4.1 因式分解 暑期专项练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦因式分解定义与方法体系，通过提公因式、公式法及几何直观，培养运算能力与推理意识，形成“概念-方法-应用”递进逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|定义判断、分解正确性验证|从因式分解定义出发，区分整式乘法与分解| |系数求解|5题|多项式展开对比系数、十字相乘法|结合整式乘法互逆关系，强化参数求解推理| |几何应用|2题|图形面积法验证分解等式|通过几何直观建立代数与图形的联系| |综合应用|4题|设因式法、看错系数问题处理|整合多种方法，提升复杂问题解决能力|

4.1 因式分解暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 2．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 4．将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 5．下列从左到右的变形中是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 6．下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 8．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 9．如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．把一个多项式化为________________的形式，叫做把这个多项式因式分解． 11．根据下边图形写一个关于因式分解的等式________．    12．一个整式可因式分解为，那么这个整式是______． 13．在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 14．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 15．若将多项式因式分解得，则的值为______． 三、解答题 16．①先化简再求值：，其中． ②在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 17．（1）用简便方法计算： （2）若是整数，一定能被整除吗？说明理由． 18．将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．仔细阅读下面的例题，仿照例题解答问题， 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为， 得 化简得 整理得 于是有解得 因此另一个因式是，的值为-21． 问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 20．仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C C A D A B C D 1．C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 2．C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了因式分解及整式乘法的应用，根据因式分解的结果，将多项式展开后比较系数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的因式为和， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 4．A 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算． 【详解】解：， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 5．D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】根据因式分解的定义，变形后等式右边需为几个整式的乘积形式，逐一判断： A．等式右边为，是和的形式，不是乘积形式，∴ A不是因式分解； B．变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，右边不是乘积形式，∴ B不是因式分解； C．变形是整式乘法，右边是和的形式，不是乘积形式，∴ C不是因式分解； D．左边是多项式，右边是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，∴ D是因式分解． 故选：D． 6．A 【分析】根据因式分解的定义得出即可． 【详解】解：A、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； B、，从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，原式从左到右的变形错误，故本选项不符合题意； D、两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 7．B 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 8．C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 9．D 【分析】长方形的面积为，正方形的面积为，面积和为，整个长方形的面积表示为，根据同一个图形的面积相等，建立等式求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 10．几个整式的积的形式 【分析】根据因式分解的定义直接填空即可． 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 故答案为：几个整式的积的形式． 【点睛】本题主要考查了因式分解定义，注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式． 11． 【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式． 【详解】解：图形的面积， 又图形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则计算即可得出答案． 【详解】解： ， 所以这个整式是， 故答案为：． 13． 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 14．/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 15． 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 16．①-6x+5y，-16；②a=6，b=9 【分析】①原式中括号中利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． ②直接利用多项式乘法进而得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：①原式=（4x2-y2-4x2+12xy-9y2）÷（-2y） =（12xy-10y2）÷（-2y） =-6x+5y， 当x=1，y=-2时，原式=-6-10=-16． ②∵小明看错了b， ∴a正确， ∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8， ∴a=6， ∵小张看错了a， ∴b正确， ∵（x-1）（x-9）=x2-10x+9， ∴b=9． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，因式分解与多项式相乘运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（1）；（2）能，理由见解析 【分析】（1）提公因数，进而即可求解； （2）提公因式，分为偶数、奇数，两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）原式 （2）能 ∵ 若为偶数，则必为奇数 若为奇数，则必为偶数 在中，，必有一个是偶数 ∴一定能被2整除 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，确定各式的公因式是解题关键． （1）提公因式，即可完成因式分解； （2）提公因式，即可完成因式分解； （3）提公因式，即可完成因式分解； （4）提公因式，即可完成因式分解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 19．另一个因式是，的值为2 【分析】设另一个因式为，得，化简整理后根据多项式相等可得，进而即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，得 化简得 整理得 于是有 解得 因此另一个因式是，的值为2． 【点睛】本题考查了多项式乘法与因式分解的关系，熟练掌握整式的乘法运算是解题的关键． 20．(1)4 (2)， (3)另一个因式是，的值为 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据多项式乘多项式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则计算，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． （2）解：由题意得：， 所以， 所以， 所以，； （3）解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $