2.5 函数性质的综合应用-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

故曲线y=f(x)关于点(1，a)中心对称 增，所以f(2)<f(一ln2)<f(3),即c<b<a,所以B正确；因为 方法=“fx)=ln2产z+ax+bx-1)3,ze(0,2), f(x)在[1，十co)上单调递增，所以函数f(x)在（一©o,1]上单调 递减，所以函数∫(x)在x=1处取到最小值，所以C正确，D不 .f(x+1)=ln+z+ax+a+bx3,x∈(-1,1) 正确， 1-x (2)(0,1][因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数 令6x)=e+1D-a=n+ar+bmre(-1,》 y=f(x)的图象关于原，点对称，且f(0)=0,当x>0时，f(x) a(x一1)十1=ax十1一a,当x0时，一x>0,则f(一x)=一ax十1一a, 1十x 则f(x)=一f(一x)=ax十a一1，即当x<0时，函数f(x)=ax十 则g()三n1+2-az一br3=-hux一bx3=-gx), a-1, ∴·g(x)是定义域为（一1,1）的奇函数，其图象关于坐标原点O ax+a-1,x<0, 对称. 所以f(x)= 0,x=0, 因为函数y=f(x)是R上的增函数， 又，：f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向 ax十1-a,x>0. 上平移个单位长度得到， a>0, .曲线y=f(x)是中心对称图形 则有1一a≥0，解得0<a≤1，所以实数a的取值范围为(0,1].] [例4们解析设P(xo,%)为y=f(x十2)图象上任意一点，则y (a-10, =f(x0+2)=f(4一(2-x0)), :[例2](1)解析因为f(x十2)是偶函数，所以f(一x+2)=f(x十 所以点Q(2-00)在函数y=(4一x)的图象上： 2),因为f(2x+1)是奇函数，所以f(2x+1)=一f(2x十1)，且由 而点P(xoyo)与点Q(2一x0,yo)关于直线x=1对称， F(x)=f(2x+1)是奇函数，可得F(0)=f(1)=0,所以f(-1)= 所以函数y=f(x十2)与y=f(4一x)的图象关于直线x=1对称. 一f(3)=一f(1)=0,且易知函数f(x)的周期为4，其他几个不 答案A 一定为0.故选B. 跟踪训练2(1)BC[函数y=f(x十1)一2为定义在R上的奇函！ 答案B 数，则有f(一x+1)一2=一f(x+1)+2,即f(一x十1)+f(x+ (2)解析函数f(x)的定义战为R,且f(0)=一2，则f(x)不可能是 1D=4,又-+1)+(+1D-1,号=2，所以函数y=(x)的图 奇函数，故A错误； 2 象关于点(1,2)对称，无法判断是否关于点(2,2)对称，A选项错 定义在R上的画数f(x)满足fx-1)=-∫(+2）·支形可 误：函数g()红2十皓合反比例函数的性质和函数】 x一1 得f)=-f(x-） 图象的平移可知，g(x)的函数图象也关于点(1,2)对称，B选项正 确；f八x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1,2)对称，不妨设x1: 而f(x-是）为奇函数， <x2<…<x2026,则有21十x2026=x2十x2025=…=x1013+ x1014=2,M十y202%=3%十y2025=…=y1013十y1014=4,所以 x1十x2十…十x2026=2026,C选项正确：M1十y2十…十y2026= 则f(-x-)=-f(-) 4052,D选项错误.] (2)1[因为函数y=f(x)与y=3+m的图象关于直线y=x对 则(-)=-f(-)则有-)= 称，所以x=log3y一m,所以f(x)=log3x一m,所以f(3)+f(9) 即函数f(x)为偶函数，故B正确： =1-m十2一m=1,所以m=1.] 已知函教f)满足fx-D=-∫(+)： §2.5函数性质的综合应用 [例1](1)解析根据题意可得函数f(x)在(0，十o)上单调递 即f)=-f(+2) 增，由f(一1)=f(2)=1可得f(1)=f(-2)=一1.由f(x)在 (-,0)止单词递增，得f号）>-2)=-1，故A正痛：由 则有fx+3)=-f(+2)=. 即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确： f(一1)=1，f(1)=-1,得f(-1)>f(1),故B正确；由函数f(x) f(x)是偶函数且周期为3， 在(0，+co)上单调递增，得f(3)>f(2)=1,故C正确；由函数 则f(2025)=f(0)=一2，故D正确 f(x)在(0，+o)上单调递增，得f(2)） <f(1)=一1，故D 答案BCD 跟踪训练2(1)C[因为f(x一2)为奇函数，f(x)的周期为2，所 错误. f(x）-f(x2) 答案ABC 以f(x)为奇函数，因为Hx1,x2∈[0,1)，x1≠x2, (2)解析设x1>x2, 由f)->4m+2), >0,所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为(x)为奇函数，所以f(x) 在（一1,0]上单调递增，所以f(x)在（一1,1）上单调递增，因为 x1一x2 得f(1)-f(.x2)>4(x1十x2)(1-x2)=4(x1-x), f(-2)=f(-2+2×4=f(2)0=4-2x2)= 所以f(x1)-4x>f(x2）一4.x号， 令g(x)=f(.x)-4x2,x∈[0，+co), 0(=(告-2x=()所以1()）>0> 则g(x1)>g(x2), 所以函数g(x)在[0，十○)上单调递增， ()()>>(》 因为f(x)是定义在R上的偶函数， (2)36075[因为f(1+2x)十f(1-2x)=6,令x=0可得，f(1)+ 所以f(-x)=f(x), f(1)=6,所以f(1)=3:函数f(x)为偶函数，则f(x)=f(一x), 所以对任意的xR,g(x)=f(一x)一4(-x)2=f(x)-4x2=! g(x）, 因为f(1+2x)+f(1-2x)=6,所以f(t)+f(2一t)=6,则f(t+2) 所以函数g(x)为R上的偶函数， 十f(一6)=6，又f(t)=f(一t),所以f(t+2)+ft)=6,则有f(t+2》 且g(2)=f(2)-4×22=16-16=0. =f2-t)=ft-2),因此可得f(x+4)=f(x),故函数f(x)是周 期为4的周期函数：在f(1十2x)十f(1一2x)=6中，令x=1可得 由flnm)≤4(nm)2, 可得f(lnm)-4(lnm)20, f(3)+f(-1)=6,又f(-1)=f(1)=3,所以f(3)=3,令x= 即g(lnm)g(2), 可得f(2)+f(0)=6,文f(4)=f(0),所以f(2)+f(4)=6,则 即|lnm≤2，所以-2≤lnm2, f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+6+3=12,所以f(1)+f(2)+ 解得己<n≤c2 f(3)+…+f(2023)+f(2024)+f(2025)=[f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)]×506+f1)=12×506+3=6075.] 所以m的取值范国是己e] [例3]解析因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(一x)= 一f(2+x),又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)=f(一x),所以 答案D f(x十2)=一f(一x)=一f(x),所以f(x+4)=一f(x+2)= 跟踪训练1(1)ABC[由函数y=f(x十1)是R上的偶函数，并且 一[一f(x)]=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)= y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度 f(一1)=f(1)=2-2=0.又f(0)=1,f(2)=一f(0)=-1,所以f(0) 得到的，所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称，所以A正确；因 +f1)+f(2)+·+f(2024)=506×[f(0)+f(1)+f(2)+ a=f(log28)=f(3),b=f(-In 2)=f(2+In 2),c=f(eln2)= f(3)]+f(2024)=506×(1+0-1+0)+f(0)=1. f(2),因为3>ln2+2>2>1且函数f(x)在[1，+)上单调递1 答案D 399 跟踪训练3A[因为f(2x+2)的图象关于直线x=一 对称，所以 对于C,幂函数y=xm的图象不可能在第四象限内，所以C项 正确； f(2x+2)=f[2(-1-x)+2]=f(-2x),于是f(.x+2)=f(-x),: 对于D,当m=一1时，幂函数y=xm为奇函数，但在定义域内不 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x十2)=f(一x)=一f(x),I 是增函数，所以D项不正确. 则f(x十2+2)=-f(x+2)=f(x),即f(x+4)=f(x),所以 答案C f(x)的周期为4，所以f(2026)=f(2)=一f(-2)=一1.] [例4幻解析由题意知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)十 (2)解析幂函数y=x,当a>0时，y=xa在(0，十)上单调递 g(x-3)=2, 增，且0<a1时，图象上凸，所以0<<1；当a<0时，y=z在 则f(一x)十g(一x一3)=2，因为g(x一3)是偶函数， (0,十o)上单调递减，不妨令x=2,根据图象可得212m,所以 所以f(一x)+g(一x-3)=f(一x)十g(x-3)=2=f八x)十g(x-3), 1<0.综上所述，故选D. 所以f(x)=f(一x),即f(x)为偶函数， 答案D 令x=0,则f(0)十g(一3)=2， 跟踪训练1(1)C[函数f(x)=(m2一3m一3)zm为暴函数，则n 又g(-3)=1,所以f(0)=1, 3m-3=1,解得m=4或m=-1,当m=4时，f(x)=x在区间(0， 所以f(x)不可能是奇函数，故D不正确： 十c∞)上单调递增，不满足题意，当m=一1时，f(x)=x1在区间 又f(x+1)+f(x-1)=f(x) 令x=0,所以f(1)+f(-1)=2f(1)=f(0)=1, (0,十o)上单调递减，满足题意，A错误；函数f(x)=x一1在 (一○，0)和(0，十○)上单调递减，但不是减函数，B错误；因为函 所以f(1)= 号，故A正确： 数的定义域关于原点对称，且f(一)=】 =一f(x),所以函数f(x) 由f(x+1)+f(x-1)=f(x),得f(x)+f(x-2)=f(x-1), 两式相加得一f(x十1)=f(x一2)， 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选C. 所以f(x)=一f(x十3)， (2)AC[f(1)=1=1,A正确：当a=-1时，f(x)=1分别在 又f(x)=f(一x),所以f(一x)=一f(x十3). 即f(-x)+f(x+3)=0, (一°，0)，(0，十○)上单调递减，在定义域上不单调，B错误；当 所以八)的图象关于点（受0）对称，故B正确： a=3时，f(x)=x3的定义战为R,且f(一x)=(-x)3=一x3= 由f(x)=-f(x十3)得f(x+3)=-f(x), 一f(x),所以函数f(x)是奇函数，C正确；当a=时，f八z)=√丘的 故f(x十6)=一f(x十3)=f(x),故C正确. 值域为[0，十o),D错误.门 答案ABC [例2](1)解析由二次函数的对称性、值域及单调性可知解析式 跟踪训练4(1)CD[由f(x)+f(-x)=0得f(一x)=-f(x), 取f(x)=(x一2)2十1，此时f(x)图象的对称轴为x=2,开口向 函数f(x)为奇函数，A错误；对任意的x1,x2∈[-2,0]，当x1≠ 上，满足②，因为对任意x1,x2∈（一∞，0)，且1≠x2,都有 x2时，都有(1一x2）·[f(1)-f(x2)]<0,所以f(x)在[-2， 0]上单调递减，结合奇函数知，函数f(x)在[0,2]上单调递减，即 f）-f》<0,等价于f(x)在(-0,0)上单调递减，所以 x1一x2 函数f(x)在[一2,2]上单调递减，由A及f(x)+f(x十4)=0可知 f(x)=(x一2)2十1满足③，又f(x)=(x一2)2+1≥1，满足①. f(x)=一f(一x)=-f(x十4)，即f(一x)=f(x十4)，故f(x)关于直 线x=2对称，所以f(x)在[2,6]上单调递增，且直线x=1是函 故f(x)的解析式可以为f(x)=x2一4x十5. 数f(x+1)图象的一条对称轴，C,D正确；又f(x)=一f(x十4)= 答案f(x)=x2-4x十5（答案不唯一） f(x+8),结合f(x)在[一2,6]上的单调性可知函数f(x)的最小 (2)解方法一（利用“一般式”解题） 正周期为8，B错误.门 设f(x)=a.x2+bx十c(a≠0). (2)f(-25)<f(80)<f(11)[因为f(x)为奇函数，所以 〔4a+2b+c=-1, f(一x)=一f(x),又f(x)在区间[0,2)上单调递增，故f(x)在区 间（一2,2）上单调递增，又f(x一4)=一f(x),故函数f(x)的周 由题意得)a一b十c=1, Aac-b2 期T=8,故f(-25)=f(-1-8×3)=f(-1),f(11)=f(3+ =8, Aa 8)=f(3)=一f(1一4)=f(1),f(80)=f(8×10)=f(0),根据函数的 4 单调性可得f(一1)f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).] 解得b=4, §2.6二次函数与幂函数 c=7. 所以所求二次函数的解析式为 必备知识·整合 f(x)=-4.x2+4x+7. 1.(1)y=x (3)②(1,1)(0,0)③(1,1) 方法二（利用“顶点式”解题） ④奇函数偶函数 设f(x)=a(x一m)2十n(a≠0). 2.(1)a.x2+bx+c(a≠0)(m,n） 零点(2)R [4ac- 因为f(2)=f(-1), Aa +oo） -o,4ac-b2 b 4ac-b 偶减 所以抛物线的对称轴为2=2十（一三 2 2 Aa 增增减 所以m=2· [自主诊断] 又根据题意，函数有最大值8， 1.(1)×(2)/ (3)×(4)X 所以n=8, 2.A[函数f(x)=一2x2+4x图象的对称轴为x=1,则f(x)在 2 [-1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，所以f(x)mx=f1)= 所以f(x) 1 a(r-z)+8. 2,f(x)mim=f(一1)=一2-4=一6，即f(x)的值域为[-6,2].] 3.D[)=2--1=2(-)】 ，因为 国为2)=-1，所以a2-) +8=-1, 一1≤x≤1，所以1 解得a=一4， 代)在【-1，]上单稱减，在（上单调递增且 所以)=-x-）+8=-4+4红+7. f()=- 9 ,又f(1)=2-1-1=0,f(-1)=2+1-1=2,故1 方法三（利用“零点式”解题） 由已知得f(x)十1=0的两根为x1=2,x2=一1， x)=2x2--1在-1≤≤1上的值该为[-号2小门 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)， 4.(-∞，4][由函数fx)=z2+2(a-1)x十2在区间(-6∞，-3]上单： 即f(x）=a.x2-a.x-2a-1. 调递减，可得-2a,1》>-3,即a≤4，故实教a的取值范固是 又函数有最大值8，即4a(-2a-》-(-a)》2=8. Aa (-o,4].] 解得a=一4. 关键能力·突破 故所求函数的解析式为f(x)=一4.x2+4.x+7. 例)解析对于A,当m=0时，函数y=”的图象是直线y跟踪训练2（)y=2十x-三或)y一一之2-十号[因为二次 =1除去点(0,1)，所以A项不正确； 对于B,幂函数的幂指数小于0时，图象不经过点(0,0)，所以B, 函数的图象过点（一3,0），(1,0)，所以可设二次函数为y= 项不正确： a(x+3)(.x一1)(a≠0)，整理得y=ax2+2a.x一3a,顶，点的纵坐标为 400高三总复习·数学 §2.5函数性质的综合应用 【重点解读】函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性 质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查： 题型一函数的奇偶性与单调性 跟踪训练1(1)（多选）已知函数y=f(x+1)是 [例1](1)（多选）已知f(x)是定义在R上的奇函 R上的偶函数，且∫(x)在[1，十∞)上单调递增， 数，且在（一∞，0）上单调递增，若f(一1)=f(2) a=f(log28),b=f(-ln2),c=f(en2),则下列 =1,则下列不等式成立的是 ( 说法正确的是 () Af-)>1 A.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f(-1)>f(1) B.c<b<a C.f(3)>1 D.f2)>-1 C.函数y=f(.x)在区间(-∞，1]上单调递减 D.函数f(x)在x=1处取到最大值 (2)(2026·大连模拟)已知f(x)是定义在R上 的偶函数，Hx1,x2∈[0，十o∞)，且x1≠x2 (2)设a∈R,函数y=f(x)是定义在R上的奇 f(x1)-fx22>4(x1+r2)恒成立，f(2)=16, 函数，且当x>0时，f(x)=a(x-1)+1.若 x1-x2 y=f(x)是R上的增函数，则a的取值范围为 则满足f(1nm)≤4(lnm)2的m的取值范围为 题型二 函数的奇偶性与周期性 A6可 BI2刂 [例2] (1)已知函数∫(x)的定义域为R,且 f(x十2)是偶函数，f(2x十1)是奇函数，则() C.[1,e2] D.( A.(-)=0 B.f(-1)=0 [听课记录] C.f(2)=0 D.f(4)=0 (2)(多选)已知定义在R上的函数∫(x)满足 f(x-1)=-f(c+2）,f0)=-2,且f(r +/思维升华/++ )为奇函数，则 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为 A.f(x)为奇函数 (g(x)>∫(h(x),利用单调性把不等式 B.f(x)为偶函数 的函数符号“∫”脱掉，得到具体的不等式 C.f(x)是一个周期为3的周期函数 (组). D.f(2025)=-2 (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调 [听课记录] 区间上的两个或多个自变量的函数值转化 到同一单调区间上，进而利用其单调性比较 大小 精品教辅·智慧人生 30 第二章函数 +/思维升华/+++++++++++++叶 +/思维升华/++++++++++++++ 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数 解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问 值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将 题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转 所求函数值的自变量转化到已知解析式的 化，再判断函数图象的对称轴或对称中心； 函数定义域内，或已知单调性的区间内 也可利用图象变换关系得出函数图象的对 求解 称性 跟踪训练2(1)已知定义在R上的函数∫(x)满 跟踪训练3已知(x)是定义在R上的奇函数， 足条件：①f(x)的周期为2，②f(x一2)为奇函 f(2x十2)的图象关于直线x=一 2对称，f(-2) 数，③x1,x2∈[0,1)，x1≠x2, f(x1)-f(x2) x1一x2 =1,则f(2026)等于 ) >0恒成立 则∫(-)0f(侵)的大小关 A.-1 B.0 系为 C.1 D.2 题型四 函数性质的综合应用 A(学)>4>f(-》 [例4]（多选）已知函数f(x),g(x)的定义域 Bf4>f()>f(-) 均为R,f(x+1)+f(x-1)=f(x),g(x-3) 是偶函数，且(x)十g(x-3)=2,若g(-3) C.f(-)>4)>f(侵) =1,则 () D.f(-)>f()>f4 A.1)=7 (2)(2026·遵义适应性考试)已知定义在R上的 Bf)的图象关于点（号，0）对称 偶函数f(x)满足f(1+2x)+f(1-2.x)=6,则 f(1)= C.f(x)=f(x+6) ;f(1)+f(2)+f(3)+…+ D.f(x)为奇函数 f(2023)+f(2024)+f(2025)= 题型三函数的奇偶性与对称性 [听课记录] [例3](2026·西安模拟)已知函数∫(x)是R上 的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当 x∈[0,1]时，f(x)=2-2r,则f(0)+f(1)+ f(2)+…十f(2024)的值为 +/思维升华/+++++ A-2 B.-1 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是 1 C.0 D.1 函数的四大性质，在高考中常常将它们综合 听课记录] 在一起命题，解题时，往往需要借助函数的 奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上 的单调性，即实现区间的转换，再利用单调 性解决相关问题. 31 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 跟踪训练4(1)（多选）已知定义在R上的函数： C.函数f(x)在[2,6]上单调递增 f(x)满足f(x)+f(-x)=0,f(x)+f(x十4)= D.直线x=1是函数f(x十1)图象的一条对称轴 0且对任意的x1x2∈[-2,0]，当x1≠x2时，都 (2)(2026·齐齐哈尔模拟)已知定义在R上的奇 有(x1一x2)·[f(x1)一f(x2)]<0,则以下判断 函数f(x)满足f(x一4)=一f(x),且在区间[0， 正确的是 2)上单调递增，则f(-25),f(11),f(80)的大小 .(用“<”连接) A.函数∫(x)是偶函数 关系为 B.函数f(x)的最小正周期是4 温罄提示 请做课时分层检测（十一） §2.6二次函数与幂函数 【课标要求】1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质（单调 性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题 D必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 1.幂函数 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1,x2 (1)幂函数的定义 为f(x)的 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自 (2)二次函数的图象和性质 变量，a是常数 y=ax+bx+c y=ax+bx+c (2)常见的五种幂函数的图象 函数 (a>0) (a<0) 2 r3y=3 y=x 图象 -2-1 (抛物线) 012 V= 定义域 (3)幂函数的性质 值域 ①幂函数在(0，十∞)上都有定义； 对称轴 ②当a>0时，幂函数的图象都过点 和 顶点 ,且在(0，十∞)上单调递增： 坐标 ③当a<0时，幂函数的图象都过点 ,且 当b=0时是 函数，当b≠0时是 在(0，十∞)上单调递减； 奇偶性 非奇非偶函数 ④当a为奇数时，y=xa为 ;当a为偶数 时，y=xa为 2.二次函数 在(-∞，-上 在(-0，-]上 (1)二次函数解析式的三种形式 单调递 单调递 单调性 一般式：f(x)= 在[-+)上 在[-品+∞)上 顶点式：f(x)=a(x一m)2十n(a≠0)，顶点坐标 单调递 单调递 为 精品教辅·智慧人生 32