第6章《平行四边形》复习题——平行四边形二级结论 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形二级结论，通过角平分线、面积关系等题型系统构建“性质应用-模型迁移-综合拓展”的解题方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线应用|单选1-4、填空7-8|平行四边形对边平行转化角关系，角平分线+平行线得等腰三角形|从基本性质推导“角平分线截边”二级结论，形成“性质-判定-应用”链条| |面积关系|单选5-6、填空9-12|等底等高面积转化，对角线交点等分面积，动点问题面积不变性|以面积不变性为核心，关联中点、对称中心等概念，构建面积模型| |作图与证明|解答13-15|尺规作图角平分线，无刻度直尺利用中心对称性|结合作图操作深化性质理解，体现数学语言表达的严谨性| |综合应用|解答16-18|动态几何面积计算，模型建立与拓展（面积关系公式推导）|从具体问题抽象数学模型，培养模型观念与创新意识|

第6章《平行四边形》复习题一一平行四边形二级结论 一、单选题 1.如图，在平行四边形ABCD中，AE是∠BAD的角平分线，LBEA=75°，则∠D=() D C A.15° B.30° C.45° D.60° 2.如图，在口ABCD中，∠ABC、LBCD的角平分线交于边AB上一点E,且BE=AB=V5,线段 CE的长为() E B A.2V5 B.32 C.3 D.3 3.如图，已知平行四边形ABCD,∠BAD的角平分线交边BC于点E.交DC延长线于点F,如 果∠F=70°，那么∠B的度数是() A D E A.30° B.40° C.50° D.70° 4.如图，在口ABCD中，AB=I0,AD=7,四个角的角平分线分别相交于点E,F,G,H,则四边 形EFGH对角线EG的长为() D E G A.3 C.57 3 5.某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花.如 果有AB∥EF∥DC,BCI‖GH I AD,那么下列说法中错误的是() A E D 紫 G 红 黄 橙 B 蓝 A.红花，白花种植面积一定相等B.红花，蓝花种植面积一定相等 C.蓝花，黄花种植面积一定相等D.紫花，橙花种植面积一定相等 6.如图，在△ABC中，点D在AB边上移动（不与点A,B重合），以AD为一边作口ADEC,连 接BE,CD,则下列为定值的是() C D 6 A.△CDE的面积 B.四边形BDCE的面积 C.CD+DE D.CD+BE 二、填空题 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边AD于点E,LAEB=25°，则∠D的度 数是 ED B 8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC和LBCD的角平分线分别交AD于点E 和F,EF= A E 9.如图，在ABCD中，BE:EC=2:3,CF=DF,△ABE的面积是6Cm2,则△AFD的面积是 10.如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线F与GH, 那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是 A G S1 M S2 I1.如图，P是oABCD内部的任意一点，连接AP,DP,BP,CP.若△PAB的面积为S, △PCD的面积为S2,且S,+S2=15,则口ABCD的面积是 A O S S2 B 12.在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过O的两条直线分别交边AB,CD,AD ,BC于点E、F,G,H.且AB=3,AD=5,BE=DF=1,当AG=,使直线EF,GH把四 边形ABCD的面积四等分， D 三、解答题 I3.如图，BE是口ABCD中∠ABC的角平分线，交AD于点E. D (1)作∠ADC的角平分线，交BC于点F,(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)证明：BE=DF. 14.学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对 角线所形成的两夹角的角平分线，与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形.请根据他 们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，过点D作∠BDC的角平分线，交BC于点F.(不写做法，保留作图痕 迹) (2)已知：四边形ABCD是平行四边形，连接BD,若BE平分∠ABD,DF平分LBDC, 求证：四边形BEDF是平行四边形， 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,① .∠ABD=② ,BE平分∠ABD,DF平分LBDC, :∠EBD=∠ABD,∠BDF=③ ④ BE∥DF, .⑤ ∴.四边形BEDF是平行四边形. 15.如图，在口ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图 痕迹. A D A E 图1 图2 (I)如图1，在CD上找点F,使得四边形AEFD的面积是。ABCD面积的； (2)如图2，作△AEG(点G在AD上)，使得△AEG的面积是。ABCD面积的， 16.如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为 (14,0),点B的坐标为18,4V3,∠C0P=60°. VA 备用图 (1)求点C的坐标和口OABC的对称中心的坐标； (2)动点P从点0出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出 发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向点B匀涑运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止 运动.设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PQC的面积是口OABC面积的一半？ (3)当△PQC的面积是口OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M,使以M,P, Q,C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标， 17.实践与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A,交y轴于点B,点B坐标为(0,3)，直线 12:y=2x与直线相交于点C,点C的横坐标为1. A (1)求直线4的解析式； (②)若点D是y轴上一点，且：0CD的面积是△40C面积的子，求点D的坐标： (3)在y轴右侧是否存在一点E,使得以点O,A,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由， 18.【模型建立】如图1，在ABCD中，点E为边AB上一动点，连接DE、CE.设△AED,△BEC ,△CED的面积分别为S,S2,S,写出S,S,S2之间的数量关系，并用两种不同的方法证 明； 【模型应用】 如图2，在口ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC=I35°，点E为边CD上的一动点，连接AE.过 点B作BF⊥AE,求AEBF的值； D S 图1 图2 图3 【模型拓展】 如图3，点P为口ABCD内一点（点P不在BD上），点E,F,G,H分别为各边的中点，设四边 形AEPH的面积为S,四边形PFCG的面积为S2(其中S,>S,),写出△PBD的面积，并说明理 由.（用含S,S的代数式表示） 参考答案 一、单选题 1.B 解：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,∠B=LD, ∠BAD+∠D=1809 ∠BAD=180°-∠D, :AE是∠BAD的角平分线， 2B4E号B40-80-∠D=90-D, :∠BAE+∠B+∠BEA=180°， 890-1∠D+∠D+75°=180° 解得：LD=30°， 故选：B. 2.D 解：：四边形ABCD是平行四边形， AB=DC=N5,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD, .∠ABC+∠BCD=180°， :∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E, ∠ABE=LCBE,∠DCE=∠BCE, .∠EBC+LECB=90°， .∠BEC=90°， ADI BC, :ZAEB=ZCBE=ZABE,ZDEC=ZBCE ZDCE, :.AB=AE=3,DE=DC=3, .AD=BC=23, CE=√BC2-BE2=V12-3=3, 故选：D 3.B 解：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AD∥BC, ∠BAF=LF=70°， AF是∠BAD的角平分线， ∠BAD=2∠BAF=140°， 又AD‖BC, ∠B=180°-∠BAD=40°， 故选：B. 4.A 解：如图所示，延长DF,交AB于P, D E G A P B ,CD∥AB,DP平分∠ADC, .∴.∠APD=∠CDP=∠ADP, ∴AD=AP=7, 又AB=10, ∴BP=AB-AP=3 ,BH平分∠ABC,DP平分∠ADC, ∠ABH=)∠ABC=∠ADC=∠ADP, 2 2 又∠ADP=∠APD, ∴.∠APD=LABH, ∴.PE∥BG. ,四边形ABCD是平行四边形， ∠DAB=∠BCD,BC=AD=AP, 又，AH平分∠BAD,CF平分∠BCD, ∴.LBCG=LPAE, 又.∠APE=LABH=∠CBG, ∴.△APE≌△CBG(ASA), ∴.PE=BG, 四边形BGEP是平行四边形， ∴.EG=BP=3 故选：A. 5.B 解：如图所示： A E 紫 G 蓝 橙 F :AB∥EF∥DC,BCIIGH AD, :四边形ABCD、四边形DEOH、四边形BGOF、四边形AGOE、四边形CHOF是平行四边形， .SAABD-SACBD SADOE-SADOH SABOG=SABOF :S图边形AGOE=S四边形CHOF, :A、C、D正确，B不正确； 故选：B. 6.B 解：如图，过点C作CF⊥AB于F, E D F B 点D在AB边上移动（不与点A,B重合），以AD为一边作口ADEC, .AD=CE,AD、BD、CE、CD、DE、BE的值不定， “aCDE的面积=专CE·CF=CF·AD,△BDE的面积=)BDCF, .△CDE的面积、CD+DE、CD+BE不是定值， :四边形BDCE的面积=△CDE的面积+△BDE的面积 CFAD+BD.CF=CF(AD+BD)=△ABC的面积， 2 2 ·四边形BDCE的面积为定值. 故选：B. 二、填空题 7.50° 解：BE平分∠ABC, ∴.LABE=LCBE, ,·四边形ABCD为平行四边形， .∠D=∠ABC,AD∥BC, ∴.LABE=LCBE=LAEB=25°， ∴.∠D=LABC=LABE+∠CBE=50°， 故答案为：50°. 8.1 .BE平分∠ABC, .∠ABE∠CBE. ,四边形ABCD为平行四边形， .AD∥BC,AB=CD=3, ∴.∠AEB∠CBE, ∴.∠ABE=∠AEB, ..AB=AE=3, 同理可得CDDF=3. AD=BC=5, DE=AD-AE=5-3=2,AF=AD-DF=5-3=2, .'EF=AD-DE -AE=5-2-2=1. 故答案为：1. 9.7.5cm 解：设平行四边形ABCD的面积为S,边BC上的高为h,边CD上的高为h ,四边形ABCD是平行四边形 ∴.S=BC.h=CD.h, BE:EC=2:3 .'BE=2BC 5 S.ARE=BE.h 2 .Se=,×2BCA=BCS 5 5 S.4B=6cm2 =6, 解得S=30cm2 .CF =DF :DF=1CD 2 :Sm=)DF-么 2 1xCD.h= .S4m=2x2 4 _1×30=7.5cm2 :.S.AFD=4 10.S1=S2. 解：，四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC,HG∥AB, .AD=BC,AB=CD,AB∥GH∥CD,AD∥EF∥BC, ∴.四边形HBEM、GMFD是平行四边形， 在△ABD和△CDB中；， AB=CD BD=DB, DA=CB .△ABD≌△CDB(SSS), 即△ABD和△CDB的面积相等； 同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等， 故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2. 故答案为：S1S2 11.30 解：如图，过点P作PF⊥CD,延长FP交BA的延长线于点E, E A D P C ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=DC,AB∥CD, .PE⊥AB, S=4B-PE,5-CD-PF, S,+S2=15, “4BPE+CD-PF=15, 2 “4BPE+P9=15,即ABPE+PF)=30, ∴.ABCD的面积是30. 12.3 解：如图，过O作KL⊥AB于点K,交CD于点L,过点O作PQ⊥AD于点Q,交BC于点P, A GO D K B PH C 由平行四边形是中心对称图形可知，KL=2OK,PQ=2OQ, :S平行四边形8cD=AB·KL=ADPQ, ∴.3×20K=5×200, OK 5 …003’ 1 :S.0w=45+行m,Suac= S平行四边形4BcD ∴.S40B=S因边形4EOG, .S.BOE =S.40G S.mor=BE.OK=xIxOK,S..o=AG-OG, 1 2 2 xIxOK=1AG.OG, 0K=AG=?3 …00 BE DF =1, “当4G=C1-时，直线ER,6H花四边形4BCD的面积四等分， 敌答案为： 三、解答题 13.(1)解：如图所示，射线DF即为所作. E D (2),四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠A=∠C,∠ABC=LADC,AB=DC. BE平分∠ABC,DF平分∠ADC, ∴.∠ABE=∠FDC, ∴.△ABE≌aCDF(ASA), .'BE DF. 14.(1)解：如图所示，即为所求： (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥CB,AB∥CD, ∠ABD=∠CDB, ·BE平分∠ABD,DF平分LBDC, ÷∠EBD=;∠ABD,∠BDF=∠CDB, 2 ∠EBD=LBDF, BE∥DF, :ED∥BF, :四边形BEDF是平行四边形. 故答案为：AB∥CD;∠CDB; ∠CDB;∠EBD=∠BDF;ED∥BF. 15.(1)解：如图1，点F即为所求； 作法：连接AC、BD交于点O,作直线OE交CD于F,点F即为所求； 图1 由作法可得底F是CD的中点，则DF=CD, 点E为AB的中点， AE=T4B, 2 ∴AE=DF, 在ABCD中，AB‖CD, .'AE Il DF, ∴.四边形AEFD是平行四边形， 设a4BCD中AB边上的高为，则四边形AEFD的面积为AEM=48, ∴四边形AEFD的面积是ABCD面积的，； (2)解：如图所示，点G即为所求； :△AEG的面积是▣ABCD面积的4，由(I)知四边形AEFD的面积是ABCD面积的；，且四 边形AEFD是平行四边形， ∴D,G两点重合， 作法：在图1的基础上，连接DE,点G即为所求. 7D(G) -- 16.(1)解：：四边形OABC是平行四边形， :A0=BC=14, :点A的坐标为(14,0)，点B的坐标为18,4⑤，0(0,0)； 点C的坐标为(4,45，平行四边形0ABC的对称中心的点的坐标为(9,2V5), (2)解：根据题意得：Saoc=S.4scw-Ssore-Sam-Sn0=2Sauc, S.oueSare 即：x40x分0P+分Px%+分Cw-w, 方14x45=x45+4-0x5+分14xw5-,得得：1=4， 故答案为：当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半， (3)解t=4时，由(2)知，此时点Q与点B重合，画出图形如下所示， B(O) M A M 此时CP1x轴，MM1⊥x轴，BC=18-4=14,CP=45,BM,=4V3,0P=4, 根据平行四边形的性质，可知M,P=M,P=BC=14,M,B=CP=4V3, ∴.M1(4+14,0),即M118,0),M2(4-14,0,即：M(-10,0),M18,45+4V5,即：M18,85） 故答案为：点M的坐标为18,0)或(-10,0)或(18,85 17.(1)解：当x=1时，y=2x=2, :点C的坐标为(1,2). 设直线Z的解析式为y=c+b(k≠0)， b=3 将B0,3),C1,2)代入y=+b,得： k+b=2’ k=-1 解得： b=3’ ·直线的解析式为y=-x+3; (2)解：当y=0时，-x+3=0,解得：x=3, :点A的坐标为(3,0) -S,即x1x0D=xx2x04, :SA0cD=3° 2 32 0D=40A=4, 3 D DN图1 :点D的坐标为(0,4)或(0，-4)； (3)解：设点E的坐标为(m,n),分三种情况考虑（如图2） E E3 E 图2 ①当OA为对角线时，：0(0,0)，A(3,0),C1,2), m+1=0+3 m=2 m+2=0+0,解得：a=2 :点E的坐标为(2，-2)： ②当0C为对角线时，·0(0,0)，A3,0),C(1,2), m+3=0+1 m=-2 (n+0=0+2’解得： n=2’ :点E2的坐标为(-2,2)（不合题意）： ③当AC为对角线时，“0(0,0)，A(3,0),C1,2), m+0=3+1 m=4 (n+0=0+2’解得： n=2’ :点E的坐标为(4,2) 综上所述：平面内存在一点E,使得以点O,A,C,E为顶点的四边形是平行四边形，点E的 坐标为(2，-2)或(4,2). 18.[模型建立] 解：方法一，设平行四边形ABCD的高为h(AB与CD之间的距离)， ,平行四边形ABCD, ∴.AB∥CD, ∴，△AED以AE为底，高就是平行四边形ABCD的高h, “根据三角形面积公式可得S4Ex, 同理可得，3：8ExS=C0x, .AE BE=AB =CD ..S3=S+S2; 方法二，如图1，过点E作EF∥AD交DC于点F, D F C 'S3 S E B 图1 AB∥CD,AD∥BC, ∴.四边形AEFD和四边形FEBC都为平行四边形， ∴.S1=SDFE,S2=ScFE, S3=S.DFE+S.CFE .S3=S,+S2; [模型应用] 解：如图2，过A作AG⊥BC交CB的延长线于点G,连BE, E 图2 LABC=135°， ∴.∠ABG=180°-135°=45°， AB=4, ∴.根据勾股定理得，AG=BG= 4 =22, BC=6, .S4cD=6x2W2=122, 由S,=S,+S,得S4BE=SADE+ScBE, em=65, ,BF⊥AE, S.AmE=6EBF, 2 ∴.AEBF=12√2； [模型拓展] 如图3中，连接PA、PC, H B F 图3 在△APB中，：点E是AB的中点， :可设S。APE=SPBE=a, 同理，SMPH=SPDH=h、S.PpG=S.PGc=C S.PFC=S.PBF=d, S西边形HEP阳+Sg边形PFcG=a+b+C+d,S四边形PEBr+S西边形PHDG=a+b+C+d 1 ∴S5边形AEPH+S边形P0G=S边形EBr+S边形G-S,+S,=2S平行医边形CD, .S BCD-S平行烟边形BCD=S+S S2=S.PFC+S.PGC =S.PBF +SPDG=d+c, ..S.PBD=S.BCD-(S2+S.PBF+S.PDG)=S+S2-S2+d+c)=S+S2-(S2+S2)=S1-S2.