第5章分式与分式方程 单元同步自主提升训练题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册《分式与分式方程》单元同步练，通过基础、中档、提升三层设计，覆盖分式概念到方程应用全知识点，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分式概念与性质|单选1（分式识别）、填空8（值为零）强化概念辨析，夯实抽象能力| |中档|运算与简单应用|单选4（工程问题）、填空14（资料购买）训练运算与建模，提升应用意识| |提升|综合探究与实际问题|解答18（规律探究）、20（运输方案）融合推理与优化，发展理性思维|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》 单元同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．在式子，，，，，，中，分式的个数是（    ） A． B． C． D． 2．若，的值均扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 5．对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 6．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 7．熊猫绿道起于都江堰市环山路玉堂街道，止于青城山镇，总长10km．甲、乙两人从绿道起点出发，沿着绿道徒步．已知甲每小时徒步km，乙每小时徒步km，他们各自走到绿道终点，甲所用的时间比乙多半小时，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．如果分式的值为零，那么_________． 9．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 10．不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 11．若，则的值为________． 12．并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足＋，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 13．已知，，其中m、n均为实数，则______． 14．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，则所列方程是________． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 17．已知关于x的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程无解，求a的值． 18．用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 19．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 20．下面是刘星学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 今年，某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有400吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多8吨，每辆大货车运完120吨柑橘的次数与每辆小货车运完80吨柑橘的次数相同．大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设⋯⋯ 等量关系：大货车运输120吨柑橘的次数与小货车运输80吨柑橘的次数相同． 解法二 设⋯⋯ 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的表示________（填序号），解法二所列方程中的表示________（填序号）； ①小货车每辆每次运输吨 ②大货车每辆每次运输吨 ③一辆大货车运输完120吨需次 (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 参考答案 1．解：分母含字母a，是分式； 中是常数，分母不含字母，是整式； 分母是常数，是整式； 分母含字母x，是分式； 分母均为常数，是整式； 分母含字母x，是分式； 分母含字母x，是分式， 综上，分式一共有4个，即选项B符合题意． 2．解：A选项：，的值均扩大为原来的倍， 可得新分式为， ， 分式的值改变， 故A选项不符合题意； 选项B，新分式为， 分式的值改变， 故B选项不符合题意； 选项C，新分式为， 分式的值改变， 故C选项不符合题意； 选项D，新分式为，和原分式相等， 分式的值保持不变， 故D选项符合题意； 故选：D. 3．解：A、的分子不含因式，无法约分为，则，变形错误； B、，变形正确； C、的分子、分母没有同时乘同一个不为的整式，，变形错误； D、分式分子、分母同时加不符合分式基本性质，，变形错误． 故选：B 4．解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 5．解：∵规定非零实数a，b满足， ∴， 由题意得， 移项得， 两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， 检验：当时，，所以是原方程的解． 6．解：方程为， 变形得， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程的分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数， ∴，即，解得， 综上，实数m的取值范围是且． 7．解：∵总路程为，甲的速度为，乙的速度为， ∴甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， ∵甲所用的时间比乙多半小时，半小时为小时， ∴， ∴选A． 8．解：∵分式的值为零， ∴且， 解得： 9．解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 10．解：分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 11．解： ； 当时，原式． 12．解：∵， ∴， 根据异分母分式减法法则通分计算得：， 对等式两边取倒数得：． 13．解：，， ，， ，， ， ． 14．解：设第一次买了本资料， 由题意可知，第二次购买资料的数量为本， 根据单价等于总价除以数量，可得第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元， ∵第二次每本优惠4元，即第一次单价比第二次单价多4元， ∴列方程得：． 15．（1）解：（1）原式      ； （2）解：原式 ． 16．解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 17．（1）解：当时，原分式方程为． 去分母，得， 解得． 检验：当时，， 是原分式方程的解． （2）解：去分母，得， 解得． ∵该分式方程无解， ，即， ，解得． 18．（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． 19．（1）解：由题意得，完成这张祝福贺卡，方式一需要小时，方式二需要小时， 故答案为：，； （2）解：， ∵，，，， ∴，， ∴， 即， ∴方式二更省时． 20．（1）解：设小货车每辆每次运输吨，则大货车每辆每次运输吨， 根据题意，得； 设一辆大货车运输完120吨需次， 根据题意，得， 故答案为：①，③； （2）解：解法一： 方程两边同乘，得， 解得，检验，当时，， 所以为原分式方程的解，且符合题意，（吨）， ∴大货车每辆每次运输柑橘24吨，小货车每辆每次运输柑橘16吨； 解法二： 方程两边同乘，得， 解得， 检验，当时，， 所以为原分式方程的解，且符合题意， （吨），（吨）， ∴大货车每辆每次运输柑橘24吨，小货车每辆每次运输柑橘16吨； （3）解：设安排辆小货车，则安排辆大货车． 根据题意，得， 解得． ，为整数，， 的最小值为7． 答：至少需要安排7辆小货车． 学科网（北京）股份有限公司 $