专项巩固训练卷(5)图形旋转中的常见模型-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

专项巩固训练卷（五） 学到 图形旋转中的常见模型 模型一手拉手模型 1.已知C为线段AB上一点，分别以AC,BC为边在线段AB同侧作 △ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE 与BD交于点F. (1)如图①，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图②，若 ∠ACD=90°，则∠AFB=;如图③，若∠ACD=120°， 则∠AFB= ； (2)如图④，若∠ACD=ax,则∠AFB= (用含α的代数式 表示)； (3)将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少 在BD,AE中的一条线段上)，变成如图⑤所示的情形，若 ∠ACD=a,则∠AFB与α有何数量关系？并给予证明， 1题图① 1题图② 1题图③ 1题图④ 1题图⑤ 2.(辽宁本溪期中)【模型感知】两个顶角相等的等腰三角形，如果具 有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等 的三角形，那么把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形. (1)如图①，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE, 且∠BAC=∠DAE,则有△BAD≌ 【模型应用】在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=30°，D是直线BC 上一点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE, 连接CE. (2)如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD=2EC, (3)利用备用图研究：点D在直线BC上运动的过程中，当BD,CE 满足BD=号&C时，请直接写出∠ACE的大小 B C 2题图① 2题图② 2题备用图 数学·北师版·八年级·下册第15页 见此图标目园即刻扫码 分层训练助力学习进阶 模型二对角互补模型 3.综合探究 【问题背景】在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，且有∠DAB+ ∠B+∠BCD+∠D=360°，对角线AC平分∠BAD. 【初步感知】 (1)如图①，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD,AB与对 角线AC的数量关系并说明理由； 【深入研究】 (2)如图②，若将(1)中的条件“∠B=90”去掉，（1)中的结论是 否成立？请说明理由； 【拓展探究】 (3)如图③，若∠DAB=90°，探究边AD,AB与对角线AC的数量关 系并说明理由， D 3题图① 3题图② 3题图③ 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 4.某研究性学习小组在学习第三章第3节“简单的图案设计”时，发 现了一种特殊的四边形，如图①，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B+∠D=180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”.如何求 “等补四边形”的面积呢？ 【探究一】 (1)如图②，已知“等补四边形”ABCD,若∠A=90°，将“等补四边 形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如 图③).若BC=4cm,CD=2cm,则“等补四边形”的面积为 cm; 【探究二】 (2)如图④，已知“等补四边形”ABCD,若∠A=120°，将“等补四边 形”绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋 转120°，可以形成一个等边三角形（如图⑤）.若BC=6cm,CD =4cm,求“等补四边形”ABCD的面积； 【探究三】 (3)由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道 BC,CD的长度，就可以求它的面积.如图⑥，已知“等补四边 形”ABCD,AB=AD,∠B+∠D=180°，连接AC,若BC=m,CD =n,∠ACD=30°，试求“等补四边形”ABCD的面积（用含m,n 的代数式表示) B 4题图① 4题图② 4题图③ D B 4题图④ 4题图⑤ 4题图⑥ 。模型三半角模型 5.已知，在正方形ABCD中，∠MAW=45°，∠MAN绕点A顺时针旋 转，它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,连接 MN.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图①），易证BM+DW =MN. (1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图②），线段BM,DN 和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； (2)当∠MAN绕点A旋转到如图③示的位置时，线段BM,DN和 MW之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想， B M R M 5题图① 5题图② 5题图③ 数学·北师版·八年级·下册第16页 6.(1)如图①，等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离 分别为3,4,5，求∠APB的度数.为了解决本题，我们可以将 △ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP,这样 就可以利用旋转变换，将三条线段PA,PB,PC转化到一个三 角形中，从而求出∠APB= (2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：如图②，在 △ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E,F为BC上的点，且∠EAF =45°，判断BE,EF,FC之间的数量关系并证明； (3)如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°，点P 在Rt△ABC内部，连接AP,BP,CP,并且∠APB=∠BPC= ∠CPA=120°，请直接写出PA+PB+PC的值（提示：可通过旋 转变换，将三条线段PA,PB,PC转化到同一条直线上) E 6题图① 6题图② 6题图③全程时习测试卷·数学·北师版·八年级·下册 .CF⊥BD. 23题答图 (e)224 2 专项巩固训练卷（五） 图形旋转中的常见模型 1.解：(1)120°90°60° (2)180°-a (3)∠AFB=180°-a 证明：.·∠ACD=∠BCE=a, 则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, 即LACE=∠DCB. .AC=DC. 在△ACE和△DCB中，{∠ACE=∠DCB, CE =CB. .△ACE≌△DCB(SAS), ∴.∠CBD=∠CEA 由三角形内角和知LEFB=∠ECB=a, .∴.∠AFB=180°-∠EFB=180°-a. 2.（1)解：△CAE (2)证明：如答图①，作AF⊥AB交BC于点F,连接EF. B D 2题答图① 将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE, .AD=AE,∠DAE=90°， .LBAF=∠DAE,.∠BAD=∠FAE. .·∠ABC=45°，∠BAF=90°， ∴.△ABF是等腰直角三角形， .AB=AF,∠AFB=∠ABF=45° AB=AF 在△ABD和△AFE中， ∠BAD=∠FAE, LAD =AE, .△ABD≌△AFE(SAS), ∴.∠AFE=∠ABD=45°，EF=BD, .∠BFE=∠AFB+∠AFE=90°， ∴.∠CFE=90° ∠ACB=30,EF=25C .BD-EC (3)解：∠ACE=15°或75. [解析]当，点D在点B的右边时，如答图②，作AF⊥AB交 BC于点F,连接EF.由(2)可得EF=BD,∠CFE=90. B0=号8cBF-号8C又：c=VEm+CPC 21 ·10· -5EC=EF,△EFC是等腰直角三角形，∠ECF 2 45°.又∠ACB=30°，.LACE=∠ECF-∠ACB=45°- 30°=15°. 2题答图② 2题答图③ 当点D在点B的左边时，如答图③.同理可得∠FCE=45°， .∠ACE=∠ACB+∠ECF=75°.综上所述，∠ACE=15° 或75°. 3.解：(1)AC=AD+AB.理由如下： 在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴.∠D=90° ·∠DAB=120°，AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠BAC=60. ∠B=90°， LACB=30C. 同理A0=4C,AC=AD+AB (2)(1)中的结论成立.理由如下： 以点C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，LACE的另一边 交AB的延长线于点E,如答图①. .·∠BAC=60°， ∴.△AEC为等边三角形，∴.AC=AE=CE ∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴.∠DCB=60°，∴.∠DCA=∠BCE. .·∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∴∠D=∠CBE. .·CA=CE,∴.△DAC≌△BEC .AD BE,.'.AC =AE=AD +AB D B E 3题答图① 3题答图② (3)AD+AB=√2AC.理由如下： 过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,如答图②. ∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°，.∠DCB=90°. ∠ACE=90°，∴.∠DCA=∠BCE. 又：AC平分LDAB, ∠CAB=45°，∠E=45°，.AC=CE 又：∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∴.∠D=∠CBE,∴.△CDA≌△CBE, .AD BE,.'.AD +AB AE. 在Rt△ACE中，AC=CE, .AE=√AC2+CE2=√2AC=√2AC, .AD +AB=2AC. 4.解：(1)9 (2)如答图①，过点C作CE⊥GF于点E, 根据题意可得FC=FB+BC=DC+BC=4+6=10(cm). :△FGC是等边三角形， LcCF=60°，GC=FC,∠FCE=3∠G0P=30 在Rt△ECF中，∠FCE=30°，FC=10cm, EFFC=5cm. .EC=√FC2-EF2=√102-52=53(cm), ∴.“等补四边形”ABCD的面积为 }×3×0x5625y5(cm) D B H 4题答图① 4题答图② (3)如答图②，将△ACD绕点A顺时针旋转得到△ACB,作 AH⊥BC于点H, .'AC'=AC,C'B=CD=n, ∠C'=∠ACD=30°，∠ABC'=∠D. 在“等补四边形”ABCD中，∠ABC+∠D=180°， ∴.∠ABC+∠ABC'=180°， ∴.点C',B,C在同一直线上，∴.CC'=BC+C'B=m+n AC'-ACABCHm). 在Rt△AHC'中，∠C'=30°， .AI +HGAG AH-TAC, AW-c 6 (m+n), :“等补四边形”ABCD的面积=△4CC的面积=CC: A=子(m+mx 6(+n)=,(m+n)2 5.解：(1)猜想：BM+DN=MN. 证明：如答图①，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到 △ABE,则AE=AN,BE=DN,∠EAN=90°，∠ABE=∠D= 90°=∠ABC, .E,B,M三点共线 ∠EAM=90°-∠MAN=90°-45°=45°， ∴.∠EAM=∠MAN. AE=AN, 在△AEM和△ANM中 ∠EAM=∠NAM. AM=AM, .∴.△AEM≌△ANM(SAS),∴.ME=MN ME BE BM DN BM,..BM DN MN. A D M BM 5题答图① 5题答图② (2)DN-BM=MN. 参考答案及解析 [解析]如答图②，在线段DN上截取DQ=BM,连接AQ.在 AD=AB, △ADQ和△ABM中，∠ADQ=∠ABM, DQ=BM, .△ADQ≌△ABM(SAS),∴.∠DAQ=∠BAM,AQ=AM, .LMAQ=LBAM+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=∠BAD= 90°.∠MAN=-45°，∴.∠QAN=45°=∠MAN.在△AMN和 rAM=AO, △AQN中， ∠MAN=∠QAN,∴.△AMN≌△AQN(SAS), LAN =AN, ∴.MN=QN.'DN-DQ=QN,∴.DN-BM=MN. 6.解：(1)150° (2)EF2=BE2+FC2. 证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',如答 图①. 由旋转的性质，得AE'=AE,CE'=BE,∠CAE'=∠BAE, ∠ACE'=∠B,∠EAE'=90° ∠EAF=45°， ∴.LEAF=LCAE'+LCAF=LBAE+∠CAF=∠BAC- ∠EAF=90°-45°=45°， .∠EAF=∠EAF. AE=AE' 在△EAF和△E'AF中，{∠EAF=∠E'AF, LAF=AF, ∴.△EAF≌△E'AF(SAS), .E'F=EF. .∠CAB=90°，AB=AC, .∠B=∠ACB=45°， .∠E'CF=45°+45°=90°. 由勾股定理，得EF2=CE2+FC2, .EF=BE2 FC2. (3)将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A'P'B处，连接 PP',如答图②. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,∠ABC=30°， ∴.AB=2,BC=√3AC=5. △APB绕点B顺时针旋转60°， ∴∠A'BC=LABC+60°=30°+60°=90°. △APB绕点B顺时针旋转60°，得到△A'PB, .A'B=AB=2,BP BP',A'P'=AP, ∴.△BPP是等边三角形， .BP=PP',∠BPP'=∠BP'P=6O°. .·∠APC=∠CPB=∠BPA=120°， .∠CPB+∠BPP'=∠BP'A'+∠BP'P=120°+60° =180°， C,P,A',P四点共线， .A'C=√B+BC2=√22+(3)2=7， .PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC=A'C=7 A 6题答图① 6题答图② ·11·