1.1 集合-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

学习讲义参考答案与详解 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 (2)解析方法一M={…,一2,1,4,7,10，…，N={…,一1,2 5,8,11,…}, 81.1集合 所以MUN={…,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…, 必备知识·整合 所以C,(MUN)={…,一3,0,3,6,9，…}，其元素都是3的倍数， 1.(1)确定性互异性无序性(2)属于不属于∈￠ 即C(MUN)={xlx=3k,k∈Zh. (3)列举法描述法 图示法(4)NZQR 方法二集合MUN表示被3除余1或2的整数集，则它在整数 2.(1)ACB(2)AB(3)B二A(4)任何集合任何非空集合 集中的补集是恰好被3整除的整数集 3.{xx∈A,或x∈BAUB{xlx∈A,且x∈B}A∩B 答案A {x|x∈U,且x庄A}A [自主诊断] [例4幻 解折A{≥} {xx>0或x≤-1}，则CRA 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ ={x|-1<x0}. 2.D[,x3=x,.x=0或x=士1，即B={0,1,-1}, 又A={-4,0,1,2,8},.A∩B={0,1}.故选D.] 因为(RA)∩B=RA, 3.C[易知P=(1,十∞)，由x一2>0，得x>2, 所以RA三B,所以a≥0.故选A 则M=(2,十o),显然有M三P.故选C.] 答案A 4(-，】[由<得-<<号，所以1 (2)解析 由zx2-(2m十1)x+m2+m0,得到(.x-m)[x-(m+1)] ≤0，所以m≤x≤m十1，得到CA={x|x<m或x>m+1},因为 x4,即A={x1≤x≤4}，由AUB=A,得B二A.当B=⑦时，即m十 (C,A)∩B中有且仅有2个整数， m+13m, 1>3m,解得m<2,符合题意：当B≠⑦时，需满足 m十1≥1，解 301含末 (3m4, 得<m≤ 4 ，综上可得，m≤，即实数m的取值范国为 如图，由图知，{一1≤m+1<0, 1m1 或0m+11·或{≤m十1解得-2≤m<-1或-1<m<0 (一1<m0 10m1, 或0<m≤1. 关键能力·突破 答案{m一2≤m<-1或-1<m<0或0<m≤1} 例1(1)解析选项A中，M=《3,一1}是数集，P=(3,一1)}[例5]解析用集合A表示语文90分以上的学生，用集合B表 是，点集，二者不是同一集合，故M≠P； 选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P; 示数学90分以上的学生，则高二(1)班共有card(AUB)= 选项C中，M={yy=x2+1,x∈R}=[1,十∞)，P={xx=2+: card(A)+card(B)-card(A∩B)=45+48-40=53个同学.故 1,t∈R}=[1,十oo),故M=P: 选C. 答案C 选项D中，M是二次函数y=x2一1，x∈R的所有y组成的集合， 而集合P是二次函数y=x2一1，x∈R图象上所有点组成的集 !跟踪训练3(1)C[由A∩B=B可得B二A.当a=0时，B=, 合，故M≠P 符合题意；当Q≠0时，B={-二}，则有-上=-1或-工= 答案ABD 2 解得a=1或a=一2.综上所述，实数a的取值构成的集合是{一2， (2)解析因为{m,只，}-m,m+n,01,m≠0， 0,1}.故选C.] (2)CD[由x2-3x+2≤0，即(x-2)(x-1)≤0，解得1x2, 所以】 =0 m=m+n.解得9：或{=0， 所以A={xx2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2，由B={x|1< 1m=1 1m=-1, x3},所以AUB={x1≤x≤3}，故A错误；A∩B={x1<x2}, (m2=1, 故C正确；又RB=(-o∞，1]U(3,+c∞)，所以(CRB)UA=(-∞， 当m=1时，不满足集合元素的互异性， 2]U(3,十o),故B错误；CRA=(一∞，1)U(2,十∞)，所以(CRB) 故m=-1,n=0,m2025+n2025=(-1)2025+0025=-1. U(CRA)=(一o,1]U(2,+o).故D正确.] 答案B (3)281[由题意，用A,B,C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛 跟踪训练1(1)D[由题意，若a2一2a+1=4,解得a=3或a=一1， 和化学竞赛的学生构成的集合，则card(A)=203,card(B)=179, 若a一4=4，解得a=8,当a=一1时，A={一1,4，一5}满足题意，当a =3时，A={一1,4，一1}违背了集合中元素间的互异性，当a=8时，A card(C)=165,card(A∩B)=143,card(B∩C)=97,card(A∩C)= ={-1,4,49}满足题意，综上所述，a的值可能为-1,8.] 116,card(A∩B∩C)=90,因此card(AUBUC)=card(A)+ (2)2[因为a∈A且4-a∈A,a∈N且4-a∈N, crd(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+ 若a=0,则4一a=4,此时A满足要求；若a=1,则4一a=3,此时 card(A∩B∩C)=203+179+165-143-97-116+90=281.所 A满足要求；若a=2,则4-a=2,此时A含1个元素。 以参加竞赛的学生总人数是281.] 综上，当a=2时，集合A只有一个元素； 当集合A有2个元素时，a=0或1，故满足题意的集合有2个 【微拓展】(1)解析1,2∈N,?EN,故N不是数城，A选项错误， 故答案为2] [例2](1)解析由题意知，U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3, 同理B选项错误；任意a,b∈Q,都有a+b,a一b,ab,号∈Q(除数 5},则CA={2,4,6,7,8},共有5个元素.故选C. b≠0)，故Q是一个数域，C选项正确；对于集合A={xx≠0， 答案C x∈R},1∈A,取a=1,b=1,则a-b=1一1=0庄A,故{x|x≠0， (2)解析 由题意可知，A={0<号} x∈R}不是数域，D选项错误. 答案C 当B=时，≥子，满足BCA: (2)解析对于A,因为A④B=B,所以B={xx∈AUB,x庄A∩B}, 所以A二B,且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A=⑦，即 当B≠②时，因为B二A,所以0≤a<2: A正确： 对于B,因为A①B=心，所以⑦={xx∈AUB,x庄A∩B}, 综上，实数a的取值范围是[0，十). 即AUB与A∩B是相同的，所以A=B,即B正确： 答案[0，十o) 跟踪训练2(1)BC[因为AUB=A,所以B二A,所以CA≤CB.] 对于C,因为A①B二A,所以{xx∈AUB,x庄A∩B}二A, 所以B二A,当A≠B时，A二B不成立，即C错误； (2B[因为集合A={2>0}(-,0U(2,+, 对于D,由于(CRA)①(CRB)={x|x∈(CRA)U(CRB), B={a},A∩B=O,所以a∈[0,2.故选B.] x在(CRA)∩(CRB)} [例3】1解析依题意，集合A={-1长≤}，B=> ={xx∈CR(A∩B),xECR(AUB)} ={x|x∈AUB,x任A∩B}, 0},则AUB={xx≥一1}，故题图中阴影部分表示的集合为： 而A④B={xx∈AUB,x年A∩B},故A①B=(CRA)⊕(CRB), CU(AUB)=(x<-1. 即D错误. 答案B 答案AB 389第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.1集 合 【课标要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的 包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的 具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算. 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材》》 1.集合与元素 :3.集合的基本运算 (1)集合中元素的三个特性： 表示 集合语言 图形语言 记法 运算 (2)元素与集合的关系是 或 用符号 或 表示 并集 (3)集合的表示法： 交集 (4)常见数集的记法 非负整数 正整 有理 补集 A 集合 集（或自 整数集 实数集 , 数集 数集 然数集) 4.集合的运算性质 符号 N'(或N+) (1)A∩A=A,A∩0=0，A∩B=B∩A. (2)AUA=A,AUO=A,AUB=BUA. 2.集合的基本关系 (3)A(CDA)=,AU(CUA)=U.CU(CUA) (1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合 =A. A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集 【自主诊断】 合A为集合B的子集，记作 (或B2 ;1,判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√/”或 A). “X”) (2)真子集：如果集合A二B,但存在元素x∈B, (1)集合{x∈Nx3=x},用列举法表示为{-1， 且x￠A,就称集合A是集合B的真子集，记作 0,1}. () (或B吴A). (2){xly=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)| (3)相等：若A二B,且 ,则A=B. y=x2+1. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 (3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1.() 0.空集是 的子集，是 的 (4)对任意集合A,B,都有(A∩B)二(AUB). 真子集 () 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 2.(2025·全国Ⅱ卷，3,5分，易)已知集合A=:【微点提醒】 {-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B= :1.掌握有限集子集个数的结论 ( 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个， A.{0,1,2y B.{1,2,8} 真子集有(2”一1)个，非空子集有(2”一1)个，非 C.{2,8) D.{0,1 空真子集有(2”一2)个. 3.(2026·湖南长沙雅礼中学月考（六）)设集合 2.灵活应用两个常用性质 P=yly=e+1),M=xly=log2 (x-2)), (1)Cu(AB)=(CUA)U(GUB). (2)Co(AUB)=(CUA)(CUB). 集合M与集合P的关系是 3.牢记两个注意点 A.M=P B.P∈M (1)在应用条件AUB=B台A∩B=A台A二B时 C.MCP D.PCM 要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况 4.(2026·上海模拟)已知集合A= -} 优先进行讨论， B={xm+1≤x≤3m,m∈R},若AUB=A,则 (2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性， 实数m的取值范围是 特别是互异性对集合元素的限制. 口关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一集合的含义与表示 +/思维升华/++++++ [例1](1)（多选）下列各组中M,P表示不同集合 解决集合含义问题的关键点 的是 ( (1)确定集合中的代表元素. (2)确定元素的限制条件 A.M={3,-1},P={(3,-1)》 (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有 B.M={(3,1)},P={(1,3) 字母的问题时，一定要返回代入验证，防止】 C.M={yly=x2+1,x∈R},P={x|x=2+1, 与集合中元素的互异性相矛盾。 t∈R D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y= 跟踪训练1(1)已知集合A={一1，a2一2a十1， a一4}，若4∈A,则a的值可能为 () x2-1,x∈Ry A.-1,3 B.-1 (2)已知m∈R,n∈R,若集合{m,”l} ={m2, C.-1,3,8 D.-1,8 (2)已知a∈A且4-a∈A,a∈N且4-a∈N, m十n,0},则m2025十n2025的值为 则：若A有且只有2个元素，则满足条件的集合 A.-2 B.-1 A的个数是 C.1 D.2 题型二集合间的基本关系 [听课记录] [例2](1)(2025·全国I卷，2,5分，易)已知集 合U={xx是小于9的正整数}，A={1,3,5}, 则CuA中元素的个数为 ) A.0 B.3 C.5 D.8 精品教辅·智慧人生 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 (2已知集合A={女-<x-<}B= (2)(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M= {xlx=3k+1,k∈Z,N={x|x=3k+2,k∈Z}, {女a<r<}若BCA,则实数a的取值范围是 则Cu(MUN)等于 A.{xx=3k,k∈Z B.{xx=3k-1,k∈Z [听课记录] C.{xx=3k-2,k∈Z} D.☑ 听课记录] +/思维升华/+ (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关 系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造 命题点2 利用集合的运算求参数的值（范围） 成漏解. 例4] (1)(2025·山东齐鲁名校大联考)已知集 (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键 是将条件转化为元素或区间端点间的关系， 合A={>,B=ra若(GRAn 进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、 B=CRA,则a的取值范围是 () Venn图等来直观解决这类问题. A.[0,+∞) B.(0,+o∞) 跟踪训练2(1)（多选）已知I为全集，若AUB= C.(一o∞，-1) D.(-∞，-1] A,则 ( (2)设全集U=R,集合A={x|x2-(2m十1)x十 A.ACB B.BCA m2+m≤0}，B={x-2<x<2},若集合(CuA)∩ C.CACB D.CIB CIA B中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围是 (2)(2026·湖南长沙长郡中学月考（七）)集合 A={2>0}B=a,若BnA=.则a 听课记录] 可能是 A-司 C.3 D.- 题型三集合的基本运算 命题点1 集合的运算 +/思维升华/+ [例3](1)(2026·海南模拟) 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元 如图，已知全集U=R,集合 A○B 素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中 A={x|(2x-3)(x+1)≤ 的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注 0》,B={x|x>0},则图中阴影部分表示的集 意端点的情况： 合为 A.{xx≤-1》 命题点3集合的应用 B.{x|x<-1} 容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数 C{0或>} 过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑 重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再 D{lr<0或>} 将重复计算的数目排除出去， 3 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用： A.AUB=B card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如， B.CRB)UA=R A={a,b,c},则card(A)=3.容斥原理告诉我 C.A∩B={x|1<x≤2y 们，如果被计数的事物有A,B,C三类，那么， D.(CRB)U(CRA)={xlx≤1或x>2 card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C) (3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中 -card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+ 至少参加一科的：数学203人，物理179人，化 card(A∩B∩C). 学165人；至少参加两科的：数学、物理143 [例5](2026·广东东莞月考)今年高二(1)班的 人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科 同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试， 都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人 每科满分为100分.考试成绩非常优秀，每个同 数是 学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90：【微拓展】 分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这 集合中的创新问题 两科均在90分以上的有40人，则高二(1)班共 数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为 有 个同学。 ):背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个 A.45 B.48 热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为 C.53 D.43 途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理 解问题、解决创新问题的能力. [听课记录 [典例](1)设A是一个数集，且至少含有两个数， 若对任意a,b∈A,都有a十b,a-b,ab,公∈A(除数 b≠0)，则称A是一个数域，则下列集合为数域的是 +/思维升华/+++++++++++++ ( 在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通 A.N B.Z 过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠 C.Q D.{xx≠0，x∈Ry 或包含关系的问题，确保计算结果的准 (2)(多选)(2026·泰州模拟)对任意A,B二R, 确性 记A⊕B={xx∈AUB,xA∩B},并称A⊕B 为集合A,B的对称差.例如：若A={1,2,3}, 跟踪训练3(1)(2026·江苏徐州调研)已知 B={2,3,4},则A⊕B={1,4冫.下列命题中，为 A={1,2}B={xax+1=0,若AnB=B, 真命题的是 () A.若A,B二R且A①B=B,则A=☑ 则实数a的取值构成的集合是 A.{-1,2 B.{-2,1} B.若A,B二R且A⊕B=O,则A=B :C.若A,BCR且A⊕BCA,则A二B C.{-2,0,1》 D.{-1,0,2} D.存在A,B二R,使得A⊕B≠CRA⊕CRB (2)(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0}， B={x|1<x≤3}，则下列判断正确的是( 温馨提示 请做课时分层检测（一） 精品教辅·智慧人生