1.6 一元二次方程、不等式-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 【微拓展】 =…=卫时等号成立，称之为权方和不等式.m为 权方和不等式 该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的暴多 1.二维形式：已知x,y,ab均为正数，则有8十 一次 ≥a+D(当且仅当x:y=石：万时，等号成 [典例](1)已知正数x,y,之满足x十y十之=1，则 y x+y v2 22 y+2x:+2 十x十2的最小值为 立 1 2.一般形式：设a;,b;均为正数(i=1,2,…,n),实 3 (2)若x>0,y>0·2x+yx+y =2,则6.x+5y的 数m>0,期（空0，）m 最小值为 ,当且仅当1= a2 (2b:)m 61 62: 温馨提示 请做课时分层检测（五） §1.6一元二次方程、不等式 【课标要求】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的 根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 必备知识·整合 夯实基础回归教材>》> 1.二次函数y=a.x2十bx十c(a>0)与一元二次方程：2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x一b)<0型不等式 a.x2+bx+c=0(a>0),不等式ax2+b.x+c>0 的解集 (a>0)的解的对应关系 解集 不等式 a<b a=b a>b 方程的判 (x-a)· (rlx<a (x-b)>0 或x>b 别式△ △>0 △=0 △<0 (x-a)· b2-Aac xa<x<b (x-b)<0 3.分式不等式与整式不等式 二次函数 (1)(x) g(z) 0(<0)台 的图象 Ox1=2 0 (2)fx) g(x)≥0（≤0）台 4.简单的绝对值不等式 有两个不相 有两个相等 |x>a(a>0)的解集为 等的实数根 方程的根 的实数根 |x|<a(a>0)的解集为 没有实数根 x12(无1< 【自主诊断】 b =x2= x2） 2a 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 “X”) (1)若方程a.x2十bx十c=0无实数根，则不等式 不等式 a.x2+bx十c>0的解集为R. () 的解集 (2)若不等式ax2+bx十c>0的解集为(x1,x2), 则a<0. ( 精品教辅·智慧人生 16 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 (3)若a.x2十bx十c>0恒成立，则a>0且△<0.：4.（苏教必修一P69T11(2)改编）若一元二次不等 式2kx2+kx 日0对一切实数x都成立，则实 (4)不等式名≥0等价于x一a)x一b)≥0， 数k的取值范围是 ( ):【微点提醒】 2.(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等 谨防三个易误点 式(x-1)(x-3)>0的解集为 ( (1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运 A.{x|x<1) B.{x|x>3} 用，对参数分类时要做到不重不漏. C.{x|x<1或x>3} D.{x|1<x<3} (2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二 3.若关于x的不等式x2+(2m-1)x十m2-m>0 次项系数等于零和不等于零两种情况讨论： 的解集为{x|x<3或x>4},则m的值为 (3)当△<0时，注意区分不等式a,x2十bx十c>0 (a≠0)的解集是R还是⑦. 。关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一求解一元二次不等式 +/思维升华/+++++ 命题点1不含参的不等式 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论， [例1]（多选）下列选项中，正确的是 常见的分类有 A.不等式-x2-x+2>0的解集为{x|x<-2 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. 或x>1} (2)根据判别式△与0的关系判断根的 B.不等式2x+≤1的解集为{x-3≤x<2》 x-2 个数. C.不等式|x-2|≥1的解集为{x1≤x≤3)》 (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小 进行讨论 D.设x∈R,则“1x-1川<1"是“t+4<0"的充分 x-5 跟踪训练1解关于x的不等式： 不必要条件 [听课记录] a-≤3： (2)a.x2-(2a-1)x-2≥0. 命题点2含参的不等式 [例2](2026·常州模拟)解关于x的不等式 a.x2-(a+1)x+1<0(a∈R). [听课记录] 17 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 题型二三个二次之间的关系 (2)若关于x的不等式a.x2+b.x十c>0的解集为 [例3](1)（多选）(2026·徐州质检)已知关于x (一2,4).则不等式8十≤0的解集为 的不等式a.x2+bx十c≤0的解集为{x|x≤-2 或x≥3}，则下列说法正确的是 (3)不等式0<x2-x一2≤4的解集为 A.a<0 题型三 一元二次不等式恒成立问题 B.a.x十c>0的解集为{x|x<6)》 [例4]已知函数f(.x)=m.x2-(m-1)x十m一1. C.8a+4b+3c<0 (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值 D.cr2+bx十a<0的解集为{女-<<} 范围； (2)若关于x的方程a.x2+(a十2)x十9a=0有两 (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈【-2·]恒 个不相等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,则a的 成立，求m的取值范围： 取值范围是 (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， A.-号<a<号 Be>号 求x的取值范围， ca<-号 D.品<a<0 听课记录] [听课记录] +/思维升华/++++++ 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁 +/思维升华/++ 的范围，谁就是参数 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相 (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判 应的一元二次方程的两根，由根与系数的关 别式△；一元二次不等式在给定区间上恒成 系，可以求出相应的系数.注意结合不等式 立，不能用判别式△，一般分离参数求最值或 解集的形式判断二次项系数的正负 分类讨论 跟踪训练2(1)若不等式a.x2+2.x+c<0的解 跟踪训练3(1)(2026·大同一诊)若不等式 集是(-∞，-)U(2,+∞)，则不等式cx2- a.x2-x十a>0对任意的x∈(1，十o∞)恒成立，则 实数a的取值范围为 2x十a≤0的解集是 (2)若Va∈[-1,3]，a.x2-(2a-1).x+3-a>0 A【】 专】 恒成立，则实数x的取值范围为 C.[-2,3] D.[-3,2] 温馨提示 请做课时分层检测（六） 精品教辅·智慧人生 18立），则6+巴的最小值为12.故选C b 因为x>0>0,则6x+5y≥号+23， 2 答案C 2√3 (2)解析方法一 设原点到直线l的距离为d,由，点到直线的距 当且仅当2十4z+y 离公式得 d=l-A+1l 2-2入+1 即2=33-4 2λ 4 5一B时取等号 ,y= 2 W/2+1 AA2+1 A2+1 答案 3+25 显然当入<0时，有最大值 2λ 2 此时 §1.6一元二次方程、不等式 2+1 《-0+() ! 必备知识·整合 国为-0+()≥3-…(】 :1.{xx<1或x>x2} =2,当且仅当1=-1时 2.( {}R (zla<b,a}(zlb<z<a 等号成立， :3.(1)f(x)g(x)>0(<0)(2)f(x)g(x)≥0（≤0）且g(x)≠0 所以 2 =1,所以dmx=2. 4.(-co,-a)U(a,+∞)(-a,a) -0+(-) :[自主诊断] :1.(1)×(2)/(3)×(4)× 方法二 直线1恒过定点(1，一1)，故原，点到直线1距离的最大值：2.C[由方程(x一1)(x一3)=0，可得方程的两根为x1=1,x2=3, 为√②， 结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x一1)(x一3)>0的解 答案D 集为{x|x<1或x>3}.故选C.] 13.一3[根据题意，方程x2十(2m一1)x十n一m=0的两根为3和4，故 跟踪训练3 [因为ab,c成等差数列，所以2b=a十c 有8十1二2m:解得m=-3.] 13×4=mm2一m, 所以osB=2+2-F 2+2 2 3d+c2)-2a 4.(一3,0)[由题意知 2ac 2ac k0, 因为a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时取等号，所以3(a2十c2) 2ac≥4ac>0, 4=-X2×()<0，解得-360.] 所以mH=a十22亚≥品=台 关键能力·突破 8ac [例1]解析由题知方程-x2-x十2=0的解为1=1，x2= 又y=cosx在区间(0，)上单调递减， 一2，所以不等式-x2一x+2>0的解集为{x|一2<x<1},故A 错误； 所以0<B≤晋，所以0<snB<] 因为2红+号-1≤0，即+8≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)， x-2 【微拓展】 柯西不等式 2-2 (1)解析根据柯西不等式：(x2十y2+2)(1+4+9)≥(x十2y十 解得-3≤x<2,所以不等式的解集为(x|一3≤x<2},故B 正确； 3P=1,即2+y+2≥品当且仅当=品y=宁=是时 1 由x-2≥1，可得x-2-1或x一2≥1， 等号成立 解得x1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C 错误； 1 答案4 由1x-1<1,可得-1K-1K1,解得0<<2，尚<0，可 (2)解析：a=(1,一2)，b=(x,y),∴a·b=x一2y 由柯西不等式的向量形式可得 得-4<x5,因此，“1z-1<1”是“±<0”的充分不必要条 x-5 [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2, 件，故D正确。 即5×16≥(x-2y)2, 答案BD ∴.-4W5≤x-2y≤4W5,（￥) [例2] 解原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, 当且仅当b=a, 1 红=46 0当a≥0时，原不￥式可化为(xa）x-1)0, 5 时，()式中右边等号成立， 所以当>1时，解得上<<1： =86 5 当a=1时，解集为心； x=- 4√5 当0<a<1时，解得1<x<L 或 5 时，()式中左边等号成立， ②当a=0时，原不等式等价于一x十1<0， =86 即x>1. 5 当=4 ③当a<0时 <1,原不等式可化为(-日）-1>0 a 5 ,y=-85时，a·b的最大值为45. 答案4√5 每得>1成<日 权方和不等式 (1)解析 v2 2 给上，当0<1时，不等式的解桑为{红1K<日} y+2x'+2x'x+2y 当a=1时，不等式的解集为心， (x+y十x)2 ≥y+22+2+2x+x+2列y3 当>1助，不等式的解集为{日} 当且仅 当a=0时，不等式的解集为{xlx>1}, y+2x+2zx+21 即=)y==3时取等号 当a0时，不等式的解集为{红<日或>} _53∠0， 答案3 1 跟踪训练1解0①由随意产3子 (2)解析 3 1 12 12 +(23)2 可得{52x-1)≥0解得x≤营浅e>1 (x一1≠0， 2x++中2x+++2x 4(x+y) +262-13+45,即2≥13+45 所以不等式的解集为（一0，了] ,31U1,+o∞). 6.x+5y 6.x+5y 6.x+5y (2)不等式a.x2-(2a-1)x-2≥0可化为(a.x十1)(x-2)≥0， 394 当a=0时，x一2>0，不等式的解集为[2，十∞)； 当>0时，不等式化为(+日）水x-2)≥0，共解条为(-0， U2,+e: 当a0时，不华式化为(+）z-20. 因为2-+1=(x-）+>0, ①查-日<2，即a<-号时，不等式的解秦为[-日2]： ②当 =2,即a=-号时，不等式的解集为2： 1 由 得1x 1 ③当 >2：即-合<a<0时，不等式的解集为2-] x2-x+1 2-x+1 a 1-x 一x十1一x 1-x+1-x [例3](1)解析关于x的不等式ax2+br十c≤0的解集为{xx≤： =1, (-2+3=- 1 a 2/1-x)· -1 -2或x≥3}，故a0,且 整理得到b=一a,c= 1-x -2X3= 当且仅当1-2=己即=0时等号成主， -6a,对于Aa<0,正确；对于B,ax十c>0,即a(x-6)>0,解得 1-x x<6,正确：对于C,8a十4b+3c=8a一4a一18a=一14a>0,错 所以(2-+) =1, 误；对于D,cx2+b.x十a<0,即-6ax2-ax+a<0,即6x2+x-1 所以m≥1，即m的取值范围是「1，十©o). <0,解得-<<分，正瑞，故选ABD, (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， 即(x2-x+1)m十x-3>0对一切m∈(0,2)恒成立， 答案ABD 令h(m)=(x2-x+1)m十x-3, (2)解析方法一显然a≠0： 令f(x)=a.x2+(a+2)x+9a, 因为-1=()+子0 11 当a>0时，f(1)<0,当a<0时，f(1)>0, 故af(1)<0,即a(11a+2)<0, 所以函数h(m)=(x2-x+1)m十x-3在(0,2)上单调递增， 2 则h(0)=x-3≥0，解得x≥3， 解得-<a<0. 所以x的取值范围为[3，十c∞) 方法二因为方程az2+(a十2)x十9a=0有两个不相等的实数！跟踪训练3 (1)[2,十∞）[方法一（画教法：当a=0时，原不等 根1，x2 式可化为<0，易知不合题意；当a≠0时，令f(x)=a.x2一x十a要满 所以1十2=-0十2， a0, a a0, （x1x2=9, 足题意，需 因为x1<1<x2 所以(1-1)(x2-1)<0, f(1)≥0 (>o 即1x2-(1+x2)+1<0, 则9+2+1<0，解得-异<a<0, 解得a≥之，所以实数a的取值范国是[侵十） 答案D 方法=（分离变量法）：ar2-x十a>0台ar2+a>x台a>2十 跟踪训练2(1)C[因为不等式az2+2x十c<0的解集是 00, 因为x∈(1，+o)2+1 1 <,所以a. 司)U(合+）所以-号和宁是方程a2+2z十c=0的两 x 1 2 〔2[-1,0]U[号】[变更主元法)地不等式的左瑞看浅关于a 2 =一 个实数根，由 0解得{a=12故不等式c2-2x 的函数，令g(a)=a.2-2a.x十x十3-a=(zx2-2x-1)a十x十3≥0，则 {c=2, 3 X2= 由g(a)≥0对于任意的a∈[-1,3]恒成立，得{)0，即 1g(3)0, +a≤0，即2x2-2x-12≤0，解不等式x2-x-6≤0，得-2≤x≤1 -2+3+40·解得 -1x4, 3,所求不等式的解集是[一2,3].] 3z2-5.x0, (2)(-∞，4)U[8,+∞)[因为a.z2+bhx十c>0的解集为(-2,4)，所 ≥号或0，所以实数z的取值范因为 以a<0,且对应方程的根为-2和4， -1ou[号 所以-合=-2+4=2，台=-2×4=-8，且a<0。 第二章函数 不等式是中<0可化为0如0，利g<0,印 4一x §2.1 函数的概念及其表示 ≤0，解得x<4或x≥8.] 8-2K-1或2<3[原不等式等价于2>0，必童知点整合 !1.唯一确定 {x2-x-2≤4,21)定义域对应关系值域(2)定义域 即1一20解得{≥2或-1故原不等式的解集为z 对应关系 {x2-x-6≤0,1 {-2≤x3. :3.解析法列表法 -2≤x<-1或2<x≤3}.] :[自主诊断] [例4]解(1)不等式f(x)<1, 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 即m.x2-(m-1)x十m一2<0， :2.A[根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数 当m=0时，x一20，解得x<2,不符合题意： 值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A 当m≠0时，有C0. 不是函数图象.] 1△=[-(m-1)]2-4m(m-2)<0, 3.AC[f(x)=√一x3与g(x)=x√一z的值城不同：f(x)=x与 解得m<3-2 g(x)=√=|z的对应关系不同，故BD错误，AC正确.] 3 综上所迷，m的取值范国为-，3一25) 8a4)=或0=5.年释a=1或 :4.1或-1[由题意得a≥0， 3 -1.] 395