第5章分式与分式方 假期自主巩固提升训练题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以分式概念为起点，通过分离常数法、倒数法等方法提炼，构建从性质运算到方程应用的递进逻辑，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1|分式定义判断|从整式与分式的区别切入，强化抽象能力| |性质应用|单选2、填空9|分式性质、分离常数法|结合分式变形规则，推导参数取值规律| |运算求解|解答15、16|分式乘除、化简求值|以通分和约分为核心，提升运算能力| |方程综合|单选4、解答17|去分母法、增根分析|从方程求解到无解条件，培养推理意识| |实际应用|单选6、7、解答14、18、20|加权平均、分式建模|联系生活情境，发展模型意识与应用能力|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》 假期自主巩固提升训练题（附答案） 一、单选题 1．下列各式：，，，，其中是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 4．解分式方程，去分母后的结果是（    ） A． B． C． D． 5．定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．在2026年米兰-科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播．据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这天该赛事的日均收看人数是（   ） A．万 B．万 C．万 D．万 7．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若函数有意义，则x的取值范围是________． 9．当正整数________时，分式的值也为整数． 10．已知，则______． 11．关于的分式方程的解为，则的值为_____． 12．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 13．一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有______个． 14．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 三、解答题 15．化简： (1)； (2)； (3)． 16．先化简，再求代数式的值，其中． 17．已知关于x的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程无解，求a的值． 18．甲乙两人去超市都买了两次大米，第一次大米单价为a元/千克，第二次大米单价为b元/千克．甲每次买100千克大米，乙每次买100元的大米．（a不等于b）那么甲乙两人谁的购买方式更优惠？ 19．阅读下列解题过程： 已知，求的值 解：由，知，所以，即， 的值为2的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”，请你用“倒数法”解答下面问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 20．【综合与实践】某校综合与实践活动中，某学生小组对两款售价相同的汽车展开了调研，调研结果如下表所示： 燃油车 新能源汽车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 充电电价：元/千瓦时 行驶里程：千米 行驶里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：______元 (1)新能源车的每千米行驶费用是______元；（用含的代数式表示） (2)根据调研数据了解，新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的，请求出以及这两款车的每千米行驶费用； (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用比燃油车年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 参考答案 1．A 【分析】根据分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式，注意是常数不是字母． 【详解】解：根据分式的定义逐一判断： ∵是常数，∴的分母不含字母，是整式； 的分母是常数，不含字母，是整式； 的分母是常数，不含字母，是整式； 中含有分母为字母的分式，因此该式是分式， 综上，只有个分式，故选：A． 2．C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 3．A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 4．B 【分析】先将互为相反数的分母变形，再将方程两边同乘最简公分母，即可得到去分母后的结果． 【详解】解：原方程为可变形为， ∵方程的最简公分母为， ∴方程两边同时乘以，去分母得． 5．D 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 6．C 【分析】本题考查加权平均数的计算，解题思路为先求出天的总收看人数，再用总收看人数除以总天数，即可得到日均收看人数。 【详解】∵前天日均收看人数为万 ∴前天总收看人数为万 ∵后天日均收看人数为万 ∴后天总收看人数为万 可得天总收看人数为万，总天数为天 ∴这天的日均收看人数为 万． 7．B 【分析】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【详解】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 8． 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为0列不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：若函数有意义，需满足 解得， 因此的取值范围是． 9．1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 10． 【分析】本题主要考查分式的运算，牢记异分母分式加减的运算性质（异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 11．2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 12．且 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且． 13．8 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，分式方程的应用，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中白球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中白球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中白球约有8个， 故答案为：8． 14．400 【分析】设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹，根据时间差关系列分式方程求解，最后检验方程的解即可. 【详解】解：设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹． 根据题意，得 去分母，得 合并同类项，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 16．； 【分析】先对分母进行完全平方公式因式分解，再对括号内进行通分后，将除法转化为乘法后，约分化简，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17．(1) (2) 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）分式方程化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为． 去分母，得， 解得． 检验：当时，， 是原分式方程的解． （2）解：去分母，得， 解得． ∵该分式方程无解， ，即， ，解得． 【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． 18．乙的购买方式更优惠 【分析】可求甲两次购买大米的费用为（）元，乙两次购买大米的费用为（元），设甲两次购买大米的平均单价为每千克元，乙两次购买大米的平均单价为每千克元，则，，判断的结果，即可求解． 【详解】解：甲两次购买大米的费用为（）元， 乙两次购买大米的费用为（元）， 设甲两次购买大米的平均单价为每千克元，乙两次购买大米的平均单价为每千克元， 则， ， ， ， ， ， 故乙的购买方式更优惠． 【点睛】本题考查了分式的实际应用，作出法比较大小，根据题意列出分式，掌握比较大小方法是解题的关键． 19．(1) (2)1 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则． （1）同样将已知等式变形求出的值，原式变形后，将的值代入计算即可． （2）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，知 ∴，即 ∴ 故的值为21的倒数，即为 （2）解：依题意，∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴． 20．(1)或 (2)，燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； (3)当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【分析】（1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式即可； （2）根据新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的，列出分式方程，求解即可； （3）设每年行驶里程为，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用是或； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 学科网（北京）股份有限公司 $