1.1 集合-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 §1.1集合 ★[考试要求] 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和 相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同 的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 3.集合的基本运算 1.集合与元素 表示 (1)集合中元素的三个特性： 集合语言 图形语言 记法 运算 (2)元素与集合的关系是 ,用符号 或 表示 并集 (3)集合的表示法： (4)常见数集的记法 交集 非负整数集 正整 有理 集合 整数集 实数集 (或自然数集) 数集 数集 补集 N*(或 符号 R N+) 2.集合的基本关系 知识拓展用活 (1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集 1.交集与并集的转化 合A中 都是集合B (CvA)(CuB)=Co(AUB),CoA)U 中的元素，就称集合A为集合B的子集， (CB)=C(A∩B). 记作 (或B口A) 2.子集个数 (2)真子集：如果集合A二B,但存在元素x∈B, 若有限集A中有n个元素，则集合A的子 且 ,就称集合A是集合B的真子 集个数为2”，真子集的个数为2”一1，非空 集，记作 (或B星A) 真子集的个数为2”一2. (3)相等：若A二B,且 ,则A=B. 3.元素个数 (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记 用card(A)表示有限集合A中元素的个数. 为.空集是 的子集，是 对任意两个有限集合A,B,有card(AUB) 的真子集 =card(A)++card(B)-card(AB). 高考总复习 数学 自主诊断查验 A.[-1,4] B.(0,3] 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” C.(-1,0U(1,4] D.[-1,0]U(1,4 或“×”) 3.(2025·全国一卷)已知全集U={x|x是小 (1)集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为 于9的正整数}，集合A={1,3,5},则CA {-1,0,1}. ( 中元素的个数为 (2){xy=x2+1}={yy=x2+1}={(x,y)|y A.0 B.3 C.5 D.8 =x2+1}. 4.[多选]已知集合A,B均为R的子集，若A (3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1.( ∩B=,则 () (4)对任意集合A,B,有(A∩B)二(AUB). A.A∈CRB ( B.CRA∈B 2.已知集合A={x|x2-2x一3≤0}，B={x|0 C.AUB=R <x≤4}，则AUB= D.CRA)U(CRB)=R 跃升>关健能力 核心考点分类突破 题型1 集合的含义与表示 跟踪训练 例1] (1)[多选]下列各组中M,P表示不 1.已知集合U={(x,y)|x2+y2≤1，x∈Z, y∈Z},则集合U中的元素的个数为( 同集合的是 A.3 B.4 C.5 D.6 A.M={3,-1},P={(3,-1)》 2.已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A, B.M={(3,1)},P={(1,3)} 则a= C.M=(yly=x2+1,xER),P=(zIx= 题型2 集合间的基本关系 t2+1,t∈R》 [例2] (1)已知集合A={x|y=ln(x+3)}, D.M=(yly=x2-1,zER),P={(z,y)ly B={xx≥2}，则下列结论正确的是() =x2-1,x∈R} A.A=B B.A∩B=☑ (2)已知ab∈R,若{知=aa+b,0 C.A∈B D.BCA (2)已知集合A={x2x-1>5},B={x|(x 则a2027十b027 -a)(x-a十1)≥0}，若AUB=R,则a的 取值范围是 ( 规律方法 A.[4,+o∞) B.[3,+∞) 解决集合概念问题的一般思路 C.(-∞，4] D.(-∞，3] (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表 规律方法 元素，然后再看元素的限制条件，当集合 根据两集合的关系求参数的方法 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关 用描述法表示时，注意弄清其元素表示 系时，必须优先考虑空集的情况，否则会 的意义是什么. 造成漏解， (2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合 (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键 中含有字母的问题时，一定要返回代入 是将条件转化为元素或区间端点间的关 验证，防止与集合中元素的互异性相 系，进而转化为参数所满足的关系，常用 矛盾 数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 日跟踪训练 [角度3]集合中数学模型的构造与应用 1.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}, [例3一3]某中学的学生积极参加体育锻 若A二B,则a 炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳， 60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游 A.2 B.1 泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生 c号 D.-1 数占该校学生总数的比例是 2.已知集合A={x(x+1)(x-6)≤0}，B= A.62% B.56% {xlm一1≤x≤2m+1}.若B二A,则实数m C.46% D.42% 的取值范围为 规律方法 集合的基本运算的关注点 题型3〔 集合的基本运算 (1)看元素组成.从研究集合中元素的构成 [角度1]集合的交集、并、补运算 入手是解决集合运算问题的前提， [例3一1](1)(2025·全国二卷)已知集合 (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究 A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则 其关系并进行运算，可使问题简单明了， A∩B= 易于解决 A.{0,1,2} B.{1,2,8} (3)注意数形结合的应用，常用的数形结合 C.{2,8} D.{0,1} 形式有数轴、坐标系和Venn图， (2)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3, 日跟踪训练 4,5},集合A={1,3},B={2,3,5,则 1.[多选]已知集合A={x|x2一2x>0},B= C(AUB)= ( {x1<x<3},则 () A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} A.(CRA)UB={x|0≤x<3} C.{2,4} D.{4} B.(CRA)∩B={x|1<x<2} [角度2]利用集合的运算求参数 C.A∩B={x|2<x<3} D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集 T例3一2](1)[多选]已知A={x|x2+x一6 2.若集合A={x|-1<x<2},B={x|-2< =0},B={x|mx+1=0},且AUB=A,则 x<a},若A二B,则实数a的取值范围是 m的值可能为 () A B背 A.（-2,1) B.(-1,2) C.[1,+∞) D.[2,+o∞) C.0 D.- 3.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外 (2)设集合A={x|x<a2},B={x|x>a}, 探究小组，每名同学至多参加两个小组，已 若A∩(CRB)=A,则实数a的取值范围为 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6 人，同时参加物理和化学小组的有4人，则 A.[0,1] 同时参加数学和化学小组的有 人 B.[0,1) C温馨提 C.(0,1) 学习至此，请完成配套训练讠 课时冲关1 D.(-∞，0]U[1,+∞) ·3 高考总复习数学 培优拓展1 集合的新定义问题 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的 热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某 种推理证明，或在新的运算法则下进行运算.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类 型.解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目 中的条件，设法进行套用. [典例]已知集合A1,A2满足A={xx∈A1, (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用 或x∈A2},则称A1,A2为集合A的一种分 列举法或描述法写出所求集合中的所有 拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A,A2)与 元素 (A2,A)为集合A的同一种分拆，则集合A !跟踪训练 {1,2,3}的不同分拆的种数是 A.27 B.26 C.9 D.8 [多选]定义一个集合A的所有子集组成的 名师点拨 集合叫做集合A的幂集，记为P(A),用 集合新定义问题的“3定” n(A)表示有限集A的元素个数，给出下列 (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利 命题，其中正确的命题是 () 用列举法写出所有元素， A.存在集合A,使得nLP(A)]=5 (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求 B.若A二B,则P(A)二P(B 解集合的运算问题转化为集合的交集、 C.若A∩B=必，则P(A)∩P(B)= 并集与补集的基本运算问题，或转化为 D.若n(A)-n(B)=2,则n[P(A)]=4×n 数的有关运算问题. [P(B)] §1.2 常用逻辑用语 ★[考试要求] 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、 数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.全称量词与存在量词 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑 中通常叫做全称量词，并用符号“”表示 若→q,则p是q的 条件，q是p的 条件 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在 逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“” p是q的 条件 p→q且qPp 表示 3.全称量词命题和存在量词命题 p是q的 条件 ppq且q→p 名称 全称量词命题 存在量词命题 对M中任意一个x, 存在M中的元素 p是q的 条件 p台q 结构 (x)成立 x,使(x)成立 简记 p是g的 条件p羚g且qPp 否定学习讲义 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.1集合 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)确定性互异性无序性(2)属于不属于∈任 (3)列举法描述法图示法2.(1)任意一个元素A二B (2)x￠AAB(3)B二A(4)任何集合任何非空集合 3.{xx∈A,或x∈B}AUB{xx∈A,且x∈B} A∩B{xx∈U,且x庄A}C,A 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.A[A={xx2-2x-3≤0}={x-1≤x≤3， 故AUB=[-1,4].] 3.C[8-3=5,选C.] 4.AD[如图所示，根据图象可 R 得A二CRB,故A正确；由于 B≤CRA,故B错误；AUBCR, 故C错误，(CRA)U(CRB)= CR(A∩B)=R.] 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]选项A中，M={3,-1}是数集， P={(3,一1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P; 选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P: 选项C中，M={yy=x2+1,x∈R}=[1,+o∞)， P={xx=t+1,t∈R}=[1,十oo),故M=P; 选项D中，M是二次函数y=x一1，x∈R的所有y组 成的集合，而集合P是二次函数y=x2一1，x∈R图象上 所有点组成的集合，故M≠P. [答案]ABD (2)[解析]由已知得a≠0，则b=0,所以b=0, 于是a2=1,即a=1或a=-1, 又由集合中元素的互异性知a=1应舍去，故a =-1,所以a2021十b22r=(-1)2027+02027=-1. 「答案]一1 跟踪训练 1.C[当x=-1时，y=0;当x=0时，y=-1,0,1: 当x=1时，y=0.所以U={(-1,0),(0,-1),(0,0), (0,1),(1,0)},共有5个元素.] 2.解析：因为-3∈A,所以-3=a2十4a或-3=a-2. 若-3=a2十4a,解得a=-1或a=-3. 当a=-1时，a2十4a=a-2=-3,不满足集合中元素的 互异性，故舍去； 当a=一3时，集合A={12,一3，一5}，满足题意，故a= 一3成立. 若一3=a一2，解得a=一1，由上述讨论可知，不满足题 意，故舍去. 综上所述，a=一3. 答案：一3 题型2 [例2](1)[解析]因为A={xx>一3}，B={xx≥ 2},结合数轴可得：B二A. [答案]D (2)[解析由题意可得A={xx>3}, B=[a,+o∞)U(-o∞，a-1]. 因为AUB=R,所以a一1≥3，即a≥4. [答案]A 跟踪训练 1.B[因为A二B,若a-2=0,解得a=2,此时A={0,-2}, B={1,0,2},不符合题意；若2a一2=0，解得a=1,此时 A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意；若一a=1,解得 ·36 参考答案 参考答案 a=-1,此时A={0,1},B={1,-3,-4,不符合题意； 若-a=a-2,解得a=1,符合题意；若一a=2a-2,解得 Q=号，不符合题意：综上所追，a=1.] 2.解析：A={x一1x6,若B二A,则当B=⑦时， 有m-1>2m十1，即m<-2,符合题意；当B≠时， /m-1≤2m+1, 有m-1>二1，解得0≤m≤是.综上，实教m的取 (2m十16， 值范同是{mm<-2,或0≤m≤受} 答案{m<-2,或0≤m≤号} 题型3 [例3一1](1)[解析]x=x,即x2一x=0,所以x(x十 1)(x一1)=0，解得x=0,一1或1，即B={0,1,-1},所 以A∩B={0,1. [答案]D (2)汇解析]本题考查集合运算A={1,3,B={2,3, 5},AUB={1,2,3,5} ∴.C(AUB)={4. [答案]D [例3-2](1)[解析]由题意知A={xx2十x-6=0}, 由x2十x-6=0,解得x=2或x=-3, 所以A={2,-3}, 因为AUB=A,所以B三A, 当B=财时，m=0,满足题意； 当B时时，B{} -1=2或-1=-3， 解得m=一之或m=行 1 综上，m=0或-合或号 [答案]BCD (2)[解析]因为B={xx>a, 所以CRB={xx≤a}, 又A∩(CgB)=A,所以A∈CRB, 又A={xx<a2},所以a≤a, 解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1]. [答案]A [例3一3][解析]用Venn图表示该中学喜欢足球和游 泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢 游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则(60%一x)十 (82%一x)十x=96%,解得x=46%. 足球 游泳 60%-x 82%-x [答案] C 跟踪训练 1.ACD[由x2-2x>0,得x<0或x>2, 所以A={xx<0或x>2}, 所以CRA={x0≤x≤2}， 对于A,因为B={x1<x<3}, 所以(CRA)UB={x0≤x<3},所以A正确； 对于B,因为B={x1<x<3, 所以(CRA)∩B={x1<x≤2}，所以B错误； 高考总复习数学 对于C,因为A={xx<0或x>2},B={x1<x<3}, 所以A∩B={x2<x<3,所以C正确； 对于D,因为A∩B={x2<x<3}, 所以A∩B是{x2<x<5}的真子集，所以D正确.] 2.D[集合A={x-1<x<2,B={x-2<x<a} 若A二B则2≤a,即a的取值范围是[2，十o∞).] 3.解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别 为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人，由题意 可得如图所示的Venn图. (26-6-x) A数学 ◇ (15-4-6) C化学 物理 (13-4-) 由全班共36名同学可得(26-6-x)+6十(15-4一6) 十4十(13-4-x)+x=36, 解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人 答案：8 培优拓展1集合的新定义问题 [典例][解析]①当A=时，A2={1,2,3},只有1种 分拆； ②当A1是单元素集合时（有三种可能），则A2必须包含 除该元素之外的两个元素，也可能包含三个元素，有2种 情况（如A1={1}时，A2={2,3}或A2={1,2,3}),所以 当A1是单元素集合时有6种分拆； ③当A1是含两个元素的集合时（有三种可能），则A,必 须包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含 A1中的一个或两个元素，有4种情况（如A1={1,2}时， A2={3}或A2={1,3}或A2={2,3}或A2={1,2,3}), 所以当A1是含两个元素的集合时有12种分拆； ④当A1是含三个元素的集合时（只有一种可能），则 A,可能含零个、一个、两个或三个元素，有2种情况（即 A1={1,2,3}时，A2可以是集合{1,2,3}的任意一个子集)， 所以当A是含三个元素的集合时，有2=8种分拆. 故集合A={1,2,3}的不同分拆的种数是1十6十12十8 =27. 「答案1A 跟踪训练 BD[对于A,设n(A)=m,则A的子集个数为2m, 故n[P(A)]=2”,显然2"=5无非负整数解，故A错误； 对于B,若A二B,则A的所有子集都是B的子集， 故P(A)二P(B),故B正确； 对于C,若A∩B=必，则A,B的公共子集只有空集心， 故P(A)∩P(B)={⑦}，故C错误； 对于D,若n(A)一n(B)=2,不妨设n(A)=m, 则n(B)=m一2， .n[P(A)]=2m,n[P(B)]=2m-2, 显然n[P(A)]=4Xn[P(B)],故D正确.] §1.2常用逻辑用语 复盘·必备知识必备知识掌握 1.充分必要充分不必要必要不充分充要 既不充分也不必要2.(1)V(2)33.Hx∈M,p(x) 3x∈M,(x)3x∈M,p(z)Hx∈M,p(x) 自主诊断查验 1.(1)/(2)/(3)×(4)/ ·36 2.AC[A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命 题，且为真命题；B选项中，“都”是全称量词，它是全称量 词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题： C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命 题；D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题.] 3.C[若ab,则x(x十1)十2x=0, 即x2十3x=0,解得x=0或x=一3， ∴.A错，C对；若a∥b,则2(x十1)-x2=0, 即x2-2x-2=0,解得x=1土√5，故B、D错.] 4.B[由题意得，{xx≥2}是{xx≥a}的真子集， 故a<2.门 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析门因为y=x在定义域R上单调递增， 由a<b可得a<b, 因为y=2026在定义域R上单调递增，由2026“< 2026<1可得a<b<0, 所以由a<b推不出2026<2026<1，即充分性不 成立； 由2026<2026<1推出a<b,即必要性成立； 所以“ab”是“2026<2026<1”成立的必要不充分 条件. [答案]B (2)[解析门已知A,B为两个等高的几何体，由祖啪原 理知q→p,而p不能推出q,可举反例，两个相同的圆 锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相 等，但在同一高处的裁面积不相等，则力是q的必要不 充分条件 [答案]C 跟踪训练 1∠x<3 1.C[2x2-5x-3<0,- 观察四个选项可知（合3）是(-1,3）的真子桑，故 “-1<x<3”是“不等式2x2-5x-3<0”成立的一个必 要不充分条件.] 2.A[由x=0→sin2x=sin0=0,由sin2x=0→2x= km,x=经，k∈Z不一定为x=0 ∴.sin2x=0Px=0 .x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 题型2 [例2](1)[解析]命题“Vx∈[1,2]，x2-a≤0”为真命 题，可化为“Vx∈[1,2]，a≥x2”恒成立，即只需 a≥(x2)ms=4,即“Hx∈[1,2]，x2-a≤0”为真命题的 充要条件为α≥4，而要找的是一个充分不必要条件，即 为集合{aa≥4}的真子集，由选项可知C符合题意. [答案]C (2)[解析]由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10， 故P={x-2x10, 由x∈P是x∈S的必要条件，知S二P. 1-m≤1十m, 则{1-m≥-2，∴.0≤m≤3. (1十m≤10， ,当0m3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]. [答案][0,3] 跟踪训练 1.A[因为q:x十2a<3, 所以q:-2a-3<x<-2a十3， 记A={x-2a-3<x<-2a十3}， 2