宁夏回族自治区银川一中2027届高三年级数学一轮复习检测卷（三）

**基本信息** 高三一轮复习数学检测卷，覆盖集合、函数、立体几何等高频考点，通过一百零八塔文化情境、数学建模统计案例及导数综合题，分层考查数学眼光、思维与语言，适配一轮复习巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数性质、向量数量积等|基础题占比60%，如第1题集合运算；创新题如第7题结合一百零八塔文化考数列分组| |多选题|3/18|统计量变换、立体几何位置关系等|第9题考查统计量性质，第10题结合三棱锥考空间角计算，体现知识综合| |填空题|3/15|二项式系数、基本不等式、函数周期性|第13题用基本不等式求最值，第14题结合函数奇偶性与周期性，注重方法应用| |解答题|5/77|统计案例、解三角形、数列求和、立体几何体积、导数应用|第15题数学建模能力调查综合统计知识，第19题导数极值点证明考查逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2027届高三年级一轮复习检测卷（三） 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，．若的图象关于直线对称，则（    ） A．0 B． C． D． 4．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．一百零八塔依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若原样本中位数为，则新样本中位数为 10．如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．在上单调递减 C．若，则实数的取值范围是 D．若实数满足，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则展开式中的系数为__________． 13．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 14．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考公式及数据：①，其中；；②、、． 16．(本小题15分) 在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 17．(本小题15分) 已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 18．(本小题17分) 如图，在直四棱柱中，，，． (1)证明：； (2)若，求二面角的平面角的余弦值； (3)求直四棱柱体积的最大值． 19．(本小题17分) 已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若是函数的极值点，求证：． 试卷第4页，共4页 高三一轮复习数学试卷 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2027届高三年级一轮复习检测卷（三） 数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B A C D B D ACD ACD ACD 1．D 【解析】由，，得， 所以． 2．A 【解析】若函数的值域为，则函数的图象与轴有交点，所以，则或，“”是“或”的充分不必要条件. 3．B 【解析】由于正弦曲线的对称轴为，已知的图象关于对称，所以将 代入可得：， 整理可得：，又因为，取 ，得. 4．A 【解析】由，得．切线与直线平行，所以切线斜率为3．于是，解得．又．切线方程为， 即． 5．C 【解析】由题意得，即，且，即，，解得，. 6．D 【解析】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 7．B 【解析】由已知，，，，， 设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 8．D 【解析】由题得或，解得，故选项D正确． 9．ACD 【解析】由，可知平均数满足，故A正确． 方差在平移时不变，在乘以2时变为原来的倍，所以，故B错误，C正确． 因为变换是严格递增的一次函数，所以中位数也对应变为，故D正确． 10．ACD 【解析】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，由为中点，即，为中点，即，由，，， 设平面的一个法向量，则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为，则，故B错误； 由，，则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故，又平面法向量，则，故D正确. 11．ACD 【解析】对于A，设函数，其定义域是，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，关于原点对称，又，的图象向上平移个单位得到的图象， 所以函数的图象关于点对称，故A正确； 对于B，因为，又， 当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当时取等号， 所以恒成立，因此函数在上单调递增，故B错误； 对于C，由于函数的图象关于点对称，则， 由，得到， 又函数在上单调递增，所以，即，解得，故C正确； 对于D，由于， ，可知，又因为单调递增，所以，因此可得， 即，设，，则（其中），所以，故D正确. 12． 【解析】由题意，在中，通项， 当即时，，∴展开式中的系数为. 13．4 【解析】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即，因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 14．9 【解析】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 15．【解析】（1）提出零假设：该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别无关， 显著性水平， 计算， 因为，所以接受原假设， 即没有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关； （2）， 故； （3）由（2），得， 设，则， 故， 故成绩在范围内的学生约为82人． 16．【解析】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 17．【解析】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式，所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 18．【解析】(1)证明：在直四棱柱中， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面，所以． （2）连接，记，连接， 易得平面，则平面， 又平面，故， 又因，所以是的中垂线，得， 因平面，易得， 又因O是AC中点，所以， 故就是二面角的平面角， 又因，则， 则. （3）设，，因， 由余弦定理，， ，因，则， 故当，即时，取得最大值1， 此时的最大值为， 故直四棱柱体积的最大值. 19．【解析】（1）由函数，可得其定义域为， 求导得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，其中 可得，即， 由对任意恒成立，即在恒成立， 令，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. (3)证明：由， 可得， 令，可得在上恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 因为是的极值点，所以存在使得，即， 又由，所以， 则，所以. 答案第12页，共12页 高三一轮复习数学试卷答案 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $