第6章平行四边形 假期自主巩固提升训练题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形判定与性质，整合三角形、坐标等知识，通过基础辨析、性质应用、综合探究分层训练，渗透逻辑推理与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定与性质|单选1-5、填空8-9（7题）|考查边/角/对角线判定、内角计算、坐标对称|从判定定理到性质应用，构建概念生成链条| |性质综合应用|单选6-7、填空10-13（6题）|结合翻折/中位线/角平分线，涉及角度、长度计算|性质与三角形、轴对称等知识交叉，体现推导过程| |动态与探究|填空14、解答15-20（7题）|含动态点、作图、多问证明，渗透模型思想|从静态应用到动态探究，培养推理意识与创新意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第6章平行四边形》 假期自主巩固提升训练题（附答案） 一、单选题 1．四边形的对角线相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知平行四边形，，则（   ） A． B． C． D． 3．如果平行四边形的一条边长是10，那么下列各组数中，可作为这个平行四边形的两条对角线长是（   ） A．12和8 B．13和6 C．28和6 D．20和6 4．如图，四边形是平行四边形，对角线交于点是的中点，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，点在边上，将平行四边形沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D．2 7．如图，在四边形中，对角线，交于点O．，，M，N分别为，的中点，连接分别交，于G，H，延长至点E，使得，连接．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 9．如图，在中，点、分别为、的中点．若，则的度数为_____． 10．平行四边形中，，，的平分线交于，则_____． 11．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则______° 12．如图，在Rt中，，，，是平面内一点，且．点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_____． 13．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 14．如图，点P是平行四边形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F连接．若，则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题 15．请结合图形的性质，仅用无刻度的直尺作图并保留作图痕迹，不写作法． (1)如图所示，在 中，点是的中点，作的中点； (2)如图所示，四边形是平行四边形，在边上找一点，使得． 16．如图，已知平行四边形，点分别在上，连接． (1)请选择下面的条件或条件，求证：四边形是平行四边形． 条件：分别是的中点； 条件：． (2)若平分，且，求平行四边形的周长． 17．如图，四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别在上，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是平行四边形． 18．如图，在中，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①_______，_______，（用含的式子表示） ②求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当_______时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 19．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与相交于点． (1)，求平行四边形其他各个内角的度数． (2)若，周长为，求各边的长； (3)求证：； (4)若，求的面积． 20．【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 参考答案 1．C 【分析】根据平行四边形的判定定理，结合平行线的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：A选项：，仅能说明一组对边平行，该四边形可以是直角梯形，不能判定为平行四边形，故A错误． B选项：，该四边形可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，故B错误． C选项：∵ ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴，四边形两组对边分别平行， 因此四边形是平行四边形，故C正确． D选项：，，不满足对角线互相平分的条件，不能判定四边形是平行四边形，故D错误． 2．D 【分析】本题利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质求解，先根据已知条件求出的度数，再计算的度数即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．D 【分析】根据平行四边形的两条对角线互相平分和三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可． 【详解】解：平行四边形的两条对角线互相平分，即两条对角线的一半与平行四边形的一边可组成一个三角形， 设两条对角线长分别为x、y，则对角线的一半分别为、，平行四边形的一边长为10， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：、，将A、B、C、D4个选项代入，只有D成立，，，故选D． 4．D 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，由此可判定B正确，不符合题意；进而得到是的中位线，是的中位线，利用中位线性质以及平行线性质，可得，，由此判定A、C正确，不符合题意；由已知条件，无法判定，故D错误，符合题意． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，，故B正确， E是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，故A正确， ， ，故C正确，不符合题意， 由已知条件，不能得到，故不能判定，故D错误，符合题意． 5．A 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，且交点为原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数即可求解． 解题的关键在于掌握平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征． 【详解】解： 四边形是平行四边形，且对角线交点为原点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 6．A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ， ． 7．B 【分析】取的中点，连接，，与交于点，根据三角形的中位线定理，推出为等边三角形，得到，证明为等边三角形，得到，分别过作的平行线，过作的平行线，它们相交于点，连接，则四边形为平行四边形，推出为等边三角形，根据三角形的三边关系，以及大边对大角，判断C，D即可. 【详解】解：如图1，取的中点，连接，，与交于点，则，，，， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴，∴A正确，B错误； 如图2，分别过作的平行线，过作的平行线，它们相交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ，即为等边三角形， 在中，， ，∴C正确； ， ， ，∴D正确． 8．（或或或） 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 【详解】解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 9．/53度 【分析】根据三角形的中位线定理，可得，再根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：点、分别为、的中点， 是的中位线， ， ． 10．或 【分析】分两种情形分别计算，只要证明，，即可推出，由此即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵的平分线交于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 如图， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上：长为或． 11．/135度 【分析】根据等边对等角可得的度数，则由三角形外角的性质可得的度数，由平行四边形的对边相等，对角相等可得，则可证明，得到，求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．8 【分析】延长到，使，连接，，可得是的中位线，利用勾股定理可求出，根据三角形中位线的性质可得，利用三角形三边关系可得的最大值为，即可得出的最大值． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴点、、三点在一条直线上时，有最大值， ∴的最大值为， ∴线段的最大值为． 13．9.6 【分析】首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 14．6 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，过点P作，交于点M，于点N，过点P作于点G，根据平行四边形的判定与性质得出，，再根据直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作，交于点M，于点N，过点P作于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）连接、交于点，连接并延长交于点，可通过证明推得，从而可证四边形是平行四边形，连接、相交于点，连接并延长交于点，同理证得四边形是平行四边形，即可得，即点为的中点； （2）由（1）得点为中点，连接即可． 【详解】（1）解：如下图，点即为所求： （2）解：如下图，点即为所求： 16．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由平行四边形的判定与性质可得结论； （）由平行四边形的性质和角平分线的定义可求，然后通过周长公式即可求解． 【详解】（1）当选择时， 证明：四边形是平行四边形， ，， 分别是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形； 当选择时， 证明：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； （2）解： 平分， ， ， ， ， ， ， ，， 平行四边形的周长． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明； （2）可证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 18．(1)①，；②时，四边形是平行四边形 (2)或 【分析】（1）①由题意得，，结合，即可求解；②由，当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可； （2）分两种情况：当点、在线段上时，当点、在线段的延长线上时，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ， ； ② ，当时四边形是平行四边形，     ； （2）当点、在线段上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得； 当点、在线段的延长线上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形 则， ， 解得； 综上所述，当或时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 19．(1)；； (2) (3)见解析 (4)48 【分析】（1）根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质求解即可． （2）根据题意，得，解方程组求解即可； （3）证明即可； （4）根据勾股定理，得，结合的面积等于求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴，， ∴，， ∵， ∴，； （2）解：因为，周长为， 得， 解得， 故平行四边形的各边长为：； （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴，， ∴． ∵， 且 ∴． ∴． （4）解：∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为：． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理证明即可； （2）根据中位线定理证明即可； （3）连接，取中点，连接、，结合（1）（2）的结论证明为等腰直角三角形，进而解题． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）得， ∵是的中点，是的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴； （3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知， 由（2）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， 由（1）知， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $