2.1.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

乡村振兴背景下高中数学一课三研的行动研究的课后研——几何篇 ( 学科：数学 ) ( 年级：高二 ) ( 课题：2 . 1.1直线的倾斜角与斜率 ) 2.1.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计 一、教材分析 本节课《普通高中课程标准数学教科书选择性必修第一册（人教 A 版）》第二章第一节的内容，本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，本节课的要求就是解决确定直线的两个方式之间有什么内在联系，初步学会几何图形代数化。并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离等，再进一步研究圆的方程，本节课作为第二章第一节课，用坐标系将几何和代数联系到了一起，为解析几何的学习奠定基础，也初步让学生意识到数形结合的思想方法，从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 二、学情分析 学生在初中学过一次函数及其图象，有一定的基础，但是对于如何准确用代数方法把这些几何要素表示出来还未进行系统的学习，因此对于直线的倾斜角和斜率而言，学生掌握起来不陌生，但是细枝末节的地方还是有待处理。同时在前面学生已经学过三角函数和向量，知道角的正切值可以把角终边上的点横纵坐标联系起来，也知道向量是研究几何问题很好的工具，同时也可以很好地将几何与代数联系到一起，这也为了我们探究斜率公式有了充足的知识储备。 本节课作为高中阶段解析几何的第一堂课，这节课既能够很好地体现前面向量这一工具的学习重要性，可以用来探索几何与代数的关系，也为了后面学习直线位置关系做铺垫，起到承上启下的作用。 三、教学策略 启发式教学，合作探究等教学策略. 四、核心素养目标 （一）数据分析：通过对直线斜率公式的分类讨论，能帮助学生进一步体会分类思想，提高数形结合思想，找到数与形之间的联系； （二）数学建模：通过在具体情境中抽象出直线的倾斜角，能让学生体会数学问题的来源实际问题的需要，发展学生数学建模的核心素养； （三）逻辑推理：通过从特殊到一般的方式一步步引导学生推理总结出斜率公式，能让学生掌握斜率公式的同时体会分类思想，发展学生逻辑推理的核心素养； （四）数学运算： 通过计算例题以及变式中的参数或者范围问题，逐步变式，层层递进的方式，让学生得到充分练习，提高学生对斜率知识应用能力，培养学生数学运算核心素养。 课标要求： 课程标准中要求学生在几何与代数这一主线下必须掌握并整体认识一批基本几何图形及其性质，学会运用几类研究图形的基本方法，例如：综合几何法、解析几何法、向量法等，感悟图形的作用，促进学生学科核心素养的发展。本节课作为高中阶段解析几何部分的第一节课，课标要求学生要掌握以下三点： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索直线位置的几何要素； 2.理解并掌握直线倾斜角和斜率的概念； 3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 五、教学重、难点： 重点：直线倾斜角和斜率的概念；倾斜角和斜率的关系 难点：对直 ( 课题：2 . 1.1直线的倾斜角与斜率 )线倾斜角和斜率概念 ( 年级：高二 )的理解；用斜率公式解决 ( 学科：数学 )相应问题 六、课时安排：1课时 7、 教学过程 （1） 情境引入 方案一：播放笛卡尔数学史视频介绍，让学生从视频中感受解析几何的魅力，同 时明白坐标法是联系几何和代数的重要方法之一，也明确本节课的研究要点 是直线，也是借助平面直角坐标系来研究直线的几何要素，明确主题，本节 课学习内容为直线的倾斜角与斜率。 设计意图：让学生感受到数学有深厚的底蕴，感悟用“数学的眼光”看世界，为后续学 习奠定一个深厚文化的基调 方案二：让学生观察北盘江大桥的 112 对斜拉索相对于桥面而言有什么不同？ 引进倾斜程度，在情境中建立平面直角坐标系，将水平桥面抽象成横轴，垂 直于桥面的承重柱为纵轴，将斜拉索抽象呈直线，进而在坐标系中研究构成 直线的几何要素。 设计意图：基于情境下的教学让学生感受数学来源于生活，同时学会从实际生活抽 象出数学模型，感受数学建模的核心素养。 （2） 新知形成 给出倾斜角的概念 倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角 ( 年级：高二 ) ( 课题：2 . 1.1直线的倾斜角与斜率 ) 互动 1：请某位同学上台标出图中三条直线的倾斜角 ( 学科：数学 ) 互动 2：如果一条直线垂直于 x 轴，倾斜角为多少呢？ 互动 3：如果一条直线与 x 轴重合，倾斜角为多少呢？如果平行呢？ 倾斜角范围： 设计意图：通过互动的形式让学生更有针对性地学习倾斜角的内容，同时也可以关注到 倾斜角为 0°和 90°这两种特殊情况，完成本节课第一学习要点 （三）合作探究 在平面直角坐标中，设直线 l 的倾斜角为α （1）已知直线l经过O（0,0），P（3，1），α与O，P的坐标有什么关系？ （2）类似地，如果直线l经过P1（1,1），P2（，0），α与两点坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过P1（x1,y1），P2（x2，y2）与P1，P2的坐标有什么关系？ 设计意图：通过小组合作探究的形式培养学生合作探究的能力，同时培养学生的逻 辑推理能力，问题设置从特殊到一般的形式让学生学会归纳总结，也体会数 形结合的思想，用向量法探究的过程领略向量这一工具的重要性，同时也让 学生养成分类讨论的思想，培养学生逻辑推理的核心素养 （四）总结归纳 ( 课题：2 . 1.1直线的倾斜角与斜率 ) ( 学科：数学 ) ( 年级：高二 ) 斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用 小写字母 k 表示。即 k=tanα 追问：如果x1=x2呢？对应的直线长什么样子？ 设计意图：总结归纳让学生明确斜率概念以及计算公式，同时培养学生归纳总结的能 力，通过互动问题让学生关注到易错点直线垂直于 x 轴的时候斜率不存在 【思考】当直线的倾斜角由 0 逐渐增加到π时，其斜率如何变化？ k=tanα 几何画板动态演示斜率和倾斜角的变化关系 总结归纳斜率与倾斜角的关系 设计意图：通过几何画板动态演示斜率变化过程，让学生更加直观的观察到倾斜角变化 的过程中，斜率的范围变化，尤其是在倾斜角为直角时左右两边产生正负极 端的落差变化，最后用表格带着学生总结，进一步清晰地确定斜率取值范围. （5） 例题巩固（方案1） 1.口述下列题中相应的倾斜角或斜率： 2. 判断正误： ( 年级：高二 ) （1）在平面直 ( 课题：2 . 1.1直线的倾斜角与斜率 )角坐标系中，每一条直线都有唯一 ( 学科：数学 )确定的倾斜角。 （2）方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角就相等，斜率也相等。 （3）若直线的倾斜角为α，则 sinα∈（0,1）。 （4）直线的斜率为 tanα，则其倾斜角必为α 设计意图：通过第一题让学生掌握倾斜角为特殊角的斜率值之间的转换，感受倾斜角与 斜率的一一对应关系，意在巩固、强化基础，重视必备知识、关键能力的落实。口述的方式培养学生数学运算的核心素养 例题：已知点 A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。 变式 1：若经过例题中 A，B 的直线方向向量为（1，k），求 k。 变式 2：若经过例题中 A 和另一点 D（2，m-1）的直线倾斜角为锐角，求 m 的取值范围。 变式 3：若经过 A 和另一点 D（2，m-1）的直线倾斜角范围为 求 m 的取值范围。 变式 4：若经过 A 和另一点 D（2，m-1）的直线倾斜角范围为 求 m 的取值范围。 思维提升：若 E 为例题中线段 AB（含端点）上一点，求直线 CE 斜率的范 围。 设计意图：例题讲解和变式处理难度层层递进，带领学生逐个击破，通过教师提炼总结， 强化多角度解决直线斜率运算问题，一题多变的形式让学生体会知识点的多 方位多角度考查方式，有意识的提升学生的思维水平。 （6） 例题巩固（方案2） 例1 已知 A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 例2 已知若三点A（2,3），B（3,2），C（1，m）共线，求实数m的值。 课堂竞技场 1.已知直线l经过点P(2,3)与Q(-3,2)则直线的斜率为________ 2.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α， 且sinα + cosα=0,则a, b满足（ ）。 A. a+ b=1 B. a-b=1 C. a+ b=0 D. a-b=0 3.斜率为2的直线，经过点(3,5),(a,7),(-1，b)三点，则a,b的值为________ 4.已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB，KBC 问题：如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？ 5.如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一条直线上,求a的值。 （六）归纳小结 1.倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向 上的方向之间所成的角α 2.斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用 小写字母 k ( 课题：2 . 1.1直线的倾斜角与斜率 )表示。即 k=tanα ( 学科：数学 ) ( 年级：高二 ) 设计意图：提问学生总结本节课知识点以及重要公式，培养学生形成知识框架的习惯， 反复强化巩固必备知识和关键能力，有利于学生后续学习。 （六）作业布置 分层作业 易：教材习题 2.1 第 2、3、4 题、教材 55 页练习第 4 题 中：教材习题 2.1 第 7、8 题 难：教材 68 页探究与发现《方向向量与直线的参数方程》 课后阅读：教材 80 页的《笛卡尔与解析几何》 八、板书设计 主板书 副板书 直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴 为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向 之间所成的角α 2.斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用 小写字母 k 表示。即 k=tanα 学科网（北京）股份有限公司 $