第02讲 空间向量的数量积运算（思维导图+2知识点+6大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第02讲 空间向量的数量积运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间向量的数量积运算 题型02 空间向量的夹角运算 题型03 空间向量模长的运算 题型04 投影向量的运算 题型05 空间向量中的垂直关系的运算 题型06 空间向量中的最值（范围）问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.空间向量的数量积 2.投影向量 3.向量垂直、夹角、模长问题 1. 掌握空间向量的数量积,增强数学抽象的核心素养. 2.了解空间投影向量的概念以及投影向量的意义,增强数学抽象和直观想象的核心素养. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 学习重点：空间向量的数量积运算 学习难点：空间向量数量积的运算性质及其应用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量的数量积 一、空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 二、空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 4、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 即时即练 1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 2．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 3．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 4．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 【方法总结】 (1)空间向量数量积运算的两种方法 ①利用定义:利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. ②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. (2)在几何体中求空间向量数量积的步骤 ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 知识点02 投影向量 1、向量的投影 （1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， 向量称为向量在向量上的投影向量． 类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． （2）如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 2、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 即时即练 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 2．若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量在向量上的投影向量为，利用向量数量积的定义求，进而得的范围，逐一验证即可求解. 【详解】由题意有：由向量在向量上的投影向量为， 因为， 因为，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量可能为， 故选：A. 【方法总结】 向量称为向量在向量上的投影向量 题型01 空间向量的数量积运算 1．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 3．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 5．（多选题）（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【详解】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 6．（多选题）（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用空间向量数量积的定义分别求解即可. 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 【技巧归纳】 求空间向量数量积的步骤： 第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； 第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； 第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； 第四步：代入求解． 题型02 空间向量的夹角运算 1．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 4．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 【答案】 【分析】由空间向量数量积的定义和运算性质即可求解. 【详解】设，因为， 所以， 则． 所以，即． 故答案为： 5．（23-24高二上·浙江温州·期中）把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________． 【答案】/ 【分析】根据空间向量的夹角公式，结合数量积的运算即可求解. 【详解】由于,所以, 不妨设正方形的边长为2，则,, , 所以, 故 , 所以, 故答案为：    【技巧归纳】 求两个非零向量夹角的两种途径 (1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解. (2)利用数量积求异面直线夹角的余弦值. 题型03 空间向量模长的运算 1．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 4．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可 【详解】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． 5．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 【答案】1 【分析】运用空间向量基底法，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即 设， 代入得， 即，解得或（舍去）， 故. 故答案为：1 【技巧归纳】 利用向量方法求长度或距离的基本方法 (1)将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. (2)因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|==. (3)可用|a·e|=|a||cos θ|(e为单位向量,θ为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量上的投影向量的大小. 题型04 投影向量的运算 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量公式求解即可. 【详解】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C 2．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 3．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】， ， 则 ， ， 故. 故选：A. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 【技巧归纳】 向量称为向量在向量上的投影向量 题型05 空间向量中的垂直关系的运算 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 2．在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 3．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 4．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 【技巧归纳】 利用向量方法证明垂直问题的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0(a,b是非零向量)可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的非零向量,只要证明这两个非零向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可. 题型06 空间向量中的最值（范围）问题 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 2．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是_________． 【答案】1 【分析】利用空间向量基底法结合数量积公式计算即可. 【详解】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 故答案为：1. 4．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则，将转化为，则题意求得的取值范围，即可得到的取值范围. 【详解】分别取，的中点，，则，即，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面． 又， 因为三棱锥的棱长均为4，所以三棱锥是正四面体，其每个面均为边长为的正三角形. 所以，. 因为， 所以，. 所以的取值范围为． 故答案为：． 5．（25-26高二下·上海·期中）在三棱锥中，已知，，，，，则的最小值为______. 【答案】2 【分析】根据三棱锥的几何性质，写出各棱之间的向量关系，根据向量模长公式，以及向量垂直的性质，列出方程，求出，进而根据基本不等式，求出的最小值. 【详解】由题意可知，，， 因为，所以， 即， 因为，所以， 即， 所以， 即，化简得，得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 所以. 1．（25-26高一下·上海·期中）下面给出的关系式中 （1）；         （2）； （3）；         （4）； （5）若，且，则． 正确的个数是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平面向量的数乘、数量积的运算法则与性质，逐个判断5个关系式的正误，统计正确关系式的个数得到结果. 【详解】判断(1)：根据数乘向量的定义，实数与任意向量相乘，结果都是零向量，因此正确； 判断(2)：根据数量积的分配律展开：，正确； 判断(3)：，正确； 判断(4)：是实数，左边是与共线的向量； 是实数，右边是与共线的向量，与不一定共线，因此等式不一定成立，错误； 判断(5)：由，只能推出，当时，，不能推出，错误； 综上，正确的关系式共个，选C. 2．（25-26高二上·河北·阶段检测）在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求的值. 【详解】设正四面体的棱长为. 由正四面体结构性质可知， 而 故， 故选：B. 3．（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案， 【详解】由， 所以，由于，所以 在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形， 分别是中点，所以， 所以，所以. 故选：C 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 5．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 6．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量数量积的运算性质可得出，利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上投影向量的长度的最小值. 【详解】因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 7．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 【答案】C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 8．（多选题）（24-25高二上·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可. 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 9．（多选题）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 10．已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【详解】由题可知，，， 所以． 11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 12．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 13．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    【答案】 【分析】根据垂直关系可得平面，，根据空间向量数量积求得，，根据夹角公式即可得结果. 【详解】因为平面平面，， 且平面平面，平面，可得平面， 又因为平面，则， 即，，， 则，，且，，， 因为， 则， 即， 又因为， 可得， 所以向量与夹角的余弦值为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 空间向量的数量积运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间向量的数量积运算 题型02 空间向量的夹角运算 题型03 空间向量模长的运算 题型04 投影向量的运算 题型05 空间向量中的垂直关系的运算 题型06 空间向量中的最值（范围）问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.空间向量的数量积 2.投影向量 3.向量垂直、夹角、模长问题 1. 掌握空间向量的数量积,增强数学抽象的核心素养. 2.了解空间投影向量的概念以及投影向量的意义,增强数学抽象和直观想象的核心素养. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 学习重点：空间向量的数量积运算 学习难点：空间向量数量积的运算性质及其应用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量的数量积 一、空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 二、空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 4、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 即时即练 1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 2．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【方法总结】 (1)空间向量数量积运算的两种方法 ①利用定义:利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. ②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. (2)在几何体中求空间向量数量积的步骤 ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 知识点02 投影向量 1、向量的投影 （1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， 向量称为向量在向量上的投影向量． 类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． （2）如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 2、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 即时即练 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 向量称为向量在向量上的投影向量 题型01 空间向量的数量积运算 1．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 6．（多选题）（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 求空间向量数量积的步骤： 第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； 第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； 第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； 第四步：代入求解． 题型02 空间向量的夹角运算 1．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 5．（23-24高二上·浙江温州·期中）把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________． 【技巧归纳】 求两个非零向量夹角的两种途径 (1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解. (2)利用数量积求异面直线夹角的余弦值. 题型03 空间向量模长的运算 1．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 4．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 5．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 【技巧归纳】 利用向量方法求长度或距离的基本方法 (1)将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. (2)因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|==. (3)可用|a·e|=|a||cos θ|(e为单位向量,θ为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量上的投影向量的大小. 题型04 投影向量的运算 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【技巧归纳】 向量称为向量在向量上的投影向量 题型05 空间向量中的垂直关系的运算 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 2．在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 4．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 利用向量方法证明垂直问题的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0(a,b是非零向量)可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的非零向量,只要证明这两个非零向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可. 题型06 空间向量中的最值（范围）问题 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是_________． 4．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 5．（25-26高二下·上海·期中）在三棱锥中，已知，，，，，则的最小值为______. 1．（25-26高一下·上海·期中）下面给出的关系式中 （1）；         （2）； （3）；         （4）； （5）若，且，则． 正确的个数是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·河北·阶段检测）在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 8．（多选题）（24-25高二上·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 9．（多选题）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 10．已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 12．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 13．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    14．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $