专题四 因式分解的技巧及应用-【魔力暑假A计划】2024-2025学年八年级下册数学暑假作业（北师大版）

.∠F=∠ACB=28°， 9.15010.11 .∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78 11.解：如图，过点A作AD⊥AB于 4.解：(1)证明：：DE∥AB,.∠BAE十∠E=180°. 点D. ∠B=∠E.∠BAE+∠B=180,.AE∥BC 由旋转的性质，得AB=AB=6, (2)如图，过点D作DF∥AE交AB于 SA=SaA图1·∠A,BA=30°. 点F, 则∠E+∠EDF=180, ∴在R△ABD中，A,D=A,B ∠E=75°， =3: ∴.∠EDF=180°-∠E=105 ÷S,N=2AB·AD=7X6X8=9. 由平移的性质，得PQ∥AE, .DF∥PQ,∴.∠FDP=∠DPQ S形事9=SA4十S4属1一S%r, DE⊥DQ,∠EDQ=90°， ∴S影第分=S△A,=9. .∠FDQ=360°-105-90°=165° 12.C :∠FDQ=∠FDP+∠QDP, 13.解：(1)如图，△ABC'即所求. .∠DPQ+∠QDP=∠FDQ=165. .∠Q=180°-165°=15 5.B6.C7.684 8.解：(1)证明：如图①，连接MN O/ :△ABC和△DCE均为等腰直角三角形， ∠ACB=90.∠DCE=45,∠A=∠CBA=45", ∴.∠ACM+∠BCN=45. :△BCM是由△ACM旋转所得， (2)如图，设BC,CB的延长线交于点E.Sm对彩mmc= .∠BCM=∠ACM,CM=CM,AM=BM,∠CBM=∠A SAWE-SONCE= ×4×7-×1X4=12 2 ■45°， ∴.∠MCN=∠BCM'+∠BCV=∠ACM+∠BCN=45, (3)(b.-a) ∠NBM=∠CBA+∠CBM=45”+45'=90°， 14.解：AC⊥BD.证明如下： ,.∠MfCN=∠MCN, :△ABC是等边三角形， 在△MCN和△MCN中， .AB=BC=AC,∠ACB=∠ABC=60° ,'CM=CM,∠MCN=∠MCN,CN=CN. ,△DCE是由△ABC平移得到的， .△MCN2△MCN(SAS), .CE=BC=CD=AB,∠DCE=∠ABC=60°， ∴.MN=MN. .∠CBD=∠CDB. 在R△BMN中，根据勾股定理，得BM:+BN=MN, 又，∠CBD+∠CDB=∠DCE. ∴.AM+BNP=MN ∠CBD=号∠DCE=30. ,.∠BFC=180°-∠CBD-∠ACB=90°， .AC⊥BD. 15.证明：(1)由旋转可得AD=AB,∠DAB=90 ,AB=AC,∠BAC=30°， 图① .AD=AC,∠DAC=60, (2)如图②，将△ADC绕点A颗时针旋转90得到△ADC‘, ∴△ACD是等边三角形. 连接BD.BD. (2):AF平分∠CAE.·∠FAC=∠FAE. 由旋转的性质可知，AC=AC.AD=AD,CD'=CD=3. 在△ACF和△AEF中， ∠CAC=∠DAD'=90°.∠C=∠ACD, AC=AE, ,△A(CC是等腰直角三角形， ∠FAC=∠FAE, 由∠C=∠ACD=∠ACB=∠BCD=45,∠DAD= LAF-AF, ∠BCD=90,易得点C,D,B,C在同一直线上. .△ACF≌△AEF(SAS), :∠DAD=90°，∠BAD=45°. ∴.∠FEA=∠ACD=60 .∠BAD=45°， ,∠DAE=30°， 在△DAB和△D'AB中， ∴.∠AGE=180°-30-60°=90°， ,AD=AD,∠DAB=∠DAB,AB=AB, .EF⊥AD. .△DAB2△DAB(SAS),.BD=BD. 专题四因式分解的技巧及应用 在R1△BCD中，BC=4,CD=3,.BD=5, 1.A2.2(x-y)(2x-2y-3)3.D ∴.CC=CD'+BD+BC=3+5+4=12. 4.解：原式=(2x-3y-x)2=(x-3y) .由勾股定理可得，AC=6瓦. 5.xy(x-1) 88 数学·八年级 6.解：(1)原式=ax(x2-16)=a.x(x十4)(x-4) 专题宝构造三角形中位线的常用方法 (2)原式=4n(m一1)-9(m-1)=(m一1)(4万2一9)=(m 1.证明：如图，连接DF,EF 1)(2m+3)(2n-3). :D,E,F分别是AB,AC,BC的中点 (3)原式=-3x2(x-8x2+16)=-3x2(.2-4)产=-3x .DF∥AC,EF∥AB (x+2)2(x-2). .四边形ADFE是平行四边形， 7,解：(1)原式=[3(m+)+(m一n)][3(m+n)一(m一)] ,AF与DE互相平分. (4m十2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m十2n). 2.证明：如图，连接DE,FG. (2)原式=(2.r+y-x-2y)(2x十y+x+2y)=(x-y)(3x :BD,CE是△ABC的中线， +3y)=3(x-y)(x+y. ∴E,D分别是AB,AC的中点 (3)原式=[(a+2b)+3(a-2b)]F=[4(a-b)]=16(a 则DE是△ABC的中位线， b). 8.解：(1)原式=(m2+1+2m)(m2+1一2m)=(m+1)2(m- .DE/BC.DE-BC. 1)2. (2)原式=(m2n2+4十4mn)(n2n2+4一4nn)=(m十 同理可得PG/BC.FG-之BC. 2)产(mn-2)”. .DE∥FG,DE=FG. 9.解：(1)原式=x2十4.x十4=(x十2) ∴四边形DEFG是平行四边形， (2)原式=4xy-4.2-y2=-(4x2-4xy+y2)=-(2x .EF∥DG,且EF=DG. y)2. 3.证明：如图，连接EM,EN,FM,FN 10.解：(1)原式=(3.x十4)(3.x-4)-(x十3)(3x+4)=(3x十 E为AD的中点.N为AC的中点， 4)(2x-7). :EN为△ACD的中位线， (2)原式=(a-2b)2-2(a-2b)=(a-2b)(a-26-2). ∴EN∥CD,EN=CD. 11,解：原式=abc2+all+da3+db=(a+cda2)+ (abd+cdb)=ac(bad)+bd(ad+bc)=(be+ad)(ac+ 同理可得MF∥CD.MF= CD. bd). .EN∥MF,EN=MF, 12解：原式=++-=（+）广-=(+ ∴四边形EMFN为平行四边形， .EF与MN互相平分. )(e-+）)》 4.解：(1)证明：如图，连接CD,AE 13.解：设9-6r=y. 由三角形中位线定理可得PM= 原式=(y+3)(y一1)十4 CD.PN-7AE. =y+2y+1 :△ABD和△BCE是等边三 =(y+1)2 角形， =(9x2-6r+1) .AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60°， =(3x-1). .∠ABD十∠DBE=∠CBE十∠DBE,即∠ABE 14.解：(1)令x-y=M, =∠DBC. 则原式=1一2M+f=(1-MD .△ABE≌△DBC(SAS) 将“M还原，得原式=(1一x+y) ..AE=DC..PM=PN. (2)令2-2=N, (2)如图，设AE交PM于点F,CD交PN于点G,AE交CD 则原式=(N-3)(V+5)+16=N+2N+1=(N+1). 于点H. 将“N”还原，得原式=(2一2n+1)2=(一1)' 由(1)可知，△ABE≌△DBC, 15.解：(1)原式=1.23×(51-492)=1.23×(51+49)×(51 ∴∠BAE=∠BDC, -49)=1.23×100×2=246. .∠AHD=∠ABD=60, (2)原式=5.76×116+5.76×184+5.76×(-300)=5.76 .∠FHG=120°. ×(116+184-300)=0, 由三角形中位线定理可得PM∥CD,PN∥AE, (3)原式=2024一2×2025×2024+2025=(2024- ∴四边形PFHG为平行四边形， 2025)=1. .∠MPN=∠FHG=120°. 16.解：这两个数分别为63和65. 5.解：如图，延长CF交AB于点G,交AD于点H. 17.解：(1)x=y+4,x一y=4: :AE平分∠BAC, ∴原式=2(x2-2xy十y2)-25=2(x-y)2-25=2×4- ∴.∠GAF=∠CAF 25=7. AF⊥G,.∠AFG=∠AFC=90 (2rah=2,a-b=7 在△AFG和△AFC中. .原式=-a'F(a2-2ah+B)=-(ab)(a-b)2=-2× ∠GAF=∠CAF AF-AF. (2)广=-1 ∠AFG=∠AFC. BS版·参考答案 89专题四 因式分解的技巧及应用 类型1 因式分解的常规方法 (2)4n^*(m-1)+9-9m; (一)提公因式法 1.(张家界永定区模拟)多项式xy(a-b) y(一a)提公因式后,余下的部分是 ) A.r*+1 B.x十1 C.2-1 D.x*y十y (3)-3r+24*-48. 2.因式分解:4(x-y)-6(y-x)= (二)公式法 3.运用公式法将下列各式因式分解,错误的是 ( ) 4A.4m--(2m+-)(2--3) 数·< B.-n+(5m-2n)②}=(5m-n)(5m-3n)$ (四)“先套再提”法 7.把下列各式因式分解 C.9r*-3xy+-(3x-2){} (1)9(m十n)-(m-n)②; D.4m{}+50mn+25n{}-(2m+5n) 4.因式分解;(2x-3y)-2x(2x-3y)+x*} (2)(2x+)-(x+2)} (三)“先提再套”法 5.因式分解:xy-2xr}y+xy (3)(a+2b)②+6(a+2b)(a-2b)+9(a 6.把下列各式因式分解 26){②. (1)ax3-16a.x: 46 (五)多次运用公式法 ($2)a-4ab+4-2a+4b 8.将下列多项式因式分解 (1)(n+1)-4m}; (三)“拆整体”法 (2)(n”+4)2}-16nn, 11.因式分解:ab(c2}+d)+cd(a{}+). 类型2 因式分解的技巧 (四)“凑整体”法 (一)“先展开再分解”法 9.把下列各式因式分解; 12.因式分解:+1. 4 (1)x(x十4)+4; (2)4x(y-x)-y (五)“换元”法 13.因式分解:(9r*-6x+3)(9x-6x-1) 十4. (二)“先局部再整体”法 10.把下列各式因式分解 (1)9x*-16-(r+3)(3x+4); 47 14.(榆林期末)阅读以下材料: (3)2024-4050×2024+2025 因式分解:(x十)+2(x十y)+1. 解:令x+y=A,则原式=A*}+2A+1=(A 十1。 将“A”还原,得原式一(x十y十1)^。 请你运用上述方法因式分解: (1)1-2(x-)+(x-y); ($2)(n*-2n-3)(n-2n+5)+16$ (二)判断整除性 16.21*-1可以被60和70之间的某两个数整 除,求这两个数 ##7# 数·二世 (三)整式化简求值 17.(1)已知x=y+4,求代数式2x}-4xy+ 2y-25的值; 类型3 因式分解的应用 (一)简便运算 15.运用简便方法计算: (1)1.23×51*-1.23×49; 1 士2b-a的值 ($2)5.76×116+57.6×18.4+576$(-3); 48