宁夏回族自治区银川一中2027届高三年级数学一轮复习检测卷（七）

2027届高三年级一轮复习检测卷（七） 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 7．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 10．某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有（     ） A．从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案 B．从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人，共有840种不同的安排方案 C．8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案 D．8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案 11．已知直线，，，点，位于的两侧，现将半平面沿直线翻折，设二面角的大小为，，，则（    ） A．当时，为钝角 B．当时， C．当时，的最小值为 D．翻折过程中，不存在某个位置，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知i是虚数单位，则_______. 13．已知，为锐角，且，，则的值为______． 14．已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革.某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在范围的人数，求X的分布列； (2)假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在范围的人数，求Y的分布列. 16．(本小题15分) 已知函数，且定义域为. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)求不等式的解集. 17．(本小题15分) 已知数列中，，且（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 18．(本小题17分) 在长方体中，，，E为棱上一动点. (1)求证：； (2)当平面时，求线段的长度； (3)在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值. 19．(本小题17分) 已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 试卷第2页，共4页 高三一轮复习数学试卷 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2027届高三年级一轮复习检测卷（七） 数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B A D C D C ABC BCD ABC 1．D 【解析】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 2．C 【解析】充分性验证：若存在实数使得，且向量，都是非零向量， 根据向量数乘的几何意义，与方向相同（）或相反（），符合平行向量的定义，因此，充分性成立. 必要性验证：已知均为非零向量，若，根据共线向量基本定理，必然存在唯一实数，使得，必要性成立.因此甲是乙的充要条件. 3．B 【解析】 分情况讨论不等式的解：当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增.又， 因此.综上，的解为. 将代入得，解得，即. 4．A 【解析】若有两解，则，又因为，，所以，所以，所以b的取值范围是. 5．D 【解析】令，则， 当时，，在上单调递增. ， 因，则,两边取对数得，则，即； 设，则， 在上单调递增.又，即对恒成立.令得，,又，∴，， 又综上可得，. 6．C 【解析】双曲线的一条渐近线方程为，过且与该渐近线垂直的直线方程为，联立两直线方程可得点坐标为. 因为，所以的面积为. 由，得，所以双曲线的离心率为. 7．D 【解析】，，解得； .为正项等差数列， ， 当且仅当，即，时等号成立.的最小值为. 8．C 【解析】因为是定义域为的偶函数，所以，即， 两边求导，可得：，可得． 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替，可得. 将代入中，可得①． 用代替可得②． 由②-①可得：. 所以是周期为8的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得，所以，即．故选C． 方法归纳：本题为函数性质综合应用的典型题型，可记忆通用结论：可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数为偶函数；若函数满足，则函数图象关于直线对称；若函数同时满足对称性与奇偶性，可推导得到函数的周期，利用周期可将大自变量的函数值转化为已知的小自变量函数值求解. 9．ABC 【解析】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ，知不是的对称中心，故D选项错误. 10．BCD 【解析】对于选项A：从个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 对于选项B：从个人中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人 的选法共有种，故B正确； 对于选项C：满足条件的安排方法可分两步完成， 第一步先排甲乙，因为甲乙间隔2人，故甲乙的位置可能为，且甲乙可交换， 故甲和乙的排列方法有种； 第二步，将剩余6人排入余下的位置，满足条件的排法有种； 由分步乘法计数原理可得8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人的总方案数为，C正确， 对于选项D：满足条件的安排方法可分三步完成， 第一步，先排名男生，有种排法，个男生产生个空（含两端）， 第二步，将女生甲排入两端空位中的一个，共种排法； 第三步，将剩余两名女生从剩下个空位选个排列，共有种排法； 由分步乘法计数原理可得总方案数为，D正确. 11．ABC 【解析】 设沿 方向的单位向量为 ．在两个半平面内，分别取垂直于 的单位向量 ，其中 指向 所在一侧， 指向 所在一侧，则 . 只需考虑方向，令 ． 因为 ，且 ， 在直线 上位于 的两侧，则， 所以 ，． 又因为 ，，所以 ． 对于 A，当 时，因，则，所以 为钝角，A 正确． 对于 B，当 时，．因为 ，所以 ， 从而 ．又余弦函数在上单调递减，则 ，即 ，故B 正确． 对于 C，当 时，设 ，则 ， ， 所以 ． 因，则 ．当 ，即 ， 时取等，即 的最小值为 ，故C 正确． 对于 D，若存在 ，则有 ，．把 代入关系式，需满足 ． 令 ，则 ，． 由零点存在定理，存在 ，使 ，即存在位置满足 ，故 D 错误． 12． 【解析】，故. 13．或 【解析】因为，均为锐角，所以，可得， 由，为锐角，得， 由，得， 利用配凑角，根据余弦差角公式可得： 当时， ； 当时， ， 14． 【解析】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 15．【解析】（1）由频率分布直方图可得，解得. 评分在的频率为，抽取的人数为， 评分在的频率为，抽取的人数为， 则X的可能取值为0，1，2， 则，，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P （2）因为评分在的频率为，用频率估计概率， 则全校学生评分在的频率为0.3， 所以Y的可能取值为0，1，2，且~， 所以，，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 16．【解析】(1)为奇函数，理由如下： 的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数 . (2)证明：，且， ， 因为，，，， 所以，即， 所以在上单调递减. （3）因为为奇函数，且， 所以.又在上单调递减， 所以， 则，解得，即， 所以不等式的解集为. 17．【解析】(1)由，得，则， 又，则， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知：，则， 所以①， 则②， 则①②得：， 所以． 18．【解析】（1）因为长方体，且， 所以平面，且， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面，平面，所以 . （2）以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设（），则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，故， 因为平面，所以，即，解得， 所以线段的长度为1 ； （3）由（2）知，，，平面的法向量， 底面正方形的内切圆圆心为，半径. 设内切圆上的点，，则， 所以. 点P到平面距离， 设，， 则 ，其中，， 当时，取最大值，为， 所以点P到平面距离的最大值为 . 19．【解析】（1）由已知 ，则 ，又，. 得 ， ，故椭圆的离心率为； （2）由椭圆的标准方程为 ，则，设，则，，由，则，解得， 则有 ，解得 ，又 ，故； (3)设，，当直线斜率不存在时，设直线方程为 ，则，，由 为直角，可得 ， 也即 ，解得或 （舍去）． 当斜率存在时，设直线 方程为 ，联立， 整理得 ，可得 且 为直角，可得 ，所以 ，即 ， 整理得 ， 将式代入上式得：，化简得 整理得 ，可得 或 ， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线 恒过定点． 答案第14页，共14页 高三一轮复习数学试卷答案 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $