第3章图形的平移与旋转 假期自主巩固提升训练题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以图形变换为核心，通过基础识别、坐标计算到综合探究的递进式训练，系统整合平移与旋转的概念、性质及应用，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念识别|单选1-2、填空8-10|平移/旋转定义辨析、对称图形判定|从生活现象（汽车移动）到数学概念（中心对称）的生成| |坐标变换|单选3、7、填空9|平移“右加左减”法则、旋转坐标循环规律|坐标与图形变换的对应关系推导| |性质应用|单选4-6、填空11-13|平移距离计算、旋转角转化、面积转化法|性质（对应边相等/旋转角相等）到量的计算的拓展| |综合探究|解答15-21|中心对称构造全等、旋转辅助线添加|从单一变换到组合变换（轴对称+旋转）的逻辑延伸|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第3章图形的平移与旋转》 假期自主巩固提升训练题（附答案） 一、单选题 1．下列各组图形，可以由一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（    ） A．B．C． D． 2．下列是几个城市地铁的标志图，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，将沿方向平移得到，若，，则平移的距离为（    ） A．19 B．17 C．15 D．13 5．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 9．在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______． 10．如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转_____，能与自身重合． 11．如图，将直角三角形沿方向平移3个单位长度得到三角形，，，则图中阴影部分的面积为___________． 12．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 13．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有____个． 14．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 三、解答题 15．如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 16．如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．    (1)求证：为等边三角形； (2)若，求证：． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为：、、． (1)画出先向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到的； (2)画出绕坐标原点逆时针旋转后得到的； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 18．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 19．如图1，已知点，将线段向右，向上平移后得线段（点的对应点是点，点的对应点是点，点的坐标是，点的坐标是． (1)___________，___________，四边形的面积是___________； (2)如图2，连接，交轴于点，求点的坐标； (3)点从点出发，向轴正半轴方向运动，点在线段上运动，连接．并直接写出与之间的数量关系． 20．通过研究平移、轴对称、旋转所获得的经验，我们结合相关实例，对两种组合变换进行探究． 【轴对称+平移】 (1)如图①，已知是关于直线l对称后，再沿着对称轴方向向下平移得到的图形，其中A与是对应点．请在图中画出，并写出该组合变换两条不同类型的性质． 【轴对称+旋转】 (2)如图②，有两个形状、大小都相同的三角形甲、乙，通过一次轴对称和一次旋转，可以使其中一个三角形与另一个重合，请画出示意图，并描述具体的变换过程． 【平移+旋转】 (3)如图③，是由向右平移n个单位长度后，再绕格点O逆时针旋转得到的图形．请写出一个符合条件的n值，并在图中标出旋转中心O． 21．在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 参考答案 1．A 【详解】解：选项A，图像大小形状都没有发生变化，属于平移，符合题意； 选项B，图形大小发生了变化，不是平移，不符合题意； 选项C、D，图像方向发生了变化，不是平移，不符合题意； 故选：A． 2．D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断，利用排除法求解． 【详解】解：A．∵该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴故本选项错误； B．∵该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴故本选项错误； C．∵该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴故本选项错误； D．∵该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，∴故本选项正确． 3．A 【分析】利用“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”的规则计算即可得到结果． 【详解】解：∵平面直角坐标系中点平移的规律为：向右平移时横坐标增大，向下平移时纵坐标减小， 已知平移前点，向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 4．D 【分析】由平移的性质可得，结合题干可计算出，进而计算出平移距离，即的长． 【详解】解：∵由平移得到， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平移的距离． 5．B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 6．A 【分析】由旋转的性质得，，，由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由旋转知，，，， ， ， ． 7．A 【分析】设旋转秒后，点的对应点为，作轴于点，作轴于点，证明，可得，同理可得旋转、、、秒后，点对应点的坐标，总结规律，即可得旋转秒后，点的对应点的坐标． 【详解】解：设旋转秒后，点的对应点为， 如图，作轴于点，作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 由此可得，点对应点的坐标按照，，，循环出现， 又∵， ∴旋转秒后，点的对应点的坐标为． 8． 平移 旋转 【分析】本题考查平移与旋转的认识，掌握知识点是解题的关键． 根据平移与旋转的定义，即可解答． 【详解】解：汽车在笔直的公路上移动属于平移现象，车轮运动属于旋转现象． 故答案为：平移，旋转． 9． 【分析】关于原点中心对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标为， ∴点关于原点中心对称的点的坐标是． 10． 【分析】本题考查利用旋转设计图案，根据图形的对称性质，用除以计算即可得解．理解旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵如图是一个正六边形雪花状饰品， ∴它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的旋转中心为正六边形的中心， ∴该图形绕着它的中心旋转的整数倍能与自身重合， 即它绕着它的中心至少旋转，能与自身重合． 故答案为：． 11．12 【分析】本题考查了平移的性质,求阴影部分的面积时，若阴影部分不是规则的几何图形，可以通过面积的和差关系，将阴影部分的面积转化为几个规则的几何图形面积的和或差．根据平移的性质得到，，，再根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】解∶由平移的性质，得，，， ∴，， ∴， 故答案为∶12． 12． 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 13．2 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成． 【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 14． 【分析】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．(1)与关于点D成中心对称 (2)8 【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． （1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称． （2）解：∵是的边的中点， ∴， ∴与为等底等高的三角形， ∴． 又∵与关于点成中心对称， ∴， ∴． 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，于是结论得证； （2）由旋转的性质可得，由等边三角形的性质可得，，进而可得，根据勾股定理可得，于是结论得证． 【详解】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点逆时针旋转得到， ， 由（1）可得：为等边三角形， ，， ， ， ， ，， ． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）根据网格结构找出、、平移后的对应点，顺次连接各点即可； （2）根据网格结构找出、、绕坐标原点逆时针旋转后的对应点，顺次连接各点即可； （3）作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，此时的值最小，写出坐标． 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示， （3）如图所示，作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，此时的值最小，． 18．(1)见详解 (2)小颖的结论正确，理由见详解． 【分析】（1）根据SAS证明，即可得到． （2）由可得又因为因此得根据AAS可得，则，再根据HL可得，则因此． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， 又 即 ∴ （2）解：小颖的结论正确，理由如下： 如图，过A点作于M，于N， ∵ 又 ∵ 又 ∴ 在和 中 ∴ ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，恰当的添加辅助线是解题的关键． 19．(1)2，4，8 (2) (3)当在线段上，；当在的延长线上， 【分析】（1）根据平移的性质进行求解； （2）利用面积之间的关系求出线段的长，即可得出坐标； （3）利用平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：由条件可知， ∴点的坐标是，点的坐标是． 则四边形的面积是 ， 故答案为：2，4，8； （2）解：设， 依题意，， 则 ； （3）解：当在线段上，过点作，如图所示： 由条件可知， ， ， ， ， ； 当在的延长线上，过点作，如图所示： 由条件可知， ， ， ， ， ， 综上：当在线段上，；当在的延长线上，． 20．(1)作图见解析；性质见解析（性质答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） (3)见解析（答案不唯一） 【分析】（1）先作A，B，C关于直线l的对称点，连接对称点作出图形，再将对称图形沿l向下平移，使A的对称点与已知重合，顺次连接得到；根据图象写出合理性质即可； （2）在两个三角形中间作一条对称轴，先将三角形甲作关于该对称轴的轴对称变换，再将得到的图形绕合适格点旋转，即可与三角形乙重合； （3）取合适的n值，找出旋转中心O即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 性质：①变换前后图形全等，对应边相等、对应角相等；②对应点连线被对称轴平分；（答案不唯一） （2）解：在两个三角形中间作一条对称轴，先将三角形甲作关于该对称轴的轴对称变换，再将得到的图形绕合适格点旋转，即可与三角形乙重合；（答案不唯一） （3）解：取，旋转中心O如图所示．（答案不唯一） 证明：如图，连接， ∵， ∴． 21．（1），证明见解析；（2）（1）中的结论成立，证明见解析 （3） 【分析】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：． 证明如下： 如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）解：（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴， ∵， ， 由（1）可知：， （3）解：∵，， ∴， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 学科网（北京）股份有限公司 $