1.5 基本不等式的综合应用-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

跟踪训练2①CD[对千A>0,心0a+6≥2/瓜.即V瓜<士跟踪训练11C[因为x>-1,x+1>0,所以x+开=1十 2 =2,当且仅当a=b=2时等号成立，所以A正确；对于B,a>0, b>0,(Wa+√6)2=a+b+2√ab=4+2√ab≤4+2X2=8,又√a+ +z-1≥+1·开-1=26-1，当且收当+1 1+a b>0,则Va+b≤2√2，当且仅当a=b=2时等号成立，所以B错 误对于Ca+b=4,b=4-a>0,所以0<a<4,则号+6= 年即=后-1时取等号，所以x叶年有最小植2后-1，因 3+ 为不等式叶开3在x(-1,十0)上恤成立，所以26- 4-a)2-号-8a+16=专（a-32+4≥4，并且a=3时等号成 3 1≥3，解得a≥4，所以a的最小值为4.] 立，所以C正确：对于D,a>0,b>0,a十b=4,所以中=1，则 (2)(-∞，-3U(2,十∞）[因为正实教y满足x十y=1, 是+名（日+）中-是×(2+名+)≥×(2+ 则+D+y=2,所以十-=号[x+D+(十 3√会·合)=1，当且仅当台=分即a=6=2时等号成立，所以 )=(6+务+出)≥(+3路受)=号 D正确.故选ACD.] ②)BCD[对于选项A,由a+b+8=ab≤（生），青且仅当 x+y=1, 2 a=b时等号成立，不妨设a十b=t, 的最小值为号因为不等式十号<㎡+号m有解，则 4 则t2一4t-32≥0， 解得t≥8或t≤-4， 因为a>0,b>0,则a十b≥8，故A项错误： ㎡+受m>号，即2m2+3m-9>0,解得m<-3或m>亭.所以 对于选项B,由ab一8=a十b≥2√ab, 当且仅当a=b时等号成立， 实数m的取位范周是(-，-3U(会十）门 不妨设√ab=s,则s2一2s-8≥0， 例2]解(1)设匀速行驶速度为vkm/h,耗电量为f(),则 解得s≥4或s一2， 因为s>0,则s≥4， f0)=P().500=+2500-20(60≤u≤120， 即ab≥16，故B项正确： 易知函数f(0)在区间[60,120]上单调递增， 对于选项C,由ab=a十b十8可得a(b-1)=b+8,则b一1>0，且 a-+8 所以0m=60)=2华>75-5， b-1' 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量， 则a叶动-g+3动=1+6号+3动=4+号+36-1D≥4+ 所以该车不能在不充电的情况下到达B地. (2)设匀速行驶速度为vkm/h,总时间为th,行驶时间与充电时 2wW27=4+6√3， 间分别为古h,t2h. 当且仅当6=3(6-1D,即6=3+1，a=35+1时取等号，a十 若能到达B地，则初始电量十充电电量一消耗电量≥保障电量， 即75+15t2-f()≥5， 3b有最小值4十6√3，故C项正确； u+500-6. 对于选项D,由ab=a十b十8可得ab一a一b十1=9，即(a一1)(b 解得t2≥5+30 1)=9,且a-1>0,b-1>0, 1+ 所以1=4+6≥50+品+0-6=品+20-6≥ 4 1 4 1 4 3 14 则。片十≥√a点‘6片=3当且仅当 a-1-b-1 时等 2000-6=3 22 号成立， 215 4 5 由a-16-1'解得 a=2 多里仅当号-20，即。一10时取等号 lab=a+b+8 (b=7, 所以该汽车到达B地的最少用时为号. 高十。青有最小值专，故D项跟踪训练2解)向题意知，年利洞W)(单位：万元)关子年 2 即当且仅当a=受b=7时，】 1 正确.] 产量x(单位：万台)的函数解析式W(x)=G(x)·x-50-90x= §1.5基本不等式的综合应用 70+200是150--010 x(x-1) x-1 [例1](1)解析因为正实数x,y满足(x一1)(y-4)=4,即xy= (x≥20). 红+y所以号+=1，所以+=(+)(+)=2+ (2)由(1)知，当x≥20时，W(x)=-20x+1950-800 y x-1 +≥2+2√： 2:义三4，当且仅当=光，即x=2,y=8 -20(x-1)+4001 x-1 十1930，由基本不等式，可得(21)十三 y 时取等号，因为x十￥≥d-3a恒成立，所以2-3a≤4，解得-1≤ 3-1·0-40，且仅当x-1=400 x-1 ,即x=21时，等号 a≤4，即实数a的取值范围是{al-1a≤4} 成立， 答案B 所以W(x)≤一20×40+1930=1130，所以当年产量为21万台 时，年利润W(x)取得最大值，最大利涧为1130万元. (2)解析 不等式x十义<2-3m有解， 4 [例3](1)解析因为√2+1-x>√2-x≥x-x=0,所以fx)的 (+￥）<m2-3m>0>0,+手=1 x y 定义城为K因为)=3g(√F干-)=√P中1 一，所以 +=(+)+)=号+若+2≥2停·若+2 f(x)为减函数，因为f(-x)=3lo(√+1+x),所以f(.x)= =4, 一f(一x),则f(.x)为奇函数，因为f(a)十f(3b一1)=0，所以f(a)= 当且仅当号=六即=2，y=8时等号成立， y -=1-,即a+6=1,所以0站0=是+古-(2+ ab ∴.m2-3m>4,.(m+1)(m-4)>0, .m<-1或m>4, )a++号+6因为+号>2受·名=6所以 .实数m的取值范围是{mm<一1或m>4}. 答案D 30由-2+号+6≥12（多且枚当a=日6=行时，等号成 ab 393 立），则6+巴的最小值为12.故选C b 因为x>0>0,则6x+5y≥号+23， 2 答案C 2√3 (2)解析方法一 设原点到直线l的距离为d,由，点到直线的距 当且仅当2十4z+y 离公式得 d=l-A+1l 2-2入+1 即2=33-4 2λ 4 5一B时取等号 ,y= 2 W/2+1 AA2+1 A2+1 答案 3+25 显然当入<0时，有最大值 2λ 2 此时 §1.6一元二次方程、不等式 2+1 《-0+() ! 必备知识·整合 国为-0+()≥3-…(】 :1.{xx<1或x>x2} =2,当且仅当1=-1时 2.( {}R (zla<b,a}(zlb<z<a 等号成立， :3.(1)f(x)g(x)>0(<0)(2)f(x)g(x)≥0（≤0）且g(x)≠0 所以 2 =1,所以dmx=2. 4.(-co,-a)U(a,+∞)(-a,a) -0+(-) :[自主诊断] :1.(1)×(2)/(3)×(4)× 方法二 直线1恒过定点(1，一1)，故原，点到直线1距离的最大值：2.C[由方程(x一1)(x一3)=0，可得方程的两根为x1=1,x2=3, 为√②， 结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x一1)(x一3)>0的解 答案D 集为{x|x<1或x>3}.故选C.] 13.一3[根据题意，方程x2十(2m一1)x十n一m=0的两根为3和4，故 跟踪训练3 [因为ab,c成等差数列，所以2b=a十c 有8十1二2m:解得m=-3.] 13×4=mm2一m, 所以osB=2+2-F 2+2 2 3d+c2)-2a 4.(一3,0)[由题意知 2ac 2ac k0, 因为a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时取等号，所以3(a2十c2) 2ac≥4ac>0, 4=-X2×()<0，解得-360.] 所以mH=a十22亚≥品=台 关键能力·突破 8ac [例1]解析由题知方程-x2-x十2=0的解为1=1，x2= 又y=cosx在区间(0，)上单调递减， 一2，所以不等式-x2一x+2>0的解集为{x|一2<x<1},故A 错误； 所以0<B≤晋，所以0<snB<] 因为2红+号-1≤0，即+8≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)， x-2 【微拓展】 柯西不等式 2-2 (1)解析根据柯西不等式：(x2十y2+2)(1+4+9)≥(x十2y十 解得-3≤x<2,所以不等式的解集为(x|一3≤x<2},故B 正确； 3P=1,即2+y+2≥品当且仅当=品y=宁=是时 1 由x-2≥1，可得x-2-1或x一2≥1， 等号成立 解得x1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C 错误； 1 答案4 由1x-1<1,可得-1K-1K1,解得0<<2，尚<0，可 (2)解析：a=(1,一2)，b=(x,y),∴a·b=x一2y 由柯西不等式的向量形式可得 得-4<x5,因此，“1z-1<1”是“±<0”的充分不必要条 x-5 [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2, 件，故D正确。 即5×16≥(x-2y)2, 答案BD ∴.-4W5≤x-2y≤4W5,（￥) [例2] 解原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, 当且仅当b=a, 1 红=46 0当a≥0时，原不￥式可化为(xa）x-1)0, 5 时，()式中右边等号成立， 所以当>1时，解得上<<1： =86 5 当a=1时，解集为心； x=- 4√5 当0<a<1时，解得1<x<L 或 5 时，()式中左边等号成立， ②当a=0时，原不等式等价于一x十1<0， =86 即x>1. 5 当=4 ③当a<0时 <1,原不等式可化为(-日）-1>0 a 5 ,y=-85时，a·b的最大值为45. 答案4√5 每得>1成<日 权方和不等式 (1)解析 v2 2 给上，当0<1时，不等式的解桑为{红1K<日} y+2x'+2x'x+2y 当a=1时，不等式的解集为心， (x+y十x)2 ≥y+22+2+2x+x+2列y3 当>1助，不等式的解集为{日} 当且仅 当a=0时，不等式的解集为{xlx>1}, y+2x+2zx+21 即=)y==3时取等号 当a0时，不等式的解集为{红<日或>} _53∠0， 答案3 1 跟踪训练1解0①由随意产3子 (2)解析 3 1 12 12 +(23)2 可得{52x-1)≥0解得x≤营浅e>1 (x一1≠0， 2x++中2x+++2x 4(x+y) +262-13+45,即2≥13+45 所以不等式的解集为（一0，了] ,31U1,+o∞). 6.x+5y 6.x+5y 6.x+5y (2)不等式a.x2-(2a-1)x-2≥0可化为(a.x十1)(x-2)≥0， 394高三总复习·数学 §1.5基本不等式的综合应用 【课标要求】1.会求与基本不等式有关的恒（能）成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 3.掌握基本不等式在其他知识中的应用. 题型一与基本不等式有关的恒（能）成立问题'题型二基本不等式的实际应用 [例1](1)(2026·杭州模拟)若正实数x,y满足：[例2]随着环保意识的增强，电动汽车成为人们 (x-1)-0=4,且x+￥>a2-3a恒成立，则 购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段 (汽车行驶速度不低于60km/h)测试发现：①汽 实数a的取值范围是 ( 车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单 A.{a-1<a<4} B.{a|-1≤a≤4} 位：km/h)的关系满足P()=0.0022-0.04u十 C.{a|-4≤a≤1} D.{al-4<a<1) 5(60≤v≤120)：②相同路程内变速行驶比匀速 (2)若两个正实数x,y满足上十4=1，且不等式 行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A y 地经高速公路（最低限速60km/h,最高限速 x十￥<m2-3m有解，则实数m的取值范围是 120km/h)匀速行驶到距离为500km的B地，出 发前汽车电池存量为75kW·h,汽车到达B地 A.{m-1<m<4) 后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动 B.{mm<-4或m>1} 汽车从静止加速到速度为。的过程中消耗的电 C.{m|-4<m<1} 量与路程都忽略不计). D.{mm<-1或m>4} (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B 地，并说明理由； [听课记录] (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A 地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为 15kW(充电量=充电功率×时间)，求到达B地 的最少用时（行驶时间与充电时间总和）， +/思维升华/+++++++++++++ [听课记录] 3.x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(.x)max≥a; ]x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)min≤a. 跟踪训练1(1)已知a>0,若关于x的不等式 十年≥3在x(-1,+∞)上恒成立，则a的 最小值为 ( ) A.1 B.2 C.4 +/思维升华/++++++++++++++飞 D.8 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实 (2)若正实数xy满足x十y=1,且不等式4 x+1 际问题设出变量，注意变量应满足实际意 乙m2十m有解，则实数m的取值范围是 义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模 y 型，再利用基本不等式求得函数的最值. *+…十”+4+十4+十”++”+4+十4+十种++十4+十+“十”+ 精品教辅·智慧人生 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 跟踪训练2在博览会上，某公司带来了一种智： +/思维升华/++++++++++++++ 能设备供采购商治谈采购，并决定大量投放市 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数 场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每 列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几 生产一台该设备需另投人90元，设该公司一年 何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点 内生产该设备x(x>20)万台且全部售完，每万 交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最 台的销售收人G(x)(单位：万元)与年产量x(单 值问题 位：万台)满足关系式：G(x)=70+2000 跟踪训练3已知△ABC的内角A,B,C的对边 8000 x(x-1)1 分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列，则sinB的 (1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x 取值范围是 (单位：万台)的函数解析式；（利润=销售收入一【微拓展】 成本) 柯西不等式 (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利：1，二维形式的柯西不等式 润最大？并求最大利润 (a2+b2)(e2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R,当且 仅当ad=bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)a2+b.√c2+d2≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R,当 且仅当ad=bc时，等号成立). (2a2+b.√e2+d2≥lacl+|bd1(a,b,c,d∈R 当且仅当ad=bc时，等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥(ac+√bd)2(a,b,c,d≥0，当 且仅当ad=bc时，等号成立). 题型三基本不等式与其他知识交汇的最值问题 3.一般形式的柯西不等式 [例3](1)(2026·东北三省四市模拟)已知函数 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数，则 f(x)=31og2(Wx2+1-x),正数a,b满足f(a) :(a好+a号+…+a品)(b+b呢+…+b品)≥(a1b1十 十f(36-1)=0,则36+0的最小值为 ( ab )a22十…十a,bn)2,当且仅当6，=0(i=1,2,n) A.6 B.8 C.12 D.24 或存在一个实数k,使得a;=kb:(i=1,2,…,n)时， (2)(2026·绍兴模拟)原点到直线l:入x十y一λ十1；等号成立. =0(入∈R)的距离的最大值为 ( ):4.二维形式的柯西不等式的向量形式 A号 B.22 C.42 D.√2 a·B≤aB(当且仅当B是零向量，或存在实 5 5 数k,使a=时，等号成立 [听课记录] [典例](1)(2026·徐州质检)若实数x十2y+3: =1,则x2十y2十之2的最小值为 (2)设a=(1,-2),b=(x,y),若x2十y2=16,则 a·b的最大值为 15 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 【微拓展】 =…=卫时等号成立，称之为权方和不等式.m为 权方和不等式 该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的暴多 1.二维形式：已知x,y,ab均为正数，则有8十 一次 ≥a+D(当且仅当x:y=石：万时，等号成 [典例](1)已知正数x,y,之满足x十y十之=1，则 y x+y v2 22 y+2x:+2 十x十2的最小值为 立 1 2.一般形式：设a;,b;均为正数(i=1,2,…,n),实 3 (2)若x>0,y>0·2x+yx+y =2,则6.x+5y的 数m>0,期（空0，）m 最小值为 ,当且仅当1= a2 (2b:)m 61 62: 温馨提示 请做课时分层检测（五） §1.6一元二次方程、不等式 【课标要求】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的 根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 必备知识·整合 夯实基础回归教材>》> 1.二次函数y=a.x2十bx十c(a>0)与一元二次方程：2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x一b)<0型不等式 a.x2+bx+c=0(a>0),不等式ax2+b.x+c>0 的解集 (a>0)的解的对应关系 解集 不等式 a<b a=b a>b 方程的判 (x-a)· (rlx<a (x-b)>0 或x>b 别式△ △>0 △=0 △<0 (x-a)· b2-Aac xa<x<b (x-b)<0 3.分式不等式与整式不等式 二次函数 (1)(x) g(z) 0(<0)台 的图象 Ox1=2 0 (2)fx) g(x)≥0（≤0）台 4.简单的绝对值不等式 有两个不相 有两个相等 |x>a(a>0)的解集为 等的实数根 方程的根 的实数根 |x|<a(a>0)的解集为 没有实数根 x12(无1< 【自主诊断】 b =x2= x2） 2a 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 “X”) (1)若方程a.x2十bx十c=0无实数根，则不等式 不等式 a.x2+bx十c>0的解集为R. () 的解集 (2)若不等式ax2+bx十c>0的解集为(x1,x2), 则a<0. ( 精品教辅·智慧人生 16