以f(t)=一f(-t),即f(-t)=-f(t); 当t=0时，令t=x2=0,因为f(x2)=一f(-x2), 所以f(0)=-f(一0)，即f(0)=0: 当t<0时，令t=一x2,因为f(x)=一f(-x2), 所以f(一t)=一f(t), 综上，Ht∈R,f(-t)=一f(t),所以f(x)是奇函数， 所以A正确； 对于B,在2f(x十y)f(x-y)=f(x)十f(y)中，令x=y=0, 得2(0)=2f(0),因为f(0)≠0，所以f(0)=1,显然不 符合f(一x)=一f(x),故B错误； 对于C,令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0), .f(0)=0, 令y=-x,则f(x)十f(-x)=f(0)=0, .f(-x)=-f(x), 即f(x)为奇函，数，C错误： 对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)十xf(y), 令x=y=0得f(0)=0:令x=y=1得f(1)=f(1)十 f(1),所以f(1)=0: 令x=y=-1得f(1)=-f(-1)-f(-1), 所以f-1)=0； 令y=-1得f(-x)=-f(x)十xf(-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函数，故D正确. [答案]AD 跟踪训练 1B[解法一：因为)=号1中品光图象关 于点（一1，一1）中心对称，将其图象向右平移1个单位长 度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0,0)中心对 称，所以f(x-1)十1为奇函数. 解法二：因为)=号片以-1)= -2学，)-号-壳对于A) x f(x-1)-1=2工-1=22，定义城关于原点对称， 但不满足F(x)=一F(一x),故F(x)不是奇函数；对于 B,G()=f(x-1)+1=2工+1=2，定义城关于原点 对称，且满足G(x)=一G(一x),故G(x)为奇函数；对于 Cx1》-1壳1=一号定又线不美于原 点时称，不是寺函教：对于D(x十1)十1=异十1= 千2，定义城不关于原点对称，不是奇画数] 2 2.C[因为f(x十y)-[f(x)十f(y]=2024, 所以令x=y=0,可得∫(0)=一2024， 令y=-x,则f(0)-f(x)-f(-x)=2024, 所以f(-x)=-f(x)-4048, 则f(x)既不是奇函数又不是偶函数， 且f(-x)+2024=-[f(x)+2024], 所以f(x)十2024是奇函数.] 题型2 [例2-山[解析]f(-子)-f(子)f(+子) 5-2(2+)-2故选A [答案]A [例2一2][解析]因为f(x)为R上的奇函数， 当x>0时，f(x)=x十2x十1， 设x<0,则一x>0,所以f(一x)=(一x)十2（一x)十1 =-f(x)→f(x)=x3十2x-1(x<0). [答案]C ·31 参考答案 [例2一3][解析]由函数f(x)是定义在R上的奇函 数，得f(0)=0, 而当x≤0时，f(x)=2x2-3x十m,则m=f(0)=0, 所以当x≤0时，f(x)=2x2-3.x, 所以f(1)=-f(-1)=-[2(-1)”-3(-1)]=-5. 「答案1一5 跟踪训练 1.ABD[由奇函数的性质可知，因为f(x)的定义域为R, f(0)=0,所以A正确： 当x<0时，-x>0,f(-x)=(x2-3)ex十2，又因为 f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(x-3)e-2,所以B 正确； 当x>0时，f(x)=(x十3)(x-1)e,所以f(x)在(0,1) 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增 x→0时，f(x)→-1，f(1)=-2e+2<0,fW3=2>0, 所以f(x)的图象大致为 2e-2 --y=√3 2% -2e+2 因为2e一22，所以C错误，由奇函数图象关于原点对 称可知D正确.门 2.B[令g(x)=ax3十bx,则f(x)=g(x)十1. 由g(x)定义域关于原点对称， 且g(一x)=一g(x)得g(x)为奇函数， f(2)=g(2)+1=4,∴.g(2)=3, ∴.f(-2)=g(-2)+1=-3+1=-2.] 3.解析：因为函数y=f(x)是奇函数， 所以f(-1)=-f(1)=-(e-3)=1,解得：a=ln2. 答案：ln2 §2.4函数的周期性与对称性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x十T)=f(x)(2)最小最小正数2.(2)(a,0) (3)x=a(a,0)3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 自主诊断查验 1.(1)√(2)√(3)×(4)× 2.B[函数y=f(x)上的点(x,y)关于y轴对称点 为（一x,y), :点(-x,y)在函数y=f(-x)上，y=f(x)与 y=f(一x)图象关于y轴对称.] 3.BC[因为定义在R上的函数f(x)满足f2十x)=f(-x), 所以函数f(x)关于x=1对称， 所以f(0)=f(2)=ln2,故C正确，D错误； f(-1)=f(3)=ln3,所以f(-1)>f(0),故A错误， B正确.门 4.解析：因为f(x十4)=f(x),所以函数f(x)的周期T=4.又 f(2)=0,所以f2026)=f(2十4×506)=f(2)=0. 答案：0 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]依题意，定义在R上的函数f(x)满 足f(x十1)=f(x)-2,所以f(x十1)十2(x十1)= f(x)十2x,所以y=f(x)十2x是周期为1的周期函数. 「答案]D (2)[解析]由已知f(x)=f(2-x),且f(x)是定义域 为（一∞，十0∞）的奇函数， 可得f(x)=f(2-x)=-f(x-2),